Fizyka Ciała Stałego II

opracowanie zagadnień

1. Ciepło właściwe wg Debye’a.

Ciepło właściwe, powtórka:

Gaz doskonały, jednoatomowy:

3

ciepło właściwe przy stałej objętości c =

R

V

2

5

ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu c =

R

p

2

- wyniki, które chcemy wyprowadzić.

pV

Dla 1 mola gazu:

= R

T

Rozważmy gaz w sześciennym pudle o krawędzi l . Możemy rozpatrywać oddzielnie każdą cząstkę.

Jeśli prędkość danej cząstki w jednym kierunku, np. w kierunku y , wynosi v , to y

l

2

czas między kolejnymi uderzeniami o ściankę: t =

.

v y

Zmiana pędu w jednorazowym akcie zderzenia: p

∆ = 2 mv

y

2

d v

d p

p

∆

2 mv

mv

Siła: F = ma = m

=

, st

y

ąd siła działająca na ścianki: F

y

=

=

=

dt

dt

t

l

2

l

vy

2

2

F

mv

mv

Ci

y

śnienie, jakie wywiera jedna cząsteczka na ścianki naczynia: p y

=

=

=

l 2

l 3

V

Gdy weźmiemy dużo cząstek:

1

średnia prędkość: 2

2

2

2

v

= v + v + v

v = v = v →

2

2

2

2

v = v = v = v śr

x

y

z

x

y

z

ś

x

y

z

3 r

mv 2

1

Ciśnienie całkowite jednego mola: p

= N

2

p V =

N mv

cał

A

V

3

cał

3

A

2

mv = E - energia kinetyczna 1 cząsteczki 1

2

k

2

2

2

p V =

N E

= E

= U

cał

A

k 1

k , cał

3

3

3

pV

Ze wzoru

= R → pV = RT

T

2

3

U = RT

→

U =

RT

3

2

Ciepło właściwe to ilość energii, jaką musimy dostarczyć, aby ogrzać ciało o 1°C:

 U

∂ 

3



 = R

 T

∂ 

2

V

A co będzie, jeśli zmienimy objętość, np. przesuwając tłok o powierzchni S o ∆ x ?

Praca wykonana podczas przesuwania tłoka: W = F ⋅ ∆ x = p ⋅ S ⋅ ∆ x = p ⋅ V

∆

RT

RT

RT

R

V =

V

1

=

V

2

=

→

W = p ⋅ ∆ V = p ( T

2 − T 1 ) = R ⋅ ∆ T

p

1

p

2

p

p

Stąd dodatkowa praca wykonana kosztem dostarczonego ciepła na rozprężenie gazu:

∆ W =

 U

∂ 

3

5

R



 = R + R = R

∆ T

 T

∂ 

2

2

p

 U

∂ 

Ciepło właściwe dla ciał stałych (prawo Doulonge’a – Petitte’a) : 

 = 3 R

 T

∂  V

Zależność ciepła właściwego od temperatury jest jak 3

T . Próbował to wyjaśnić najpierw Einstein, który założył, że drgania sieci są skwantowane. Jego teoria dobrze sprawdzała się w pewnym zakresie temperatur, jednak uwzględniała tylko drgania optyczne, podczas gdy w niskich temperaturach dominują drgania akustyczne.

W pełni wyjaśnił tą zależność Debye, który założył liniową zależność częstości od wektora falowego.

Rozważmy wielkość zależną od temperatury. Temperatura wynika z drgań fononów o częstości ω

od 0 do ω

:

max

A T

( ) = ∫ A ω

( ) ⋅ f ω

( ) ⋅ Z ω

( ) ⋅ dω

ω

| |

prawdopodobieństwo gęstość

obsadzenia stanu

o danej częstości

ωmax

∫ Z(ω)⋅ dω = 3 N - ilość drgań zależnych od wektora falowego dla fononów 0

Oznaczenie wektora falowego: elektrony - k , fonony - q 1

1

Z ( q) =

=

- podobnie jak dla elektronów, tylko 2 razy mniej, bo bez spinów (dla V = 1) ( π

2 )3

π

8

Fala stojąca w ciele stałym jest skwantowana (mamy skończoną ilość możliwych długości fali)

– długość fali jest ograniczona od góry przez rozmiary kryształu, a od dołu przez odległość między atomami.

dN = Z ( q)

1

⋅ π

4 q 2 dq = Z 1 ω

( ) ⋅ dω

(dla jednej gałęzi drgań)

π 2

2

4

Z ( ) =

=

1 ω

q dq

q dq

π

3

8

dω

π 2

2

dω

Debye założył, że częstość jest zależna liniowo od wektora falowego, a współczynnikiem

proporcjonalności jest prędkość dźwięku.

ω =

dq

1

2

ω

2

ω

u ⋅ q

2

→

=

q =

, stąd: Z (ω) =

dω

,

u

2

1

u

2

3

2π u

2

3ω

Powyższy wynik dotyczy jednej gałęzi. A więc całkowita gęstość: Z (ω) = 3⋅ Z (ω) =

1

2

3

2π u

ω

ω

max

max

2

3

∫

3ω

ω

Z (ω) ⋅ dω = 3 N

max

∫

⋅ ω =

=

→

d

3 N

2

3

2

3

A - wstawiamy tu liczbę Avogadro 2π u

2π u

0

0

(liczymy ciepło molowe)

3

2

ω

= 6π u 3 N

ω

6π

max = 3

2 N ⋅

max

A →

u

A

ωmax

2

ω

(

A T ) = ∫ (

A ω ⋅

1

)

h

⋅ 3

dω

ω

2

3

2π u

0

e kT −1

|

statystyka Bosego-Einsteina (fonony są bozonami)

hω

Bierzemy zmienną do całkowania:

kT

hω

3



3

2

kT 

kT

1

 hω   hω 

A T

( ) =



 ⋅ A ω

( )



 d



2

3

∫

π

2

u  h 

hω

 kT 

 kT 

0

e kT −1

hω

hω

Debye zauważył, że

ma wymiar temperatury (bo

jest bezwymiarowe)

k

kT

ω

h

stąd:

max = Θ - tzw. temperatura Debye’a

k

ω zale

ω

6π

max = 3

2 N ⋅

max

ży od prędkości dźwięku:

u

A

α

z kolei u ~

, gdzie α - stała sprężystości

m

3

ω

u 3

max

=

2

6π N

- wstawiamy to do wyrażenia przed całką: A

3

3

3

2

3 ⋅ 6π N  kT 

 kT 

 T 

A 

 = 9 N A

= 9 N  

2

3





, a stąd:

2π ω

 h 



h

ω



A  Θ 

max

max

Θ



3

T

T



x 2

A T

( ) = 9 N 

 ⋅ ∫ A(ω)

dx

A  Θ 

- jest to wzór odnoszący się do wszystkich materiałów ex −1

0

Możemy policzyć średnią energię:

energia 1 fononu:

ω

h

(

A

) = ω

Θ



3

T

T



x 2

ω

średnia energia:

A T

( ) = U = 9 N 

 ⋅ ∫ A(ω h

)

dx

A

 Θ 

ex −1

0





zauważamy, że:

=

ω

ω

h

h

kT 

 = kTx

 kT 

Θ

T 4 T

x 3

U = 9 kN

⋅

=

3

∫

dx

A Θ

,

kN

R

ex −1

A

0

Θ

T 4

T

x 3

Ostatecznie:

U = 9 R

⋅

3

∫

d x

Θ

e x − 1

0

Rozwiązanie analityczne:

1° wysokie temperatury: T >> Θ , x << 1 , x

<< 1, ex −1 ≈ 1+ x −1 = x max

Θ

T 4 T

Θ

2

T 4

3

 ∂ 

U = 9 R

⋅ ∫ x dx = 9 R

⋅

= 3 RT

U

,

c = 

 = 3 R

3

3

Θ

Θ T 3

V

 T

∂ 

0

Θ

∞

x 3

2

π

2° niskie temperatury: T << Θ →

→ ∞ ,

∫

d x = chyba

= const

T

e x −1

15

0

4

∂

≅ 3 RT

 U 

U

3

,

c = 

 ~ T - pojawia się zależność, którą wcześniej otrzymano 5 Θ

V

 T

∂ 

Dla elektronów w metalach: c

~ T

V

.