Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Wydział Elektryczny.
Lista zadań nr 4
18 kwietnia 2006 r.
1. Niech X ma rozkład jednostajny na odcinku [−1, 2]. Znaleźć dystrybuantę i gęstość zmiennej losowej Y = X2.
2. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [−1, 3]. Podać dystrybuantę i gęstość zmiennej losowej Y = |X|.
3. Wykonujemy 100 rzutów symetryczna kostką. Korzystając z nierówności Czebyszewa znaleźć przedział, w jaki z prawdopodobieństwem 0.85 wpada ilość otrzymanych szóstek.
4. Stosując nierówność Czebyszewa oszacowano, że prawdopodobieństwo tego, że liczba N orłów w serii rzutów symetryczną monetą będzie się różnić od swojej wartości oczekiwanej o więcej niż 25 %
tej wartości oczekiwanej nie jest większe niż 1/160. Z ilu co najmniej rzutów składała się ta seria?
5. Zwykle w 1000 próbach otrzymywało się liczbę sukcesów zbliżoną do 700. W ostatniej serii prób otrzymano 800 sukcesów. Czy taki wynik będziemy skłonni usprawiedliwić przypadkiem?
6. W dużej partii wyrobów znajduje się 20% wyrobów I gatunku. Losujemy ze zwracaniem 300 sztuk wyrobów.
a) Obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia więcej niż 50 sztuk I gatunku wśród wylosowanych.
b) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że częstość wystąpienia sztuk I gatunku wśród wylosowanych wyrobów wyniesie nie więcej niż 0.30.
7. Średnio, aż dwa na dziesięć kupionych jaj nie nadaje się na pisankę.
a) Ile trzeba kupić jaj, aby z prawdopodobieństwem co najmniej 0.9, zapewnić zrobienie co najmniej 50 pisanek?
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że kupując obliczoną liczbę jaj, zabraknie ich więcej niż 10?
8.
Czas pracy lampy pewnego typu ma rozkład wykładniczy o średniej 900 godzin. Ile lamp trzeba mieć w zapasie, aby z prawdopodobieństwem 0.99 wystarczyło ich na 4 lata nieprzerwanej pracy.
Zakładamy, że spalona lampa jest natychmiast wymieniana na nową.
9. Obliczyć w przybliżeniu prawdopodobieństwo, że partia 100 elementów, z których każdy ma czas pracy T (i = 1, 2, . . . , 100) wystarczy na zapewnienie pracy urządzenia przez łącznie 100 godzin, gdy wiadomo, że ET = 1 oraz D2T = 1.
10. Zmienne losowe X są niezależne i mają ten sam rozkład o gęstości i
( 3 (1 − x2) dla |x| < 1,
f (x) =
4
0
poza tym.
100
10
Niech
X
Z =
X . Oszacować Pr
.
n
Z < √15
n=1
Helena Jasiulewicz