2010/2011, sem. zimowy
Ciągi
Zad.1. Zbadać monotoniczność danego ciągu {an}:
√
(1) an = n−1 ,
(3) a
n,
(5) a
,
n+3
n = 5n +
n = 3n
n!
(2) an = 2+n ,
(4) a
,
(6) a
.
2+n2
n = 3n + 1
n
n =
5n
(n+1)!
Zad.2. * Które wyrazy ciągu spełniają nierówność |an| < , jeśli: (1) an = (− 1 )n,
= 0, 01, = 0, 001;
2
(2) an = 1 ,
= 0, 01, = 0, 001, = 0, 0001.
n
Zad.3. * Dany jest ciąg {an} i liczba g. Wykaż, że {an} jest rosnący i że g jest jego granicą, jeśli: (1) an = n−1 , g = 1 ;
(2) a
, g = −1.
2n
2
n = −n−1
n
Zad.4. * Dany jest ciąg {an} i liczba g. Wykaż, że {an} jest malejący i że g jest jego granicą, jeśli: (1) an = 4n+1 , g = 2;
(2) a
, g = − 1 .
2n−1
n = 1−n
2n
2
Zad.5. * Dane są ciągi {an} i {bn} o wyrazach ogólnych: an = 3n , b
. Obliczyć granice obu tych
n+1
n = 2n−1
n+1
ciągów oraz ciągów {cn}, {dn}, {un}, {vn}, o wyrazach ogólnych: (1) cn = an + bn,
(2) dn = an − bn,
(3) un = an · bn,
(4) vn = an .
bn
Zad.6. Obliczyć granice ciągów {an}:
√
(1) an = 3 ,
(13) a
25n2 + 1,
(25) a
√
,
2n2
n = 5n −
√
n =
2
n−
n2+4n
(2) an =
7
,
(14) a
n2 − n − n,
3n2+1
n =
(26) a
,
√
n =
−1
√
4
n2+5n+5−n
n−2
(3) a
(15) a
√
,
√
n = 5n2−4n+3 ,
n =
3n2−5n+11
n+1
(27) a
n( n2 + n − n),
√
n = 1
3
√
√
(4) a
n
(16) an = 3n+1 ,
n =
,
2·3n+1
3n−1
(28) an = 3 n3 + 2 3 n3 − 2, (17) a
,
√
(5) a
n = 2n−3·5n
n = (n−2)(n−12) ,
6·5n−2
n2−n+3
(29) an =
3 · 42n − 15 · 16n + 1,
(6) a
(18) a
,
√
n =
n
√
,
n = 4n+8·6n
5
2n+7·6n
n+3
2n5+3
(30) an = −5 4
√
√
,
n+ 4 n
(7) a
(19) an = n!−1 ,
√
√
n = ( 6n−15 )4,
n!+1
3n+2
n
(31) a
7+ n 8
√
n = √
,
(20) a
,
n n+ n 1
(8) a
n = (n−1)!−(n+1)!
3
n = 3n3−n2−2n−1 ,
(n−1)!+(n+1)!
4n3+5n2−1
√
√
√
1 n n−n+1
(32) a
n2 + n −
n2 − 1,
2
n =
(9) a
(21) an =
,
1
n = 2n2(n3−1)(n3+1) ,
n2−1
5n8+2n2−1
3
1
√
n(3n+1)(4n+2)
2
2n+1
(33) an =
,
(10) a
(22) a
√
,
(2n−1)(n2+1)
n = n5+3 ,
n = 3
n10+3
3 2n
√
(11) a
(23) a
(34) an = (2n+1)(n2−7) ,
n = n −
n2 + 1,
n = log(n2 + 7) − 2 log n,
(4n−1)(5n−1)
√
√
√
n+2−
n+1
(12) a
√
√
n = n −
n2 + 2n,
(24) an =
,
(35) a
)35,
n+1−
n
n = ( 3n+7
2n−3
(36) a
2n2−1
n = 4 log (2n) − log
− log (3n2 − 1).
5
4
3
4
Zad.7. ** Dla jakich wartości parametru p ciąg o wyrazie ogólnym an =
pn+1
jest:
(p−1)n−2
1
2010/2011, sem. zimowy
(1) zbieżny do granicy 2,
(3) rozbieżny do +∞,
(2) zbieżny do granicy 1 ,
(4) zbieżny do granicy 0?
2
Zad.8. Obliczyć granice ciągów {an}: (1) an = ( 1+2+...+n )2 − n2, (5) a
+ 1 + 1 + . . . +
1
,
n+4
n =
1
1·2
2·3
3·4
(n−1)n
1+ 1 + 1 +...+ 1
(2) a
3
32
3n
n =
,
(6) a
)(1 − 1 ) . . . (1 − 1 ),
1+ 1 +
1
n = (1 − 1
22
32
n2
4
42 +...+ 1
4n
(3) a
(7) an = 1+5+8+...+(4n−3) ,
n = 1−2+3−4+...+(2n−1)−2n
√
,
3n2−1
n2+1
− 1 n2−2n
(4) a
3
n = 4+7+10+...+(3n+1) ,
(8) a
.
2n2−1
n = 3+6+...+3n
Zad.9. Obliczyć granice ciągów o wyrazie ogólnym {an}: (1) an = (1 + 2 )3n,
(6) a
)n,
(11) a
)n,
n
n = (1 − 1
n2
n = ( 6n+1
n
(2) an = (1 − 3 )6n+1,
(7) a
)n,
4n
n = (1 + n+1
n2+2
(12) an = n(ln(n + 7) − ln(n + 2)), (3) a
√
√
√
n = ( n+4 )n−1,
n+2
(8) an = ( n2−5n+4 )2n−1,
(13) a
n(ln( n+3)−ln( n)),
n2+5n+4
n =
(4) an = 4(n+4)n ,
(n+3)n
(9) an = ( n3+n−2 )n2−1,
n3+n+2
(5) an = (n+1)n ,
(10) a
)n,
(n+7)n
n = (
n
5n−1
(14) an = 3n(ln(2n + 5) − ln(2n + 1)), (15) an = 2n3(ln(n3 + 4) − ln(n3 + 1)).
2