dr Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2013/2014

CIĄGI LICZBOWE II

Zad.10. Udowodnij, że lim n 5  1 korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona i porównaj n





ten dowód z dowodem przedstawionym na wykładzie.

Zad.11. Wykaż, że ciąg  a określony wzorem rekurencyjnym jest zbieżny a następnie n 

wyznacz jego granicę



a  6

a. 

1

 a  6 a

n1

n



a 

2

b. 

1

 a  2  a

n1

n

Zad.12.

 k 2 2 k  3 n

a. Spośród ciągów a 

1 dobierając odpowiednio k wybierz ten, n

 n

który zmierza do czterech

b. Udowodnij z definicji, że granicą wybranego ciągu jest liczba 4

c. Udowodnij, że każdy z pozostałych ciągów ma granicę mniejszą od 4

1

Zad.13. Oblicz lim a  a  a gdzie

n

a

2

 2

1

2

n

n

n





Zad.14. Udowodnij twierdzenie o trzech ciągach.

Zad.15. Wyjaśnij zastosowanie twierdzenia o trzech ciągach w dowodzie faktu, że lim n a  1

n





Zad.16. Zastosuj nierówność Bernoulliego i twierdzenie o trzech ciągach do obliczenia granicy ciągu

n

a  4 , a następnie wyjaśnij dlaczego nie można w analogiczny sposób n

wyznaczyć granicy ciągu

n

a  n

n