Andrzej Witek 1
Wytrzymałość śruby – wysokość nakrętki
Wprowadzenie
Działająca w śrubie siła osiowa Q jest przenoszona przez rdzeń i zwoje gwintu. Powoduje rozciąganie lub ściskanie rdzenia śruby, zginanie i ścinanie zwojów gwintu oraz wywołuje naciski na ich powierzchni. Wytrzymałość zwojów gwintu na zginanie jest znacznie wyższa od pozostałych i dlatego nie będzie przedmiotem dalszych rozważań, dotyczących relacji między kryteriami wytrzymałościowymi połączenia gwintowego, związanymi z:
-
rozciąganiem rdzenia śruby
Q
σ =
≤ k (1) r
r
Ar
-
ścinaniem zwojów gwintu
Q
τ =
≤ k (2) t
t
At
-
naciskami powierzchniowymi na zwojach gwintu
Q
p =
≤ p (3) dop
Ap
gdzie:
Ar - pole powierzchni przekroju rozciąganego rdzenia śruby, At
- pole powierzchni ścinanych zwojów gwintu,
Ap - pole nominalnej powierzchni kontaktowej zwojów gwintu.
Pole powierzchni Ar przekroju rozciąganego rdzenia
śruby określa wzór
π d
2
h
A
r
=
(4)
t
r
4
gdzie dr jest średnicą rdzenia śruby (rys.1). Pola
powierzchni At i Ap wyznacza się przy założeniu, że d
gwint w śrubie i nakrętce został wykonany bezbłędnie
r
i wszystkie pracujące zwoje gwintu przenoszą
Dw
równomiernie siłę osiową Q. Przy tym założeniu
dt
można określić liczbę pracujących zwojów gwintu
dz
N
n =
(5)
P
Rys.1. Podstawowe wymiary gwintu
gdzie:
N
- wysokość nakrętki (długość wkręcenia śruby w korpus),
P
- podziałka gwintu.
Pole powierzchni At ścinanych zwojów gwintu określa wzór
N
A = π d h n = d
π h
(6)
t
t
t
t
t P
gdzie:
dt
- średnica, na której został ścięty zwój gwintu,
ht
- wysokość ścinanego przekroju zwoju gwintu (rys.1).
2 Wytrzymałość śruby – wysokość nakrętki Pole powierzchni Ap styku zwojów gwintu określa wzór
π
π
A =
−
=
−
(7)
p
( d 2 D2
z
w ) n
( d 2
2
z
w ) N
D
4
4
P
gdzie:
dz
- zewnętrzna średnica gwintu śruby,
Dw - wewnętrzna średnica gwintu nakrętki (rys.1).
Na podstawie każdego z kryteriów wytrzymałościowych (1-3) można określić dopuszczalne obciążenia śruby z warunku na:
- rozciąganie rdzenia śruby
Q
= A k
(8)
r d
op
r
r
- ścinanie zwojów gwintu
Q
= A k
(9)
t d
op
t
t
- naciski na powierzchni zwojów gwintu
Q
(10)
d
op = A p
p
p
dop
Zależności (8-10) mają charakter ogólny i mogą dotyczyć każdego rodzaju gwintu. Dalsze analizy zostaną przeprowadzone w odniesieniu do gwintu metrycznego, którego podstawowe parametry geometryczne i relacje między nimi przedstawiono na rys.2.
D
D1
Zależność (d-d
H
3 )/P=f(d)
D
(d-d 3 )/P
2 = d2
1.4
1.38
1.36
P
1.34
1.32
1.3
[(d-d
1
1.28
3 )/P)] śr =1.316
H
1
1.26
4
5
H
H
1.24
d
8
3
8
1.22
d
1.2
1
0
10
20
30
40
50
60
d
średnica nominalna gwintu, mm
P
5
H =
= 0.866 P ; d = d − t
2 ; t =
H ; d = d − 0
.
1 825 P ; d ≅ d − 3
.
1 16 P
1
1
3
t
2 g
o
30
8
Rys.2. Geometria gwintu metrycznego
Dopuszczalne obciążenie śruby z warunku na rozciąganie rdzenia śruby Z porównania oznaczeń geometrii gwintu na rysunkach 1 i 2 wynika, że średnica rdzenia gwintu dr = d3 i dla gwintu metrycznego pole powierzchni rdzenia śruby określa wzór π d
2
A
3
=
(11)
r
4
Po uwzględnieniu związku
P
d
(12)
3 ≅ d − 1.31
6 P = d
1 −1.31
6
d
Andrzej Witek 3
wzór (11) zapisuje się w postaci
2
2
π d
P
A
(13)
r =
1 − 3
.
1 1
6
4
d
We wzorze (13) występuje stosunek P/ d tj. stosunek podziałki do średnicy nominalnej gwintu.
W tablicy 1 zmieszczono wielkości P i d dla gwintu metrycznego z ciągu podstawowego.
Tablica 1. Średnice nominalne gwintu metrycznego i odpowiadające im podziałki Średnica d, mm
4
5
6
8
10
12
16
20
24
30
36
42
48
56
64
Podziałka P, mm
0.7
0.8
1.0o 1.25
1.5
1.75
2
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
P = 0.1047d
Podziałka P=f(d)
R2 = 0.95
8
7
Po
dzi 6
ałk 5
a
P, 4
m
3
m
2
1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
Średnica nominalna gwintu d, mm
Rys.3. Wykres zmienności podziałki w funkcji średnicy nominalnej gwintu metrycznego Relacje pomiędzy tymi wielkościami przedstawiono na wykresie w formie zależności P = f ( d) -
rys.3. Założono, że w pierwszym przybliżeniu związek pomiędzy P i d można opisać za pomocą zależności liniowej
P = 0.1047 d
(14)
i na tej podstawie
P = 0.1047 (15) d
Po uwzględnieniu wartości relacji (15) pole przekroju rdzenia śruby metrycznej określa się na podstawie wzoru
2
A = 0.185
9 π d
(16)
r
natomiast zgodnie z ogólnym zapisem (8) dopuszczalne obciążenie rdzenia śruby określa zależność 2
Q
= 0.185
9 π d
k (17) r d
op
r
4 Wytrzymałość śruby – wysokość nakrętki Dopuszczalne obciążenie śruby z warunku na ścinanie zwojów gwintu Ścinanie zwojów gwintu występuje na pewnej średnicy dt , której odpowiada wysokość ścinania ht (rys.1). Aby określić średnicę dt i wysokość ht dla gwintu metrycznego należy szczegółowo przeanalizować zjawisko ścinania zwojów gwintu (rys.4).
D=d
∆ r
D1=d1
H
α /2
D2 = d2
∆ P
P/2
Pn=cnP
P
P/2
Ps=csP
1
5
1
H
H
H
4
8
8
dt
Rys.4. Określenie średnicy ścinania zwojów gwintu metrycznego
Średnica dt dzieli podziałkę gwintu na dwie części
P = P + P (18) n
s
Po obustronnym podzieleniu sumy (18) przez podziałkę P otrzymuje się P
P
n
s
1 =
+
= c + c (19) n
s
P
P
gdzie cn i cs są współczynnikami udziału ścinanej wysokości zwojów gwintu nakrętki i śruby w podziałce gwintu, co można zapisać jako
P = c P (20) n
n
P = c P (21) s
s
oraz
P = c P + c P (22) n
s
Zwoje gwintu śruby i nakrętki na średnicy dt ścina ta sama siła Qt, którą opisuje zależność w przypadku:
- śruby Q = π d P
k
n
(23)
ts
t
s
ts
- nakrętki Q = π d P
k
n
(24)
tn
t
n
tn
Andrzej Witek 5
Po uwzględnieniu związków (5), (20) i (21) zależności (23) i (24) przyjmują postać Q = π d
c N k
(25)
ts
t
s
ts
Q = π d
c N k
(26)
tn
t
n
tn
Ponieważ Qts=Qtn=Qt, zatem
c k = c k (27) s
ts
n
tn
a stąd po uwzględnieniu związku (19) otrzymuje się wzory określające współczynniki udziału ktn
c =
(28)
s
k + k
tn
ts
kts
c =
(29)
n
k + k
tn
ts
Średnicę dt można wyznaczyć z zależności (rys.4)
d = d + 2 r
∆ (30) t
2
Także na podstawie rys. 4 można napisać
P
c P =
+ 2 P
∆ (31) n
2
oraz
P
∆
r
∆ =
(32)
tg α 2
2c − 1
P
n
∆ =
P (33) 4
i ostatecznie
2c − 1
d = d
n
+
P (34) t
2
2 tg α 2
Po uwzględnieniu relacji dla gwintu metrycznego (rys.2), na podstawie których 3
d = d −
H = d − 0.65P (35) 2
4
wzór (34) przyjmuje postać
2cn − 1 P
d
.
(36)
t = d
1 − 0 65 −
α
2 tg
d
2
Wysokość ścinania zwoju nakrętki określa zależność
h = c P (37) t
n
Po uwzględnieniu zależności (36) i (37) pole przekroju ścinanego zwojów (6) określa wzór
2 c
1
n −
P
A
π 1
0.65
(38)
t =
N d cn −
−
α
2 tg
d
2
6 Wytrzymałość śruby – wysokość nakrętki Ogólnie przyjmuje się, że materiał śruby jest lepszy od materiału nakrętki, np. kts= 1.3 ktn i stąd na podstawie zależności (29) cn = 0.565 . Po uwzględnieniu tych założeń oraz wartości wielkości geometrycznych (15) i α = 60˚ w wyniku obliczeń otrzymuje się:
A = 0.5332 π N d (39) t
oraz dopuszczalne obciążenia z warunku na ścinanie zwojów gwintu
Q
= 0.5332 π N d
k
(40)
t dop
tn
Dopuszczalne obciążenie śruby z warunku na naciski powierzchniowe W celu wyznaczenia dopuszczalnego obciążenia śruby z warunku (10) zapisuje się pole powierzchni styku (7) zwojów gwintu metrycznego w postaci
π n
π N
A =
d − D =
d − D (41) p
( 2 21)
( 2 21)
4
4 P
Ponieważ
2
2
d − D = d − D d + D (42) 1
( 1)( 1)
oraz na podstawie rys.2
5
d − D =
H = 1. 0825P (43) 1
4
dlatego
(
d − D
+
= .
− .
(44)
1 )( d
D1 )
P
1 0825P 2 1 0825
d
d
Po uwzględnieniu zależności (44) wzór (41) określający pole powierzchni styku przyjmuje postać 1.0825π N d
P
A
2 1.0825
(45)
p =
−
4
d
a po podstawieniu wartości wielkości P/ d = 0.1047 otrzymuje się A = 0.510
6 π N d
(46)
p
oraz ostatecznie wzór określający dopuszczalne obciążenie śruby z warunku na naciski powierzchniowe
Q
= 0.510
6 π N d
p
(47)
p d
op
dop
Podsumowanie
W tablicy 2 zamieszczono zestawienie wyprowadzonych zależności określających dopuszczalne obciążenie śruby z poszczególnych warunków wytrzymałościowych
Tablica 2
Warunek wytrzymałości:
Zależność na obciążenie dopuszczalne
rozciąganie rdzenia śruby
Q
= 0.185
9 π d 2
k (17)
r d
op
r
ścinanie zwojów gwintu
Q
= 0.5332 π N d
k (40)
t dop
tn
naciski powierzchniowe na zwojach
Q
= 0.510
6 π N d
p
(47)
p d
op
dop
Andrzej Witek 7
Jeżeli będą spełnione warunki:
Q
≥ Q
(48)
p d
op
r d
op
Q
≥ Q
(49)
t d
o
p
r d
o
p
wówczas obliczenia wytrzymałościowe złącza śrubowego można ograniczyć do obliczeń wytrzymałości rdzenia śruby na rozciąganie.
Po uwzględnieniu zależności (17), (40) i (47) w warunkach (48) i (49) otrzymuje się 0.510
6 π N d
p
≥ 0.185
9 π d 2
k (48)
dop
r
0.533
2 π N d
k
≥ 0.185
9 π d 2
k (49)
tn
r
Dopuszczalne obciążenia śruby M10
wg literatury PKM
Qtdop
Qpdop
Q
Siła
rdop
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4.8
6.7
Wysokość nakrętki, mm
według własnych analiz
Siła
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Wysokość nakrętki, mm
7.6
7
9.1
Rys.5. Porównanie wysokości nakrętki wg literatury PKM i własnego opracowania
8 Wytrzymałość śruby – wysokość nakrętki a stąd warunki określające wymaganą wysokość nakrętki (długość skręcenia) kr
N ≥
3
.
0 64 d
(50)
pdop
oraz
kr
N ≥ 0.349 d
(51)
ktn
Dla zalecanych w gwintach relacji kr/ kt = 2.2 oraz kr/ pdop = 2.5 otrzymuje się N ≥ 0.91 d
(52)
oraz
N ≥ 0.77 d
(53)
Ilustracją zależności (52) i (53) są wykresy dopuszczalnych obciążeń przedstawione na rys. 5