Ekonometria – ćwiczenia 13 z 28-04-2001 r.
Ekonometria – ćwiczenia nr 13 z dnia 28-04-2001 r.
Szacowanie parametrów strukturalnych modeli o równaniach współzależnych Zadanie 1.
Rozważmy model :
Y = β Y + γ Z + γ + ε
1
12 2
11 1
1
1
i = 1, 2
Y = β Y + γ Z + γ + ε
2
21 1
22
2
2
2
Proszę pokazać, że dla oszacowania parametrów strukturalnych tego modelu można zastosować pośrednią metodę najmniejszych kwadratów, a następnie proszę oszacować parametry strukturalne tego modelu mając następujące dane: t Yt1
Yt2
Zt1
Zt2
Xt
1
1 2 0 0 1
2 3 2 0 1
1
3 2 3 0 0 1
4 4 3 1
1
1
5 5 5 1
1
1
1. Sprawdzamy czy pierwsze równanie jest identyfikowalne : A = − γ
rz A
1
[ 22]
1 = 1 m
–
1 = 1
rz A1 = m – 1
1 = 1 ⇒ równanie jest identyfikowalne a) Sprawdzamy czy pierwsze równanie jest jednoznacznie identyfikowalne k1 = 1
k1 = m – 1
1 = 1 ⇒ równanie jest jednoznacznie identyfikowalne 2. Sprawdzamy drugie równanie
A
= − γ
rz A
2
[ 11]
2 = 1 m
–
1 = 1
rz A2 = m – 1
1 = 1 ⇒ równanie identyfikowalne a) Sprawdzamy czy drugie równanie jest jednoznacznie identyfikowalne k2 = 1
k1 = m – 1
1 = 1 ⇒ równanie jest jednoznacznie identyfikowalne 1
Ekonometria – ćwiczenia 13 z 28-04-2001 r.
Model jest jednoznacznie identyfikowalny, czyli możemy zastosować pośrednią metodę najmniejszych kwadratów.
- tworzymy
postać zredukowaną szacowanego modelu Y = π Z + π Z + π + ξ
1
11
1
12
2
1
1
Y = π Z + π Z + π + ξ
2
21 1
22
2
2
2
- szacujemy parametry strukturalne modelu zapisanego w postaci zredukowanej
−
P = ( Z T
1
Z ) Z TY
P- macierz ocen parametrów postaci zredukowanej modelu Z – macierz realizacji zmiennych z góry ustalonych występujących w modelu Y – macierz realizacji zmiennych łącznie współzależnych występujących w modelu
0 0
1
1 2
0 1
1
3 2
2 2 2
Z = 0 0
1
Y = 2 3
Z T Z = 2 3 3 det
ZTZ = 4
1 1
1
4 3
2 3 5
1 1
1
5 5
6
− 4 0
9
8
(
Z T Z )−1
1
= − 4 6 − 2
Z T Y = 12 10
4
0
− 2
2
15 15
5
,
1
−1
0 9
8 5
,
1
2
T
5
,
1
5
,
1
5
,
1
P = −1
5
,
1
− 5
,
0
12 10 =
5
,
1
−
5
,
0
P =
2
−
5
,
0
5
,
2
0
− 5
,
0
5
,
0 15 15 5
,
1
5
,
2
^
Y 1 = 5
,
1 Z + 5
,
1 Z + 5
,
1
1
2
^
Y 2 = 2 Z − 5
,
0 Z + 5
,
2
1
2
^
^
T
B P = − Γ
^
B - macierz ocen parametrów znajdujących się przy zmiennych łącznie współzależnych w modelu zapisanym w postaci strukturalnej
^
Γ - macierz ocen parametrów strukturalnych znajdujących się przy zmiennych z góry ustalonych modelu zapisanego w postaci strukturalnej
1
− β
− γ
0
γ
11
− 1
12
B =
Γ =
− β
1
0
− γ
γ
22
−
21
2
2
Ekonometria – ćwiczenia 13 z 28-04-2001 r.
^
1
−
^
− c
0
11
− 1
c
1
b 2
B =
Γ =
− b
1
0
− c 22 −
21
c 2
1
− b
5
,
1
5
,
1
5
,
1
c
0
21
11
1
c
=
− b
1
2
5
,
0
5
,
2
0
21
−
c 22
c 2
5
,
1 − 2 b
5
,
1
5
,
0 b
5
,
1
5
,
2 b
c
0
12
+
12
−
12
11
1
c
=
− 5
,
1 b
2
5
,
1 b
5
,
0
5
,
1 b
5
,
2
0
21 +
−
21 −
−
21 +
c 22
c 2
5
,
1 − 2 1
b 2 = c
11
5
,
1 + 5
,
0 b
0
12 =
5
,
1 − 5
,
2
1
b 2 = c
1
− 5
,
1 b
2 0
21 +
=
− 5,
1 b
5
,
0
21 −
=
c 22
− 5,
1 b
5
,
2
21 +
= c 2
układ równań na jednoznaczne rozwiązanie ponieważ model jest jednoznacznie identyfikowalny
b
= −3
12
c =
5
,
7
11
c = 9
1
b
= 333
,
1
21
c
= − 5
,
2
22
c = 5
,
0
2
^
Y 1 = −3 Y + 5
,
7 Z + 9
2
1
^
Y 2 = 333
,
1
Y − 5
,
2 Z + 5
,
0
1
2
Zadanie 2.
Proszę oszacować podwójną metodą najmniejszych kwadratów parametry strukturalne modelu:
Y = β Y + γ Z + γ + ε
1
12 2
11 1
1
1
Y = β Y + γ Z + γ + ε
2
21 1
22
2
2
2
mając następujące dane:
t Yt1
Yt2
Zt1
Zt2
Xt
1 2 4 1 0 1
2 3 4 1
1
1
3 3 3 1
1
1
3
Ekonometria – ćwiczenia 13 z 28-04-2001 r.
4 4 2 0 2 1
5 5 2 0 2 1
Równania szacujemy osobno.
Szacowanie parametrów strukturalnych pierwszego równania.
a) budujemy postać zredukowaną dla zmiennej łącznie współzależnej Y2, która w szaco-wanym (pierwszym) równaniu pełni rolę zmiennej objaśniającej Y = π Z + π Z + π + ξ
1
11 1
12
2
1
1
Parametry tego modelu szacujemy klasyczną metodą najmniejszych kwadratów (stosując tą metodę po raz pierwszy)
−
P = ( Z T Z ) 1 T
1
Z
2
Y
1 0
1
1 1 1 0 0 1 1 1
3 2
3
Z T Z = 0 1 1 2 2 1 1
1 =
2 10 6
det
ZTZ = 4
1 1 1 1 1 0 2 1
3 6 5
0 2
1
5
,
3
2
−
5
,
4
11
1
(
Z T Z )−1
= 2
5
,
1
− 3
Z T
1
P = − 5
,
0
2
Y = 1
5
− 5
,
4
− 3
5
,
6
1
5
3
^
Y 2 = Z − 5
,
0 Z + 3
1
2
1 0
1
4
1 1 1 1
^
5
,
3
Y 21 = Z *
1
P = 1 1
1 − 5
,
0
= 5
,
3
0 2 1 3
2
0 2
1
2
na tym kończymy zastosowanie klasycznej metody najmniejszych kwadratów po raz pierwszy b) drugie zastosowanie klasycznej metody najmniejszych kwadratów
^
Y = β Y 2 + γ Z + γ + ε
X = [
2
Y Z 1 ]
1
1
12
11
1
1
1
1
b 2
−
T
T
=
11
c
( X X) 1 X 1 Y
1
c
4
Ekonometria – ćwiczenia 13 z 28-04-2001 r.
4 1
1
4
5
,
3
5
,
3
2 2 5
,
3
1 1
5
,
48
11 1
5
X T X = 1
1
1
0 0 5
,
3
1
1 =
11
3
3 det
XTX=1
1 1
1
1 1 2
0 1
15
3
5
2 0
1
6
−10 −12
47
(
X T X )−1
= −10 17 5, 19 5,
X T
2
Y = 8
−12 19 5
,
5
,
24
17
1
b 2
6
−10 −1247 − 2
11
c
= −10 17 5
,
19 5
,
8 =
5
,
1
c
1
−12 19 5
,
5
,
24 17 5
,
8
^
Y = −2 Y + 5
,
1 Z + 5
,
8
1
2
1
Zadanie domowe 6.
Proszę oszacować podwójną metodą najmniejszych kwadratów parametry strukturalne dru-giego równania.
Zadanie domowe 7.
Rozważmy następujący jednoznacznie identyfikowalny model oszacowany pośrednią metodą najmniejszych kwadratów :
^
Y 1 = Y + 2 Z + 2
2
1
^
Y 2 = 2 Y − Z = 1
1
2
Proszę wyznaczyć wartości ocen parametrów postaci zredukowanej tego modelu.
5