Przykładowe testy z rachunku prawdopodobie stwa
TEST Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIE STWA
Wariant I
1. Dla dowolnych zdarze A, B prawdziwe s równo ci a) P( A − B) = P( ) A − P( B)
b) P( A ∪ B) = P( ) A + P( B)
c) P( A ∩ B) = P( ) A ⋅ P( B)
A adna
B a) i c)
C wszystkie
D b) i c)
2. G sto zmiennej losowej ci głej X wyra a si wzorem: 0
dla x ∉ (− ,
1 0) ∪ ,
1
( 2)
f ( x) =
5
,
0
dla x ∈ (− ,
1 0) ∪ ,
1
(
)
2
Ile wynosi warto dystrybuanty dla x = 1,5?
A 0,5
B 1
C 0,75
D 0
3. Dla jakiej warto ci c funkcja przedstawiona na rysunku jest g sto ci pewnej zmiennej losowej 0
dla x ∉(− c, c)
f ( x) =
2
c − 2
x
dla x ∈ (− c, c) A π/2
B 1
C c > 0 - dowolne D 2 π
/
4. Je li X, Y to dowolne zmienne losowe to dla dowolnej stałej c prawdziwe s równo ci a) E( X − cY ) = E( X ) − cE( Y ) b)
2
D ( X − cY )
2
= D ( X )
2
2
− c D ( Y)
c)
2
D ( c + X + Y ) 2
= D ( X + Y )
A a) i c)
B adna
C wszystkie
D a) i b)
48
5. Z talii zawieraj cej 52 karty losujemy jednocze nie 3 karty. Liczba 3
okre la prawdopodobie stwo
1 − 52
3
zdarzenia polegaj cego na wylosowaniu:
A Kart bez asów B Trzech asów
C
Co najmniej
D
Najwy ej trzech asów
jednego asa
1
Przykładowe testy z rachunku prawdopodobie stwa
6. Rozpatrujemy zdarzenie (3 < X < 5).
Dla którego z rozkładów Poissona z parametrem λ prawdopodobie stwo tego zdarzenia jest najmniejsze: A λ = 2
B λ = 0,5
C λ = 1,5
D λ = 0,25
7. Funkcja prawdopodobie stwa zmiennej losowej X ma posta k
2 −
5 k
25 1
4
P( X = k) =
k = 0, 1, ..., 25. Warto oczekiwana EX wynosi: k
5
5
A 5
B 1/3
C 15
D 2/3
8. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny w przedziale (0, 1). Ile takich niezale nych zmiennych losowych nale y zsumowa , aby uzyskana w ten sposób zmienna losowa miała odchylenie standardowe równe 1.
A 4
B 6
C 16
D 12
9. Zmienna losowa X ma funkcj charakterystyczn ϕ t 2
( ) = cos t . D2X wynosi:
A 0
B 2
C 1
D adna z podanych
10. Zmienna losowa (X,Y) ma stał g sto na zaznaczonym zbiorze.
1
1
F(1/2; 1/2) wynosi:
A 0,5
B 1
C 0
D adna z podanych
(odp. 1a, 2c, 3d, 4a, 5c, 6d, 7a, 8d, 9b, 10c) 2
Przykładowe testy z rachunku prawdopodobie stwa
TEST Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIE STWA
Wariant II
1. Dla dowolnych zdarze A, Ai i = 1, 2, ..., n prawdziwe s równo ci a) Je li A
P( A + P A + + P A n
=
1 )
( 2) ...
( )
1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ An = Ω to 1
b) 0 ≤ P( )
A ≤ P( A )′ ≤ 1
c) P( )
A + P( A )′ = 1
A adna
B a) i c) C wszystkie
D c)
2. Funkcja
ex
dla x < 0
F( x) =
−
e x dla 0 ≤ x ≤ 1
1
dla x > 1
nie jest dystrybuant adnej zmiennej losowej bo: A
Nie jest
B
Nie jest
C
Nie spełnia warunku D
Nie spełnia
lewostronnie
niemalej ca
F(−∞) = 0
warunku
ci gła
F(∞) = 1
3. Dla jakiej warto ci c funkcja
0
dla x ∉( ,
0 c)
4. f ( x) =
cx
dla x ∈( ,
0 c)
jest g sto ci pewnej zmiennej losowej
A 3 2 B 1
C c > 0
D 2
- dowolne
4. Zmienna losowa X przyjmuje tylko warto ci -1, 0, 1. Wiadomo, e P(X = 0) = 0,75.
Je li Y = X2 to EY jest równe
A 0
B 9/16
C 0,25
D
Nie mo na obliczy , zbyt
mało danych
5. Rzucamy dwiema kostkami. Zdarzenie A polega na wyrzuceniu nieparzystej liczby oczek na pierwszej kostce, zdarzenie B polega na wyrzuceniu parzystej liczby oczek na drugiej kostce. Prawdziwe jest stwierdzenie: a) Zdarzenia A i B s niezale ne,
b) P( A | B) = P( B | ) A
c) P( A ∪ B) = P( ) A + P( B)
A
wszystkie B a) i b)
C a) i c)
D
adne
3
Przykładowe testy z rachunku prawdopodobie stwa
6. Rozpatrujemy zdarzenie (-1 < X < 1). Dla którego z rozkładów dwumianowych z parametrem n = 10 i p prawdopodobie stwo tego zdarzenia jest najmniejsze: A p = 0,8
B p = 0,85
C p = 0,95
D p = 0,9
7. Dla którego z podanych rozkładów zachodzi własno P(X > EX) < 0,5.
A normalnego B Poissona
C jednostajnego D dla adnego z nich
8. Zmienna losowa skokowa ma zerow warto oczekiwan i przyjmuje tylko warto ci -1 i 1. Jej funkcja charakterystyczna jest równa:
A
it
B
it
C
sin
e
e−
t
D adna z wymienionych
9. Wiedz c, e dla zmiennej losowej (X, Y) mamy m
m
m
11 = -0,8, EX = 0, EY = 0, 20 = 4,
02 = 25,
wyznacz warto współczynnika korelacji. Warto ta wynosi: A 0,08
B 0,8
C -0,8
D -0,08
10. Wiedz c, e dla zmiennej losowej (X, Y, Z) mamy EX = 0, EY = -1, EZ = 1 i jej macierz kowariancji jest równa
1
0 −1
0
2
0
−1 0 4
wyznacz warto współczynnika korelacji mi dzy X i Z. Warto ta wynosi: A 1
B -0,5
C -1
D 0,5
(odp. 1d, 2b, 3a, 4c, 5b, 6c, 7d, 8d, 9d, 10b) 4