Egzamin pisemny z matematyki

Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2012/2013

Cz¸

eść zadaniowa

Zad.Z1. [9p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Dane jest pole wektorowe ~

F (x, y, z) = [3 cos x ey, 3 sin x ey − 2z sin y, 2 cos y − 3z2]. Sprawdzić, czy pole to jest potencjalne. Jeżeli tak, wyznaczyć potencja l tego pola. Obliczyć R ~

F ◦ d~r, gdzie krzywa L ma parametryzacj¸e L

x(t) = sin 2t, y(t) = sin 3t, z(t) = t, t ∈ [0, π ].

2

Zad.Z2. [6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Obliczyć mas¸e luku L : {x(t) = et, y(t) = et, z(t) = t, t ∈ [0, 1]}, jeżeli ρ(x, y, z) = xy.

Zad.Z3. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

∞

Dany jest szereg pot¸egowy P (−1)n(3x−6)n .

Wyznaczyć promień zbieżności, przedzia l zbieżności, zbadać 3

√n+1

n=0

zbieżność (i określić jej rodzaj) w prawym krańcu przedzia lu zbieżności.

Zad.Z4. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

Dana jest funkcja f (x) =

1

. Rozwin¸ać funkcje f (x) i f ′(x) w szereg Taylora w otoczeniu x x2+6x+18

0 = −3.

Obliczyć f (46)(−3).

Zad.Z5. [9p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

Dana jest g¸estość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X:





|x − 1| x ∈ [0, 2]

f (x) =

.



0

x /

∈ [0, 2]

Obliczyć P (1 − X2 ≥ 0). Wyznaczyć dystrybuant¸e zmiennej losowej X oraz narysować jej wykres. Obliczyć EX, D2X oraz D2(5X + 1).