Zagadnienie kombinatoryczne: Na ile sposobów można ułożyć

nC – czerwonych kulek oraz nN – niebieskich kulek na n = nC + nN miejscach?

Dygresja do wykładu Dyfuzja w materiałach Na ile sposobów można ułożyć

nC – czerwonych kulek oraz nN – niebieskich kulek na n = nC + nN miejscach?

Przykład

Ogólnie

nC = 2 nN = 3 n = 5

1

1

2

2

3

Pierwszą kulkę wybraną przypadkowo (obojętnie czy czerwoną czy niebieską) można położyć na jednym z: 5 miejsc

n - miejsc

Na ile sposobów można ułożyć nC – czerwonych kulek oraz nN – niebieskich kulek na n = nC + nN miejscach Przykład

Ogólnie

Jedna z 5 możliwych realizacji po ułożeniu pierwszej dowolnej kulki: 1

1

2

2

3

Drugą kulkę wybraną przypadkowo z pozostałych kulek (obojętnie czy czerwoną czy niebieską) można położyć na jednym z: 4 pozostałych miejsc

(n-1) - miejsc

Czyli pierwsze dwie dowolne kulki można ułożyć na tyle sposobów: 5·4

n·(n-1)

Na ile sposobów można ułożyć nC – czerwonych kulek oraz nN – niebieskich kulek na n = nC + nN miejscach Przykład

Ogólnie

Jedna z 5·4 możliwych realizacji po ułożeniu pierwszych dwóch kulek: 1

2

1

2

3

Trzecia kulkę wybraną przypadkowo z pozostałych kulek (obojętnie czy czerwoną czy niebieską) można położyć na jednym z: 3 pozostałych miejsc

(n-2) - miejsc

Czyli pierwsze trzy dowolne kulki można ułożyć na tyle sposobów: 5·4·3

n·(n-1)·(n-2)

Na ile sposobów można ułożyć nC – czerwonych kulek oraz nN – niebieskich kulek na n = nC + nN miejscach Przykład

Ogólnie

Jedna z 5·4·3 możliwych realizacji po ułożeniu pierwszych trzech kulek: 3

1

2

1

2

Czwartą kulkę wybraną przypadkowo z pozostałych kulek (obojętnie czy czerwoną czy niebieską) można położyć na jednym z: 2 pozostałych miejsc

(n-3) - miejsc

Czyli pierwsze cztery dowolne kulki można ułożyć na tyle sposobów: 5·4·3·2

n·(n-1)·(n-2)·(n-3)

Na ile sposobów można ułożyć nC – czerwonych kulek oraz nN – niebieskich kulek na n = nC + nN miejscach Przykład

Ogólnie

Jedna z 5·4·3·2 możliwych realizacji po ułożeniu pierwszych czterech kulek: 1

3

1

2

2

Piątą kulkę – ostatnią - można położyć Ostatnią kulkę spośród tylko na:

n kulek można położyć

1 pozostałym miejscu

na 1 – ostatnim miejscu

Czyli pięć dowolnych kulek można ułożyć Czyli n różnych kulek na tyle sposobów: można ułożyć na tyle sposobów:

5·4·3·2·1 = 5!

n·(n-1)·(n-2)·... ·1= n!

Na ile sposobów można ułożyć nC – czerwonych kulek oraz nN – niebieskich kulek na n = nC + nN miejscach Przykład

Jedna z 5·4·3·2·1 możliwych realizacji po ułożeniu pierwszych czterech kulek:

1

3

1

2

2

Ale taka konfiguracja nie różni się od takich możliwych konfiguracji, gdy kulki czerwone zamieniają się swoimi miejscami i kulki niebieskie zamieniają się swoimi miejscami, np.: 2

1

2

3

1

2

1

3

2

1

Gdyż wszystkie kulki tego samego koloru są nieodróżnialne od siebie:

Czyli kolejność ułożenia kulek niebieskich na swoich miejscach i kulek czerwonych na swoich miejscach nie ma znaczenia.

Zatem liczba możliwych kombinacji jest mniejsza niż 5!

Ogólnie: mniejsza niż n!

Na ile sposobów można ułożyć nC – czerwonych kulek oraz nN – niebieskich kulek na n = nC + nN miejscach Przykład

Ogólnie

Ponieważ:

3 kulki niebieskie można ułożyć nN kulek niebieskich

na tyle sposobów:

na tyle sposobów:

3·2·1 = 3!

nN!

2 kulki czerwone można ułożyć nC kulek czerwonych

na tyle sposobów:

na tyle sposobów:

2·1 = 2!

nC!

Zatem liczba możliwości ułożenia: nN - niebieskich 3 kulek niebieskich i 2 kulek czerwonych nC – czerwonych na 5 miejscach wynosi:

na (nC + nN) miejscach

!

!

n

n

(

+ n )!

W

5

=

W

C

N

=

=

!

2 ⋅ !

3

n !n

⋅ !

n !n

⋅ !

C

N

C

N

Entropia w ujęciu termodynamiki statystycznej Wzór Boltzmana

S = kB·lnW

W – liczba możliwych stanów mikroskopowych, które realizują stan makroskopowy układu fizycznego kB ≈ 1.381×10−23 J/K– stała Boltzmana Zatem, entropia konfiguracyjna (tzn. związana tylko ze sposobem ułożenia) N atomów i n wakancji w krysztale, w którym jest N + n miejsc atomowych, w ujęciu termodynamiki statystycznej wynosi: N

( + )!

n

S

= k ⋅ ln W

= k ⋅ ln

konfig

B

konfig

B

!

N ⋅ n !

Gdyż na tyle sposobów można ułożyć N nieodróżnialnych atomów oraz n nieodróżnialnych wakancji na N + n miejscach w krysztale.