Oceanotechnika

2010/2011

Semestr II

Kolokwium bę dzie się składało z 4 zadań . KaŜ de zadanie za 5 punktów. Czas trwania maksymalnie 60 minut.

PoniŜ ej przykładowe zadania z kolokwiów z poprzednich lat.

Zakres materiału:

1. Funkcje wielu zmiennych (dziedziny, pochodne czą stkowe, ekstrema, wartość najwię ksza i najmniejsza, róŜ niczka zupełna)

2. Funkcje uwikłane (pochodne, ekstrema) 3. Całki podwójne (całki iterowane, współrzę dne biegunowe, zastosowania)

Funkcje wielu zmiennych

2

2

u

∂

u

∂

1  ∂ u 

2

2

Zadanie a). Sprawdzić czy funkcja u( x, y) = x y spełnia równanie:

+

+ 

 = ( x + y) .

2

x

∂

y

∂

4  x

∂ 

x

2

2

arcsin

b). Wyznaczyć dziedzinę funkcji z( x, y) = ln(4 − x − y ) +

. Wykonać odpowiedni rysunek.

2

x + 1

u

∂

2

∂ u

xy

Zadanie Obliczyć pochodne pochodne cząstkowe i

gdy funkcja u( x, y) = e sin x . Wyznaczyć

x

∂

2

y

∂

u

∂

u

∂

xy

xy

xy

dziedzinę funkcji u( x, y). Odp :

= ye sin x + e cos x ,

= xe sin x ,

x

∂

y

∂

2

∂ u = x 2 exy sin x D

∈

u {

2

( x, y)

R

:

}

,

y 2

∂

2

Zadanie Zbadać czy funkcja f ( x, y) = arctgx − y x spełnia równanie róŜniczkowe : 2

2

f

∂

f

∂

∂ f

∂ f

2

2

−

+ y

− y

=

.

2

x

∂

y

∂

y

∂

x

∂ y

∂

1

2

+ x

1 2

2

1

Zadanie Sprawdzić czy funkcja f ( x, y) =

x + xy +

ma w punktach P ( ,

0 )

2 , P

)

0

,

1

(

i P

,

1

( 2) ekstrema,

2

x

1

2

3

jeśli tak to określić ich rodzaj. Odp: Punkt P nie naleŜy do dziedziny funkcji, P nie spełnia warunku 1

3

koniecznego istnienia ekstremum, natomiast w punkcie P jest minimum f

)

0

,

1

(

= 5

,

1 .

2

min

2

Zadanie Obliczyć wartość największą i najmniejszą funkcji f ( x, y) = 2 x( xy − 4) − y( x − 4) na zbiorze B = {( x, y) 0

: ≤ x ≤ ,

4 0

≤ y ≤ }

4 .

3

2

Zadanie Korzystając z róŜniczki funkcji obliczyć przybliŜoną wartość wyraŜenia: ln( 0

,

1

)

5 3 ( 9

,

0

)

5

+ 0

,

7 2.

Funkcje uwikłane

xy

− xy

Zadanie: Wyznaczyć y' ' dla funkcji uwikłanej danej równaniem: 1 + xy − ln( e

+ e ) = 0.

2

2

Zadanie: Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanej danej równaniem: x + y − xy − 2 x + 4 y = 0 .

Całki podwójne

Zadanie Obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi y = 6 − x, x = , 1 x = ,

8 oraz yx = 5 . Odp: 26 + 5ln 8

D = {( x, y)

2

∈ R : 2

2

2

≤ x + y ≤ ,

4 y ≤ }

Zadanie Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru 0 .

2π

2

Odp: ∫∫ dxdy = ∫ dϕ ∫ rdr = π .

D

π

2

Zadanie Za pomocą całki podwójnej przedstawić wzór na objętość bryły ograniczonej powierzchniami: π

ϕ

2

9 cos

z = ,

6 z − 2

2

2

= − x + y , 2

x − 9

2

x = − y . Odp. ∫ ϕ

d

∫ r(4 + r) dr

−π

0

2

Zadanie Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole części powierzchni 3 xy − z −1 = 0 leŜącej nad obszarem 2

określonym nierównościami: 9

2

≤ x + y ≤ 49 i y ≤ .

x Odp:

π

7

4

∫ dr ∫ r 1+ 2

3 r dr = ... = π

3

(

1

( 4 )

8

−

3

(2 )

8

.

9

3

− 3π

4

2

2

Zadanie Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole części powierzchni o równaniu: z + 5 = x + y leŜącej między 2

2

2

2

powierzchniami o równaniach: x + y = 5 i x + y = 25 , oraz spełniającej warunek: y > 0. Odp.

π ( 1013 − 213 ) .

12