Wykład 8. Układy równa´
n liniowych, układ Cra-
mera.
8.1. Układy równań liniowych
Definicja 8.1.1. Uogólnionym układem równa ń liniowych nazywamy układ o postaci AX = B,
h
i
gdzie A = aij
(dla 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n,
m×n
m, n ∈ N oraz aij ∈ K) jest macierz ˛
a współczyn-
h
i
ników (zwaną macierz ˛
a główn ˛
a), X = xjk n×p
(dla 1 ≤ k ≤ p, p ∈ N oraz xjk ∈ K) jest macierz ˛
a niewiadomych i B = [bik]m×p (dla bik ∈ K) jest macierz ˛
a wyrazów wolnych.
Dygresja: Równie ż uogólnionym układem rów-na ń b ędziemy nazywa ć układ o postaci
′
′
′
X A = B ,
gdzie nazwy poszczególnych macierzy są toż-
same z def. 8.1.1. , natomiast ich rozmiary wyno-
′
h
i
′
h
i
szą odpowiednio A = aji
, X = x
,
n
kj
×m
p×n
′
B = [bki]p×m .
′
′
Twierdzenie 8.1.1. Każdy układ X A = B można zamieni ć na posta ć AX = B.
Dowód: Wykorzystajmy własnoś ´
c 6.1.4. - pkt. 4.
Na mocy tej własności mamy
′
′T
′T
′T
′T
′T
X A
= B
i dalej A
X
= B
,
′T
′T
przy czym A
= A, B
= B,
′T
X
= X (prosz ę spojrze ć na rozmiary poszczególnych macierzy). Podstawiając otrzymujemy AX = B.
Dygresja: W dalszych rozważaniach b ędziemy posługiwa ć si ę zapisem AX = B. Rozpisując nasz uogólniony układ równa ń w zapisie ma-cierzowym otrzymujemy
a
11
. . .
a1n
x11 . . . x1p
b11 . . . b1p
.
.
.
..
. ..
.. .
. . .
.. = .
. . .
..
am1 . . . amn
xn1 . . . xnp
bm1 . . . bmp
lub rozpisując na poszczególne równania
a
11x11 + a12x21 + . . . + a1nxn1 = b11
a11x12 + a12x22 + . . . + a1nxn2 = b12
.
.
.
am1x1p + am2x2p + . . . + amnxnp = bmp
W konsekwencji mamy n·p niewiadomych i m·p równa ń.
Definicja 8.1.2. Macierz X nazywamy rozwi ˛
aza-
niem uogólnionego układu równa ń AX = B
wtedy, gdy spełnia ten układ.
Własnoś ć 8.1.1. Układ równa ń AX = B, który: 1. ma dokładnie jedno rozwiązanie jest układem oznaczonym,
2. nie ma rozwiązania jest układem sprzecz-nym.
Definicja 8.1.3. Jeżeli w układzie zadanym de-finicj ˛
a 8.1.1. macierz B jest niezerowa to taki układ nazywamy układem niejednorodnym. Natomiast je żeli B = 0m×p to taki układ nazywamy układem jednorodnym.
Dygresja: Jednym z rozwiąza ń układu jedno-
0 . . . 0
rodnego AX = 0
..
m×p jest X =
. . . .. .
0 . . . 0
Definicja 8.1.4. Układ równa ń liniowych AX = B
b ędziemy nazywa ć uogólnionym układem Cra-h
i
mera wtedy, gdy A = aij
b ędzie macie-
n×n
h
i
rzą kwadratową, X = xjk
, B = [b
n
ik]
×p
n×p
oraz dodatkowo macierz A b ędzie nieosobliwa.
Dygresja: Uogólniony układ Cramera jest układem oznaczonym.
Definicja 8.1.5. W uogólnionym układzie Cramera przyjmując p = 1 otrzymujemy układ rów-na ń Cramera o postaci AX = B, gdzie h
i
A = aij
jest nieosobliwą macierzą współ-
n×n
h
i
czynników, X = xj
jest wektorem niewiado-
n
mych i B = [bi]n jest wektorem wyrazów wolnych.
8.2. Rozwiązywanie układów równań Cramera Twierdzenie 8.2.1. Jeżeli układ równa ń AX = B
jest układem równa ń Cramera (lub uogólnionym układem równa ń Cramera) to posiada on dokładnie jedno rozwiązanie w postaci X = A−1B.
Dowód: ( na wykładzie zostawi ´
c miejsce)
Twierdzenie 8.2.2. Rozwiązanie układu równa ń AX = B,
który jest układem Cramera można równie ż okre-
śli ć wzorem
x
1
det C1
x
1
det C
X =
2
2
. =
.
,
..
det A
..
xn
det Cn
gdzie det Cj (dla 1 ≤ j ≤ n) oznacza wyznacz-nik macierzy A, w której j-tą kolumn ę zastąpiono wektorem wyrazów wolnych B.
Dygresja: Konstrukcja macierzy Cj jest nast ępu-jąca:
a
11
a12 . . . b1 . . . a1n
a
C
21
a22 . . . b2 . . . a2n
j =
.
.
..
..
. .. .. ...
..
an1 an2 . . . bn . . . ann
Natomiast wzory
det C1
det C2
det Cn
x1 =
,
x2 =
, . . . ,
xn =
det A
det A
det A
nazywamy wzorami Cramera.
• Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.
• Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Cz ę-
stochowa 2001.
• Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS, Wrocław 2000.
• Kiełbasi ński A., Schetlick H., Numeryczna algebra liniowa, PWN, Warszawa 1992.
• Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, Warszawa 1968.
• Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wy ższej, PWN, Warszawa 1975.
• Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.