Specyfika szeregów czasowych
Modele szeregów czasowych są alternatywą dla modeli o równaniach współzaleŜnych; słuŜą do opisu dynamiki kształtowania się zmiennych ekonomicznych. Dynamika ta w praktyce
mod
o el
e ow
o an
a ia
a ek
e o
k n
o om
o
et
e ry
r c
y z
c n
z eg
e o
o prz
r e
z j
e aw
a ia
a s
i
s ę
ę
pop
o rz
r e
z z
e :
z
konieczność rozwaŜenia opóźnień w
badanych szeregach czasowych,
moŜliwość wystąpienia tzw. regresji
pozornej,
konieczność sprawdzenia własności
prognostycznych budowanych modeli.
Ekonometria 110010-0609
1
Definicje stacjonarności
proces stochastyczny {X } jest ściśle t
stacjonarny, jeśli dla kaŜdego podzbioru indeksów (r, s, ..., t ∈ T) i dla kaŜdej liczby całkowitej k, łączny rozkład zmiennych
los
o o
s w
o yc
y h
c {x
{ , x , ..., x
} jes
e t
s tak
a i
k sa
s m
a
, jak
a
k
r
s
t
łą
ł c
ą z
c n
z y
y ro
r z
o k
z ła
ł d
a zm
z
ien
e nyc
y h
c {x
{
, x
, ..., x
}
r+k
s+k
t+k
proces stochastyczny jest słabo stacjonarny, jeśli jego wartość oczekiwana i wariancja są skończone i stałe, a wartość kowariancji między obserwacjami z dwóch okresów zaleŜy jedynie od odległości (odstępu) między tymi obserwacjami
Ekonometria 110010-0609
2
Skutki niestacjonarności
Konsekwencją niestacjonarności jest
regresja pozorna:
zawyŜenie współczynnika determinacji: zb
z y
b t
y o
pt
p ym
y
i
m st
s yc
y z
c n
z e
n
e m
i
m ar
a y
y j
ak
a o
k śc
ś i
c
dopasowania,
zawyŜenie wartości statystyk t-Studenta i obciąŜenie innych statystyk
wyznaczanych na podstawie odchyleń
standardowych oszacowań parametrów.
Ekonometria 110010-0609
3
Testowanie niestacjonarności
większość ekonomicznych szeregów czasowych jest niestacjonarna
formalnym sposobem testowania hipotezy o nies
e t
s ac
a j
c on
o ar
a n
r oś
o c
ś i
c sz
s e
z r
e e
r g
e u cz
c a
z s
a o
s w
o eg
e o
o jes
e t
s tes
e t
s
pierwiastka jednostkowego
najczęściej stosowanym testem tego typu jest test DF (Dickeya – Fullera)
inne testy stopnia integracji to test Phillipsa
– Perrona i KPSS (Kwiatkowskiego –
Phillipsa – Schmidta – Shina)
Ekonometria 110010-0609
4
Test DF
Model testowy:
∆y = α + δ y
+ ε
t
t-1
t
(większość pakietów ekonometrycznych daje wybór oszacowania modelu testowego z
wyr
y a
r z
a e
z m
e
w
ol
o nym
y
lub bez
e
z or
o a
r z
a
z z
z tre
r n
e dem
e
lub
bez
e )
z
H : δ = 0
szereg niestacjonarny (z
0
pierwiastkiem jednostkowym)
H : δ < 0
szereg stacjonarny
1
Ekonometria 110010-0609
5
Test DF: statystyka testowa
Statystyka testu pierwiastka jednostkowego obliczana jest jako iloraz wartości parametru i jego błędu standardowego:
δ
DF = Sδ
S
Do rozstrzygnięcia testu stosuje się tablice wartości krytycznych, najczęściej w wersji ADF
(ang. augmented Dickey-Fuller),
uwzględniającej autokorelację składnika losowego w modelu testowym.
Ekonometria 110010-0609
6
Test DF: stopień integracji
jeŜeli obliczymy przyrosty niestacjonarnego szeregu czasowego y i otrzymamy stacjonarny t
szereg ∆y , gdzie ∆y = y – y , to wyjściowy t
t
t
t-1
szereg czasowy y jest zintegrowany w stopniu t
1
1 (
ma
a j
ed
e en
e p
ier
e w
r ias
a t
s ek
e
k jed
e nos
o t
s ko
k w
o y)
y
ogólnie, jeśli w celu otrzymania szeregu stacjonarnego trzeba obliczyć przyrosty szeregu y d razy, jest on zintegrowany w t
stopniu d: y ~ I(d)
Ekonometria 110010-0609
7
Integracja sezonowa
jeśli analizowany szereg czasowy podlega wahaniom sezonowym, obliczanie róŜnic
dotyczy obserwacji oddalonych o s
okresów, gdzie s jest długością cyklu (s = 4
dl
d a
a d
a
d n
a y
n c
y h
c
h kw
k ar
a tal
a ny
n c
y h
c ,
h s
= 1
2 d
l
d a
a d
a
d n
a y
n c
y h
c
h
miesięcznych itd.)
model testowy przyjmuje wtedy postać:
∆y = α + δ y + ε
t
t-s
t
oba rodzaje integracji – niesezonowa i sezonowa – mogą występować jednocześnie Ekonometria 110010-0609
8
Analiza dynamiczna
Analizę krótkookresowej dynamiki przeprowadza się często poprzez eliminację trendu, któremu podlegają badane zmienne. Stosuje się w tym celu dwie metody:
róŜnicowanie szeregu:
y*
* =
∆
y
∆ = y
– y
dl
d a
l
a d
a
d n
a ych
c r
o
r c
o z
c nych
c ,
t
t
t-1
y* = ∆4y = y – y
dla danych kwartalnych itd.,
t
t
t-4
„odtrendowienie” (de-trending), najczęściej za pomocą trendu liniowego:
y* = y – (a + a ⋅t).
0
1
Obie te procedury powodują jednak wyeliminowanie potencjalnie waŜnej informacji o relacjach długookresowych.
Ekonometria 110010-0609
9
TSP vs. DSP
proces trendostacjonarny (TSP): stacjonarny po usunięciu trendu metodą regresji względem czasu
proces przyrostostacjonarny (DSP): stacjonarny po usunięciu trendu metodą róŜnicowania
Pr
P z
r y
z n
y ale
l Ŝ
e n
Ŝ oś
o ć
ś
ć mod
mo e
d l
e u
l do
d
o kl
k a
l sy
s
y TSP
S
P lu
l b
b DS
P
DS
P moŜ
mo n
Ŝ a
testować:
∆y = α + δ y
+ β t + ε
t
t-1
t
odrzucenie H testu DF → TSP
0
brak podstaw do odrzucenia H → DSP, czyli I(1) 0
W praktyce większość ekonomicznych szeregów czasowych naleŜy do klasy DSP (co oznacza, Ŝe skutki losowych zakłóceń są trwałe).
Ekonometria 110010-0609
10
Kointegracja: definicja
kointegracja szeregów czasowych występuje wtedy, gdy dwa lub więcej szeregi są
niestacjonarne i zintegrowane w tym samym stopniu, ale ich liniowa kombinacja jest st
s ac
a j
c on
o ar
a n
r a
równanie wiąŜące dwa szeregi czasowe
nazywane jest regresją lub relacją
kointegrującą, a parametr równania –
parametrem kointegrującym
w przypadku rozszerzenia modelu regresji na k skointegrowanych zmiennych objaśniających, powstanie k-elementowy wektor kointegrujący Ekonometria 110010-0609
11
Kointegracja a
równowaga długookresowa
występowanie relacji kointegrującej między dwoma (lub więcej) szeregami czasowymi
sugeruje obecność długookresowej relacji równowagi między tymi szeregami, czyli stanu, w którym nie występują tendencje do jego zmiany
w
w d
łu
ł gim o
kres
e i
s e
e m
oŜna
a r
ozwa
w Ŝ
a ać
a
ć ist
s nien
e ie
i
e
równowagi długookresowej, w której pewne grupy zmiennych wykazują podobne tendencje:
płace i ceny
konsumpcja i oszczędności
deficyt budŜetowy i inflacja
ceny akcji i dywidendy
Ekonometria 110010-0609
12
Kointegracja a
równowaga długookresowa
między zmiennymi y i x zachodzi
długookresowa równowaga, jeśli szereg będący róŜnicą między rzeczywistymi obserwacjami a postulowaną równowagą (odchylenia od
długookresowej ścieŜki) jest stacjonarny
najczęściej rozpatruje się przypadek, gdy zmienne zintegrowane są w stopniu 1 oraz istnieje taki wektor kointegrujący, dla których kombinacja liniowa tych zmiennych jest
zintegrowana w stopniu 0 (stacjonarna)
Ekonometria 110010-0609
13
Kointegracja: interpretacja
Jeśli Y i X są procesami I(1), a
ε = Y – β – β ⋅X
t
t
0
1
t
jest procesem I(0), to zmienne X i Y są skointegrowane („na tej samej długości fali”), cz
c y
z l
y i:
standardowa interpretacja modelu pozostaje aktualna,
znika problem regresji pozornej,
wynik ten interpretuje się jako
występowanie długookresowej równowagi
między zmiennymi X i Y.
Ekonometria 110010-0609
14
Najprostsze testy kointegracji
test niestacjonarności reszt „potencjalnej”
regresji kointegrującej
Y = β + β ⋅X + ε
t
0
1
t
t
(metoda Engle’a – Grangera)
statystyka CRDW (ang. Cointegrating
Regression Durbin – Watson): hipoteza zerowa o pierwiastku jednostkowym w resztach jest odrzucana, jeśli
CRDW jest większa niŜ wartość krytyczna, wynosząca ok. 0,5
CRDW jest większa od współczynnika determinacji R2
Ekonometria 110010-0609
15
Metody ustalania relacji
kointegrującej (kointegrujących)
dwustopniowa metoda Engle’a – Grangera
trzystopniowa metoda Engle’a - Yoo
metoda Johansena
Ekonometria 110010-0609
16
Metoda Engle’a – Grangera
Zaleta: prostota zastosowania
Wady:
1. niska moc testów pierwiastka
jednostkowego w małych próbach,
2. obc
b i
c ąŜ
ą e
Ŝ n
e i
n e
e w
yn
y i
n ka
k j
a ąc
ą e
c
e z
z a
s
a y
s m
y
e
m t
e ryc
y z
c n
z e
n g
e o
g
traktowania zmiennych (objaśniana /
objaśniające), nawet wobec braku podstaw teoretycznych dla takiej decyzji,
3. brak moŜliwości weryfikacji hipotez na temat relacji kointegrującej.
Ekonometria 110010-0609
17
Metoda Johansena
stosowana dla układów równań VAR
pozwala uniknąć problemów nr 2 i 3
związanych z metodą Engle’a – Grangera
po
p zw
z al
a a
a w
yz
y n
z a
n c
a z
c y
z ć
y
ć w
ięc
ę e
c j
e n
i
n Ŝ
Ŝ j
ed
e e
d n
e
n wek
e t
k or
kointegrujący: jeśli bowiem relacja
kointegrująca obejmuje k zmiennych,
liniowych relacji kointegrujących moŜe być r, gdzie r ≤ k – 1
Ekonometria 110010-0609
18
Podsumowanie: zalety i wady
Zaleta: potwierdzona w badaniach empirycznych zdolność do tworzenia modeli o dobrych
własnościach prognostycznych (przynajmniej w krótkim okresie)
Wady
d :
y
stosowanie hipotez teoretycznych (nie popartych empirycznie) w celu ustalenia długookresowych restrykcji równowagi
trudności z analizą empiryczną w bardziej zaawansowanych zastosowaniach: wartości krytyczne i własności testów w małych próbach nie są zbadane
Ekonometria 110010-0609
19
Co dalej po oszacowaniu relacji
kointegrującej?
jeśli nie ma podstaw do odrzucenia
hipotezy zerowej o niestacjonarności reszt, to nie udało nam się ustalić relacji
długookresowej równowagi; konieczne jest szacowanie modeli na przyrostach
zm
z
i
m en
e n
n y
n c
y h
c
jeśli są podstawy do odrzucenia hipotezy zerowej, to znaleźliśmy stacjonarną
kombinację niestacjonarnych zmiennych;
zmienne nazywamy skointegrowanymi, a
odpowiednią strategią modelowania jest model korekty błędem (c.d.n. :)
Ekonometria 110010-0609
20
Dygresja: kointegracja sezonowa
idea kointegracji sezonowej: zamiast
eliminować wahania sezonowe z y oraz x, a następnie analizować „odsezonowane”
da
d n
a e
n ,
e b
a
b d
a a
d m
a
y
m
y zw
z iąz
ą e
z k
e
k m
i
m ęd
ę z
d y
z
y
odchyleniami sezonowymi y i x
na przykład w przypadku danych o
częstotliwości miesięcznej rozpatrujemy kointegrację szeregu (y – y
) i szeregu
t
t-12
(x – x
)
t
t-12
Ekonometria 110010-0609
21
Dekompozycja szeregu czasowego
W szeregu czasowym moŜna na ogół wyróŜnić następujące składowe:
przeciętny poziom (M)
dłu
ł goo
o kr
k e
r s
e ow
o y
y tre
r n
e d (T)
T
wahania sezonowe (S)
wahania cykliczne (C)
zmiany nieregularne (I)
y = M + T + S + C + I
t
Ekonometria 110010-0609
22
Modele dynamiczne
modele trendu
model z rozkładem opóźnień DL(k):
y = α + β x + β x
+ ... + β x
+ ε
t
0
t
1
t-1
k
t-k
t
mod
o el
e a
u
a tor
o e
r g
e re
r s
e j
s i AR(
R p
( ):
y = α + α y
+... + α y
+ ε
t
0
1
t-1
p
t-p
t
autoregresyjny model z rozkładem opóźnień ADL(p, k):
y = α + α y
+ α y
+ ... + α y
+
t
0
1
t-1
2
t-2
m
t-m
β x + β x
+ β x
+ ... + β x
+ ε
0
t
1
t-1
2
t-2
k
t-k
t
Ekonometria 110010-0609
23
Przyczyny występowania opóźnień
psychologiczne: oczekiwania podmiotów gospodarczych, przyzwyczajenia
konsumentów, inercja instytucji
państwowych
tec
e h
c n
h o
n logi
g cz
c n
z e
n :
e
: k
o
k sz
s t
z y
y d
o
d st
s oso
s wań
a
ń w
przedsiębiorstwach
instytucjonalno-prawne: zobowiązania, kontrakty, lokaty terminowe
Ekonometria 110010-0609
24
Przykładowe modele
na bazie ADL(2,2)
α = α = β = β = 0
regresja statyczna
1
2
1
2
β = β = β = 0
AR(2)
0
1
2
α = β = 0
równanie z wiodącym
1
β = 0
równanie z wiodący
1
0
wskaźnikiem
α = 1, α = 0,
równanie względem
1
2
β = –β
pierwszych przyrostów
0
1
β = 0
model „martwego startu”
0
β = –α
model proporcjonalnych
1
1
reakcji
Ekonometria 110010-0609
25
ARMA(p,q)
model AR(p):
y =
+ φ1 −1 + φ2 − + ...
2
+ φ
− + ε
t
c
yt
yt
p y t p
t
model MA(q):
yt = + θ0ε t + θ ε
1 t −1 + ...
1
θ qε
t
d
t
t −
+ q t− q , θ
= 1
0
model ARMA(p,q):
y = µ + φ1
1 + ... + φ
+ θ0ε +θ ε
1
1 + ...
θ ε
t
yt −
+
p yt − p
t
t −
q t − q
Uwaga: jeśli szereg y jest niestacjonarny, naleŜy zastosować model ARIMA(p,d,q), gdzie d jest stopniem zintegrowania szeregu czasowego y Ekonometria 110010-0609
26
ARMA/ARIMA: estymacja
estymacja parametrów AR i MA oddzielnie jest prosta; estymacja łącznego modelu ARMA
wymaga sporego doświadczenia
re
r g
e uła
ł
a kc
k i
c uka
k :
a wyb
y ier
e z
r
z naj
a lep
e sz
s y
z
y (pod
o ką
k t
ą em
e
jakości statystycznej) model ze wszystkich par (p,q) dla p, q = 0, 1, 2
ARIMA rozszerzona o parametry sezonowe: SARIMA
w pakietach dostępne filtry sezonowości; nie powinny być stosowane automatycznie!
Ekonometria 110010-0609
27
Transformacja Koycka
ZałóŜmy, Ŝe w modelu z nieskończonym
rozkładem opóźnień
y = α + β x + β x
+ β x
+ ... + ε
t
0
t
1
t-1
2
t-2
t
wszystkie parametry β są tego samego
k
zn
z ak
a u
k i mal
a ej
e ą
ą g
eo
e m
o
et
e ry
r c
y z
c n
z ie,
e tzn
z . “st
s ar
a s
r z
s e
z ”
e
wartości opóźnień wywierają mniejszy efekt na zmienną y niŜ “młodsze”
t
kolejne β związane są następującą
k
zaleŜnością:
β = β λk k = 0, 1, 2, ...
< λ < 1
k
0
Ekonometria 110010-0609
28
Transformacja Koycka
Po prostych przekształceniach otrzymujemy tzw. model Koycka [ADL(1,0)]:
y = γ + β x + λ y
+ ν ,
t
0
t
t-1
t
gdzie γ = α (1 - λ) oraz ν = ε - λ ε
t
t
t-1
par
a a
r m
a
et
e r
r λ
naz
a y
z w
y an
a y
y jes
e t
s st
s op
o ą
ą za
z n
a iku
k
rozkładu opóźnień
mnoŜnik krótkookresowy: β0
mnoŜnik długookresowy β jest sumą
nieskończonego szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie β i ilorazie λ:
0
β = β
1
0 1− λ
Ekonometria 110010-0609
29
Transformacja Koycka
idea: przekształcenie modelu z nieskończonym rozkładem opóźnień w model autoregresyjny
zalety:
uniknięcie problemu estymacji nieskończenie wielu parametrów β (w modelu Koycka
k
sz
s a
z co
c w
o ane
e są
s ty
t l
y k
l o
k
o tr
t z
r y
z
y pa
p ra
r met
me r
t y
r :
y
: δ , β i λ)
0
β i
0
λ
brak współliniowości typowej dla modeli z nieskończonym rozkładem opóźnień
wady:
autokorelacja składnika losowego (rozwiązanie: estymacja MZI lub MNW)
przekształcenie czysto algebraiczne, nie odwołujące się do teorii ekonomii
Ekonometria 110010-0609
30
Przykład:
model z rozkładem opóźnień
)
t
W = 3
,
0 23 + 0
,
0 17 Rt + 0
,
0 10 Rt − + 0
,
0 06 Rt − + ...
1
2
W – wydajność pracy w przemyśle (produkcja t sprzedana w cenach bieŜących na 1
za
z t
a ru
r dnion
o eg
e o)
o
R – nakłady na działalność badawczą i rozwojową t (tys. zł, ceny bieŜące).
Estymacji podlega model Koycka postaci:
)
t
W = 1
,
0 34 + 0
,
0 17 Rt + 5
,
0 85 Wt 1
−
MnoŜnik krótko- i długookresowy są równe, odpowiednio, 0,017 i 0,041.
Ekonometria 110010-0609
31
Dygresja:
przyczynowość w sensie Grangera
zmienna x jest przyczyną (w sensie
Grangera) dla y, jeśli x pomaga w
prognozowaniu y
ide
d a
e
a p
r
p zy
z c
y z
c y
z n
y o
n wośc
ś i
c w
s
e
s n
e s
n i
s e
e G
r
G an
a g
n e
g r
e a
a ni
n e
e
jest identyczna z potocznym znaczeniem
tego terminu: nie oznacza, Ŝe y jest
skutkiem czy efektem działania x!
termin „przyczynowość w sensie Grangera”
naleŜy rozumieć jako „poprzedzanie”
Ekonometria 110010-0609
32
Przyczynowość w sensie Grangera
zmienna x nie jest przyczyną zmiennej y w t
t
sensie Grangera, jeśli w równaniu regresji y względem opóźnionych wartości y oraz x, t
współczynniki przy zmiennych x są równe ze
z r
e o:
k
k
y = ∑α y
β
− + ∑
x − + u
t
i
t i
i
t i
t
i=1
i=1
jeśli zatem β = 0 (i = 1, 2, …, k), to x nie i
t
jest przyczyną yt
Ekonometria 110010-0609
33
Przyczynowość a egzogeniczność
zmienna egzogeniczna definiowana jest jako zewnętrzna w stosunku do modelu (nie wyjaśniana przez model)
zm
z
i
m en
e n
n e
n
e e
g
e z
g o
z ge
g n
e i
n cz
c n
z e
n
e k
l
k as
a y
s f
y i
f ko
k wan
a e
n
e s
ą
s
ą
jako słabo egzogeniczne,
superegzogeniczne i silnie egzogeniczne
brak przyczynowości w sensie Grangera jest koniecznym warunkiem silnej
egzogeniczności zgodnie z powyŜszą
klasyfikacją
Ekonometria 110010-0609
34
Dygresja:
klasyfikacja zmiennych
mierzalne i niemierzalne
bieŜące i opóźnione
objaśniane i objaśniające
w mo
d
mo e
d l
e a
l ch
c wie
i l
e o
l r
o ó
r w
ó nanio
i w
o yc
y h
c zb
z i
b o
i r
o y
r
y te
t
e nie
i
e
muszą być rozłączne!
endogeniczne i egzogeniczne
zawsze zbiory rozłączne
klasyfikacja bardzo waŜna z punktu widzenia identyfikacji i estymacji modeli
wielorównaniowych
Ekonometria 110010-0609
35
Dygresja:
klasyfikacja zmiennych
bieŜące
opóźnione
endogeniczne
zmienne
en
e d
n o
d ge
g n
e i
n cz
c n
z e
n
nieopóźnione
egzogeniczne
zmienne z
góry ustalone
Ekonometria 110010-0609
36
Model częściowych dostosowań
załóŜmy, Ŝe przedsiębiorstwo spodziewa się zmiany popytu na swoje produkty, a
oczekiwania te prowadzą do konieczności dostosowania mocy produkcyjnych y ;
t
natychmiastowe osiągnięcie docelowego
poz
o i
z om
o
u y d
y
jes
e t
s jed
e nak
a
k n
iem
e
oŜ
o l
Ŝ iwe
t
model częściowych dostosowań zakłada, Ŝe rzeczywista zmiana jest tylko ułamkiem
koniecznej, czyli
y – y
= δ (y d – y
), gdzie 0 < δ < 1
t
t-1
t
t-1
parametr δ jest bliski 1, jeśli koszt pozostawania w nierównowadze jest znacznie większy niŜ koszt dostosowania; w przeciwnym przypadku jest bliski 0
Ekonometria 110010-0609
37
Model częściowych dostosowań
Zalety:
prosty model uwzględniający stopniowe dostosowania do poziomów docelowych
moŜliwe modyfikacje, np. zdefiniowanie par
a a
r m
a
et
e ru
r c
z
c ę
z ś
ę c
ś i
c ow
o yc
y h
c dos
o t
s os
o o
s w
o ań
a δ jak
a o
k
o
funkcji zmiennych objaśniających uwaŜanych za waŜne dla kształtowania się tempa
dostosowań (np. stóp procentowych)
Wady:
arbitralny charakter
trudności z zastosowaniami empirycznymi Ekonometria 110010-0609
38
ECM jako uogólnienie MCD
Model korekty błędem (ECM):
y – y
= δ (y d – y
d) + γ (y d– y ),
t
t-1
t
t-1
t-1
t-1
zmiana poziomu
nierównowaga
do
d c
o e
c l
e o
l w
o eg
e o
g
w p
o
p p
o r
p z
r e
z d
e n
d im
i
ok
o r
k e
r s
e i
s e
i
gdzie 0 < δ < 1 i 0 < γ < 1. Dla δ = γ
otrzymujemy model częściowych dostosowań.
Stosowanie ECM nazywane jest „modelowaniem nierównowagi”, gdyŜ model ten uwzględnia nierównowagę w poprzednich okresach.
Ekonometria 110010-0609
39
ECM: estymacja
estymatory MNK modelu ECM są zgodne
naleŜy jednak stosować metodę zmiennych ins
n t
s rum
u
e
m n
e t
n al
a ny
n c
y h
c
h (
np
n .
p trak
a t
k uj
u ąc
ą
c z
m
z
i
m en
e n
n ą
n
ą
x
jako instrument dla y
), poniewaŜ
t-2
t-1
składnik losowy modelu ECM jest
skorelowany z yt-1
Ekonometria 110010-0609
40
ECM w modelowaniu nierównowagi
teoria kointegracji ukierunkowana jest na połączenie dynamiki krótkookresowej z
równowagą długookresową
między szeregami skointegrowanymi moŜna podejr
e zew
e a
w ć
a
ć dłu
ł gookres
e o
s wą
w
ą równ
w owa
w g
a ę,
ę w
w
krótkim okresie moŜe jednak wystąpić
nierównowaga
składnik losowy w równaniu kointegrującym moŜna uznać za „błąd równowagi” i wykorzystać go w celu powiązania krótkookresowego
zachowania zmiennej z jej wartością
długookresową (czyli modelowania odchyleń od długookresowego trendu)
Ekonometria 110010-0609
41
Twierdzenie Grangera
KaŜdy skointegrowany zestaw zmiennych
moŜna przedstawić w postaci modelu
korekty błędem.
I odwrotnie: jeśli szeregi czasowe są
zintegrowane w tym samym stopniu i mogą być przedstawione w postaci modelu ECM, to są skointegrowane.
Ekonometria 110010-0609
42
ECM w modelowaniu nierównowagi
najprostszy model ECM stosowany w modelowaniu nierównowagi ma postać
∆Y = α + α ⋅∆X + α ⋅(Y
– β – β ⋅X ) + ξ
t
0
1
t
2
t-1
0
1
t-1
t
czyli
∆Y = α + α ⋅∆X + α ⋅e
+ ξ
t
α +
0
α1⋅∆X +
t
α2⋅e +
t-1
t
0
1
t
2
t-
t
bieŜący przyrost Y objaśniany jest za pomocą przyrostu X (czyli krótkookresowych wahań X) oraz składnika korekty błędem (błędu równowagi w poprzednim okresie), odzwierciedlanego
dostosowania do długookresowej równowagi
tempo tego dostosowania jest wyznaczane przez parametr α , nazywany parametrem dostosowania 2
Ekonometria 110010-0609
43