Zad 1. Sklasyfikować krzywe:
a) 8 2
x −12 xy +17 2
y +16 x −12 y + 3 = 0 , elipsa
b) 17 2
x − 18 xy − 7 2
y + 34 x − 18 y + 7 = 0 , hiperbola,
c) 2
x − 5 xy + 4 2
y + x + 2 y − 2 = 0 , proste przec,
d) 3 2
x + 2 xy + 3 2
y + 2 2 x − 2 2 y + 2 = 0 , punkt,
e) 19 2
x − 6 xy + 11 2
y − 12 x + 44 y + 54 = 0 ,pusty,
f) 2 2
x + 2 2
y + 2 x − y − 6 = 0 , okrąg,
g) 4 2
x + 7 x − 6 y + 2 = 0 , parabola,
h) 2
x − 2
2
xy + y + 6 x − 14 y + 29 = 0 , parabola, i) 4 2
x − 12 xy + 9 2
y + 20 x − 30 y − 11 = 0 , pr. równ. j) 2
x − 6 xy + 9 2
y + 4 x − 12 y + 4 = 0 , prosta,
k) 4 2
x + 4
2
xy + y + 4 x + 2 y + 3 = 0 , pusty.
Zad 2. Sprowadzić do postaci kanonicznej
a) 5 2
x + 4 xy + 8 2
y − 32 x − 56 y + 80 = 0 ,
4
2
x ′ + 9
2
y ′ = 36
b) 2
x + 2 xy + 4 2
y − 2 x + 4 y + 4 = 0 ,
( ,
0 0)
2
2
y ′
x ′
c) 7 2
x − 24 xy − 38 x + 24 y + 175 = 0 ,
−
=1
16
9
d) 2
x − 5 xy + 4 2
y + x + 2 y − 2 = 0 ,
5
( + 34) 2
x ′ − ( 34 − )
5
2
y ′ = 0 , poste nierównoległe
e) 9 2
x + 24 xy + 16 2
y − 40 x + 30 y = 0 ,
y ′2 = −2 x ′
2
4
f) 4 2
x + 4
2
xy + y − 12 x − 6 y + 5 = 0 ,
y′ = 3
Zad 3. Dana jest krzywa 5 2
x + 4 xy + 8 2
y − 32 x − 56 y + 80 = 0 . Znaleźć współrzędne wierzchołków i ognisk, równania osi i kierownic oraz narysować krzywą w układzie OXY.
Zad 4. Dana jest parabola 2
x − 2
2
xy + y + 6 x − 14 y + 29 = 0 . Znaleźć współrzędne wierzchołka i ogniska, równanie osi oraz narysować tę parabolę w układzie OXY.
Zad 5. Nie korzystając z teorii niezmienników sprowadzić następujące równania do postaci kanonicznej: 32
2
64
a) 2 2
x − 4 2
y + 4 x − y + 1 = 0 ,
2
x′ −
y′ = 1 ,
15
15
2
1
b) 4 2
y − 2 x + 7 y + 5 = 0 ,
y′ =
x′ ,
2
c) 3 2
x + 10 xy + 3 2
y − 2 x − 14 y − 13 = 0 ,
8
2
x ′ − 2
2
y ′ − 8 = 0 .
Zad 6. W układzie OXY znaleźć współrzędne wierzchołków, współrzędne ognisk oraz równania osi, kierownic i asymptot hiperboli 2
x − 4 2
y + 2 x + 16 y − 19 = 0 .
Zad 7. W zaleŜności od wartości parametru k sklasyfikować krzywe:
a) 4 2
x + 2 kxy + 6 2
y + 2 x + 2 ky + 1 = 0 ,
b) 4 2
x − 12 xy + 9 2
y + 2 x + 4 ky + k = 0 .
Zad 8. Wykazać, Ŝe równanie
2
a ⋅ x + 2
2
a ⋅ x ⋅ y + a ⋅ y + 2 a ⋅ x + 2 a ⋅ y + a = 0 , gdzie 11
12
22
13
23
33
2
2
2
a + a + a > 0 określa okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy 2
p = 4 w i pW < 0 .
11
12
22
Zad 9. Sklasyfikować krzywe
a) 3 2
x + 3 2
y − x + 2 y − 5 = 0 ,
okrąg
b) 2
x + 2 2
y + 4 x − 4 y = 0 ,
elipsa
c) 4 2
2
x − y − 8 x − 6 y − 4 = 0 ,
hiperbola
x + 8 2
y + 3 x − 4 y +1 = 0 ,
zbiór pusty eliptyczny
e) 3 2
x − 2 2
y + 6 x − 4 y +1 = 0 ,
dwie proste równoległe
f) 2 2
x + 6 x + 3 y + 6 = 0 ,
parabola
g) 2
y + 6 y +10 = 0 ,
zbiór pusty paraboliczny
h) 2 2
x + 3 xy + 4 2
y − 5 x + 2 y −1 = 0 ,
elipsa
i) 4 2
x − 4
2
xy + y − 8 x + 6 y − 2 = 0 ,
parabola
j) 2
x + 2
2
xy + y + 6 y + 9 = 0 ,
parabola
k) 2 xy − 4 2
y + 6 x + 6 y +1 = 0 ,
hiperbola
l) 2
x + 4 xy + 3 2
y − 6 x −12 y + 9 = 0 ,
dwie proste nierównoległe
ł) 50 2
x − 8 xy + 35 2
y +100 x − 8 y + 67 = 0 ,
zbiór pusty eliptyczny
m) 9 2
x +12 xy + 4 2
y − 24 x −16 y + 3 = 0 ,
dwie proste równoległe
n) 16 2
x − 24 xy + 9 2
y −160 x +120 y + 425 = 0 ,
zbiór pusty paraboliczny
o) 4 2
x +12 xy + 9 2
y − 4 x − 6 y +1 = 0 ,
prosta podwójna.
Zad 10. Następujące równania sprowadzić do postaci kanonicznej
a) 41 2
x + 24 xy + 9 2
y + 24 x + 18 y − 36 = 0 ,
2
x ′ + 9
2
y ′ = 9
b) 41 2
x + 24 xy + 34 2
y + 34 x − 112 y + 129 = 0 ,
2
x ′ + 2
2
y ′ = 0
c) 50 2
x − 8 xy + 35 2
y + 100 x − 8 y + 67 = 0 ,
2
2
x ′ + 3 2
y ′ = 1
−
d) 2
x − 6 xy − 7 2
y + 10 x − 30 y + 23 = 0 ,
2
x ′ − 4
2
y ′ = 1
e) 7 2
x + 60 xy + 32 2
y − 14 x − 60 y + 7 = 0 ,
2
x ′ − 4
2
y ′ = 0
f) 2
x − 2
2
xy + y − 10 x − 6 y + 25 = 0 ,
y ′2 = 4 2 x ′
g) 4 2
x + 12 xy + 9 2
y − 4 x − 6 y + 1 = 0 ,
2
y ′ = 0
h) 2
x − 2
2
xy + y − 6 x + 6 y + 7 = 0 ,
2
y ′ = 1
Zad 11. Następujące równania sprowadzić do postaci kanonicznej i wskazać zamianę zmiennych
x′ = 2 (− x− y)
2
a) 5 2
x + 6 xy + 5 2
y −16 x −16 y −16 = 0 ,
2
x ′ + 4
2
y ′ = 16 ,
2
y ′ =
(− x − y + 2)
2
x′ = 1 3( x + 2 y − )5
13
b) 5 2
x +12 xy − 22 x −12 y −19 = 0 ,
9
2
x ′ − 4
2
y ′ = 36 ,
y ′ = 1 (−2 x + 3 y −
)
1
13
x′ = 1 ( x + y − )3
2
c) 2
x − 2
2
xy + y −10 x − 6 y + 25 = 0 ,
y ′2 = 4 2 x ′ ,
y ′ = 1 (− x + y +
)
1
2
x′ = 1 ( x + y − )1
1
2
d) y =
,
2
2
x ′ − y ′ = 2 ,
x −1
y ′ = 1 (− x + y +
)
1
2
x − 2
2
e) y =
,
2
2
x ′ − y ′ = 6 ,
x +1
y ′ = 1 (− x + y −
2)
2
x′ = 1 ( x + 2 y − )1
5
f) 7 2
x −12 xy − 2 2
y −14 x +12 y + 7 = 0 ,
2
x ′ − 2
2
y ′ = 0 ,
y′= 1 (−2 x+ y+
2)
5
x′ = 1 ( x +3 y +6)
10
g) 19 2
x − 6 xy +11 2
y −12 x + 44 y + 54 = 0 ,
2
x ′ + 2
2
y ′ = −1 ,
y′= 1 (−3 x+ y+
2)
10
x′ = 1 (2 x+ y + )3
5
h) 4 2
x + 4
2
xy + y +12 x + 6 y −11 = 0 ,
2
x ′ = 4 ,
y′= 1 (− x+2 y−
4)
5
Zad 12. W układzie OXY znaleźć równania osi krzywych
a) 8 2
x + 4 xy + 5 2
y + 16 x + 4 y − 28 = 0 ,
x − 2 y +1 = ,
0 2 x + y + 2 = 0
b) 2 xy − 4 x + 2 y − 3 = 0 ,
x + y −1 = ,
0 x − y + 3 = 0
c) 2 2
x + 3 xy − 2 2
y + 5 y − 2 = 0 ,
3 x + y +1 = ,
0 x − 3 y + 3 = 0 .
Zad 13. Sprawdzić, Ŝe krzywa 6 xy + 8 2
y −12 x − 26 y +11 = 0 jest hiperbolą, oraz w układzie OXY
znaleźć jej wierzchołki, ogniska, równania osi, równania kierownic i równania asymptot.
Zad 14. Sprawdzić, Ŝe krzywa 5 2
x + 8 xy + 5 2
y −18 x −18 y + 9 = 0 jest elipsą, oraz w układzie OXY
znaleźć jej wierzchołki, ogniska, równania osi, równania kierownic.
Zad 15. Sprawdzić, Ŝe krzywa 2
x − 4 xy + 4 2
y − 2 x − y + 2 = 0 jest parabolą, oraz w układzie OXY znaleźć jej wierzchołek, ognisko, równanie osi, równanie kierownicy.
Zad 16. Sprowadzić do postaci kanonicznej i podać postać zamiany zmiennych 4
1
2
16
a) 2
x − 4 2
y + 4 x − 2 y −1 = 0 ,
2
x ′ −
y ′ = 1 , x = x ′ − ,
2 y = y ′ −
,
19
19
4
3
15
b) 2 2
x + 6 x − 4 y − 3 = 0 ,
x ′2 = 2 y ′ ,
x = x ′ − , y = y ′ −
,
2
8
16
1
2
64
c) 2
x + 4 2
y + 6 x − y +1 = 0 ,
2
x ′ +
y ′ = 1,
x = x ′ − ,
3 y = y ′ + ,
129
129
8
1
d) 4 2
x + 4 2
y − 4 x + 24 y + 33 = 0 ,
2
2
x ′ + y ′ = 1,
x = x ′ +
, y = y ′ − 3 ,
2
e) 2
y + 6 y + 7 = 0 ,
2
y ′ = 2 ,
x = x ,′ y = y ′ − 3 ,
f) 2
x − 2 x + 3 = 0 ,
2
y ′ = −2 ,
x = x ′ + ,
1 y = y ′ ,
g) 2
x + 6 x + 9 = 0 ,
2
x ′ = 0 ,
x = x ′ − ,
3 y = y ′ ,
h) 2
2
x + y + 2 x +1 = 0 ,
2
2
x ′ + y ′ = 0 ,
x = x ′ − ,
1 y = y ′ ,
i) 2 2
2
x − y + 4 x + 4 y − 2 = 0 ,
2
2
2
x ′ − y ′ = 0 ,
x = x ′ − ,
1 y = y ′ + 2 ,
1
1
j) 5 2
x + 6 xy + 5 2
y −16 x −16 y −16 = 0 ,
2
x ′ + 4
2
y ′ = 16 , x =
( x ′ − y ′ + 2), y =
( x ′ + y ′ + 2) ,
2
2
1
k) 8 2
x + 24 xy +15 2
y − 6 y − 5 = 0 , 24 2
2
x ′ − y ′ = 2 , x =
(6 x ′ − 8 y ′ +1 )
5 , y = (4 x ′ + 3 y ′ − )
5 ,
10
5
1
23
1
9
l) 2
x + 2
2
xy + y − 4 2 x +12 2 y − 6 = 0 , x ′2 = −8 y ′ , x =
( x ′ − y ′ −
), y =
( x ′ + y ′ − ) ,
2
8
2
8
Zad 17. Sprawdzić, Ŝe krzywa 16 2
x + 25 2
y − 32 x − 384 = 0 jest elipsą oraz w układzie OXY znaleźć jej środek, ogniska, równania osi oraz równanie kierownicy.
Zad 18. Sprawdzić, Ŝe krzywa 2
x + 2 x + 2 y − 5 = 0 jest parabolą oraz w układzie OXY znaleźć jej wierzchołek, ognisko, równanie osi oraz równanie kierownicy.
Zad 19. Dla jakich wartości parametru k równanie 2
x + 6
2
xy + y + 6 x + 2 y + k = 0 przedstawia dwie proste równoległe?
Zad 20. Dla jakich wartości parametru k równanie 3 2
x − 2 xy + 3 2
y − 2 x + 2 y + k = 0 przedstawia punkt?
Zad 21. Dla jakich wartości parametrów k i r równanie 2 2
x + kxy + 2 2
y − 7 x + ry + 3 = 0 przedstawia dwie
proste równoległe?
Zad 22. Sklasyfikować następujące krzywe w zaleŜności od wartości parametru k: a) 1
( + k) 2
x + 1
( − k) 2
y + 2 x +1 = 0 , b) 2
x − 2
2
xy + y − 4 x + 4 y + k = 0 , c) 2
x − 2
2
kxy + ky − 4 x +1 = 0 .
Zad 23. Wykazać, Ŝe równanie
2
a ⋅ x + 2
2
a ⋅ x ⋅ y + a ⋅ y + 2 a ⋅ x + 2 a ⋅ y + a = 0 , gdzie 11
12
22
13
23
33
2
2
2
a + a + a > 0 typu parabolicznego (w=0) moŜna zawsze przedstawić w postaci 11
12
22
( k x + k y)2 + 2 a x + 2 a y + a = 0 .
1
2
13
23
33
ax + b
a b
Zad 24. Wykazać, Ŝe równanie y =
, gdzie c ≠ 0 i
≠ 0 przedstawia zawsze hiperbolę.
cx + d
c d
a b
Zad 25. Wykaza
1
1
ć, Ŝe równanie ( a x + b y + c )2 + ( a x + b y + c )2 = 1, gdzie
=1 i a a + b b = 0
1
1
1
2
2
2
1
2
1 2
a
b
2
2
określa elipsę. Znaleźć jej równanie kanoniczne i równania osi.
Zad 26. Dla jakich krzywych stopnia drugiego spełnione są warunki p = a + a = 0 i W ≠ 0 ?
11
22
Zad 27. Wykazać, Ŝe równanie paraboli
2
a ⋅ x + 2
2
a ⋅ x ⋅ y + a ⋅ y + 2 a ⋅ x + 2 a ⋅ y + a = 0
11
12
22
13
23
33
2
− W
( w = ,
0 W ≠ 0 ) moŜna zawsze przedstawić w postaci ( a
)
2
, gdzie O X
′ Y′ ′ jest
11 + a
x ′
22
= ±
y ′
a 11 + a 22
nowym układem współrzędnych.