Fizyka Ciała Stałego II
opracowanie zagadnień
1. Ciepło właściwe wg Debye’a.
Ciepło właściwe, powtórka:
Gaz doskonały, jednoatomowy:
3
ciepło właściwe przy stałej objętości c =
R
V
2
5
ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu c =
R
p
2
- wyniki, które chcemy wyprowadzić.
pV
Dla 1 mola gazu:
= R
T
Rozważmy gaz w sześciennym pudle o krawędzi l . Możemy rozpatrywać oddzielnie każdą cząstkę.
Jeśli prędkość danej cząstki w jednym kierunku, np. w kierunku y , wynosi v , to y
l
2
czas między kolejnymi uderzeniami o ściankę: t =
.
v y
Zmiana pędu w jednorazowym akcie zderzenia: p
∆ = 2 mv
y
2
d v
d p
p
∆
2 mv
mv
Siła: F = ma = m
=
, st
y
ąd siła działająca na ścianki: F
y
=
=
=
dt
dt
t
l
2
l
vy
2
2
F
mv
mv
Ci
y
śnienie, jakie wywiera jedna cząsteczka na ścianki naczynia: p y
=
=
=
l 2
l 3
V
Gdy weźmiemy dużo cząstek:
1
średnia prędkość: 2
2
2
2
v
= v + v + v
v = v = v →
2
2
2
2
v = v = v = v śr
x
y
z
x
y
z
ś
x
y
z
3 r
mv 2
1
Ciśnienie całkowite jednego mola: p
= N
2
p V =
N mv
cał
A
V
3
cał
3
A
2
mv = E - energia kinetyczna 1 cząsteczki 1
2
k
2
2
2
p V =
N E
= E
= U
cał
A
k 1
k , cał
3
3
3
pV
Ze wzoru
= R → pV = RT
T
2
3
U = RT
→
U =
RT
3
2
Ciepło właściwe to ilość energii, jaką musimy dostarczyć, aby ogrzać ciało o 1°C:
U
∂
3
= R
T
∂
2
V
A co będzie, jeśli zmienimy objętość, np. przesuwając tłok o powierzchni S o ∆ x ?
Praca wykonana podczas przesuwania tłoka: W = F ⋅ ∆ x = p ⋅ S ⋅ ∆ x = p ⋅ V
∆
RT
RT
RT
R
V =
V
1
=
V
2
=
→
W = p ⋅ ∆ V = p ( T
2 − T 1 ) = R ⋅ ∆ T
p
1
p
2
p
p
Stąd dodatkowa praca wykonana kosztem dostarczonego ciepła na rozprężenie gazu:
∆ W =
U
∂
3
5
R
= R + R = R
∆ T
T
∂
2
2
p
U
∂
Ciepło właściwe dla ciał stałych (prawo Doulonge’a – Petitte’a) :
= 3 R
T
∂ V
Zależność ciepła właściwego od temperatury jest jak 3
T . Próbował to wyjaśnić najpierw Einstein, który założył, że drgania sieci są skwantowane. Jego teoria dobrze sprawdzała się w pewnym zakresie temperatur, jednak uwzględniała tylko drgania optyczne, podczas gdy w niskich temperaturach dominują drgania akustyczne.
W pełni wyjaśnił tą zależność Debye, który założył liniową zależność częstości od wektora falowego.
Rozważmy wielkość zależną od temperatury. Temperatura wynika z drgań fononów o częstości ω
od 0 do ω
:
max
A T
( ) = ∫ A ω
( ) ⋅ f ω
( ) ⋅ Z ω
( ) ⋅ dω
ω
| |
prawdopodobieństwo gęstość
obsadzenia stanu
o danej częstości
ωmax
∫ Z(ω)⋅ dω = 3 N - ilość drgań zależnych od wektora falowego dla fononów 0
Oznaczenie wektora falowego: elektrony - k , fonony - q 1
1
Z ( q) =
=
- podobnie jak dla elektronów, tylko 2 razy mniej, bo bez spinów (dla V = 1) ( π
2 )3
π
8
Fala stojąca w ciele stałym jest skwantowana (mamy skończoną ilość możliwych długości fali)
– długość fali jest ograniczona od góry przez rozmiary kryształu, a od dołu przez odległość między atomami.
dN = Z ( q)
1
⋅ π
4 q 2 dq = Z 1 ω
( ) ⋅ dω
(dla jednej gałęzi drgań)
π 2
2
4
Z ( ) =
=
1 ω
q dq
q dq
π
3
8
dω
π 2
2
dω
Debye założył, że częstość jest zależna liniowo od wektora falowego, a współczynnikiem
proporcjonalności jest prędkość dźwięku.
ω =
dq
1
2
ω
2
ω
u ⋅ q
2
→
=
q =
, stąd: Z (ω) =
dω
,
u
2
1
u
2
3
2π u
2
3ω
Powyższy wynik dotyczy jednej gałęzi. A więc całkowita gęstość: Z (ω) = 3⋅ Z (ω) =
1
2
3
2π u
ω
ω
max
max
2
3
∫
3ω
ω
Z (ω) ⋅ dω = 3 N
max
∫
⋅ ω =
=
→
d
3 N
2
3
2
3
A - wstawiamy tu liczbę Avogadro 2π u
2π u
0
0
(liczymy ciepło molowe)
3
2
ω
= 6π u 3 N
ω
6π
max = 3
2 N ⋅
max
A →
u
A
ωmax
2
ω
(
A T ) = ∫ (
A ω ⋅
1
)
h
⋅ 3
dω
ω
2
3
2π u
0
e kT −1
|
statystyka Bosego-Einsteina (fonony są bozonami)
hω
Bierzemy zmienną do całkowania:
kT
hω
3
3
2
kT
kT
1
hω hω
A T
( ) =
⋅ A ω
( )
d
2
3
∫
π
2
u h
hω
kT
kT
0
e kT −1
hω
hω
Debye zauważył, że
ma wymiar temperatury (bo
jest bezwymiarowe)
k
kT
ω
h
stąd:
max = Θ - tzw. temperatura Debye’a
k
ω zale
ω
6π
max = 3
2 N ⋅
max
ży od prędkości dźwięku:
u
A
α
z kolei u ~
, gdzie α - stała sprężystości
m
3
ω
u 3
max
=
2
6π N
- wstawiamy to do wyrażenia przed całką: A
3
3
3
2
3 ⋅ 6π N kT
kT
T
A
= 9 N A
= 9 N
2
3
, a stąd:
2π ω
h
h
ω
A Θ
max
max
Θ
3
T
T
x 2
A T
( ) = 9 N
⋅ ∫ A(ω)
dx
A Θ
- jest to wzór odnoszący się do wszystkich materiałów ex −1
0
Możemy policzyć średnią energię:
energia 1 fononu:
ω
h
(
A
) = ω
Θ
3
T
T
x 2
ω
średnia energia:
A T
( ) = U = 9 N
⋅ ∫ A(ω h
)
dx
A
Θ
ex −1
0
zauważamy, że:
=
ω
ω
h
h
kT
= kTx
kT
Θ
T 4 T
x 3
U = 9 kN
⋅
=
3
∫
dx
A Θ
,
kN
R
ex −1
A
0
Θ
T 4
T
x 3
Ostatecznie:
U = 9 R
⋅
3
∫
d x
Θ
e x − 1
0
Rozwiązanie analityczne:
1° wysokie temperatury: T >> Θ , x << 1 , x
<< 1, ex −1 ≈ 1+ x −1 = x max
Θ
T 4 T
Θ
2
T 4
3
∂
U = 9 R
⋅ ∫ x dx = 9 R
⋅
= 3 RT
U
,
c =
= 3 R
3
3
Θ
Θ T 3
V
T
∂
0
Θ
∞
x 3
2
π
2° niskie temperatury: T << Θ →
→ ∞ ,
∫
d x = chyba
= const
T
e x −1
15
0
4
∂
≅ 3 RT
U
U
3
,
c =
~ T - pojawia się zależność, którą wcześniej otrzymano 5 Θ
V
T
∂
Dla elektronów w metalach: c
~ T
V
.