Przykład 2: Oblicz odsetki składane od kapitału początkowego 1000 zł za dwuletni czas oprocentowania przy stopie nominalnej 24% i kapitalizacji: a) rocznej k=1, b) półrocznej k=2, c) kwartalnej k=4, d) miesięcznej k=12.
a) F = P ⋅ (1 + r)n = P ⋅ (1 + r )n = 1000 ⋅ (1 + , 0 24)2 = 1537,6
1
m
r2 n⋅2
,
0 24
b) F =
⋅
P ⋅ (1 + i )
= P ⋅ (1 + )
=1000 ⋅ (1+
)2 2 = 1573 5
, 2
2
2
2
m
r4 n⋅4
0,24
c) F =
⋅
P ⋅ (1 + i )
= P ⋅ (1+ )
=1000 ⋅ (1 +
)2 4 = 1593 8
, 5
4
4
4
m
r12 n 1
⋅ 2
0,24
d) F =
⋅
P ⋅ (1 + i )
= P ⋅ (1 +
)
=1000 ⋅ (1+
)2 12 = 160 ,
8 44
12
12
12
Przykład 3: Oblicz największą i najmniejszą wartość odsetek wygenerowanych w ciągu dwóch lat przez kapitał 1000 zł przy stopie nominalnej 24%.
⋅
F =
⋅
P ⋅ er n
c
=1000⋅ e0,24 2 =1616 0
, 7 ,
Imax=616,07
F = P ⋅ 1
( + r ⋅ n) =1000 ⋅ 1
( + ,
0 24 ⋅ )
2 =1480 ,
Imin=480
Przykład 4: Oblicz i zinterpretuj stopę efektywną, jeśli r = 2 %
4
k
, a odsetki są
kapitalizowane a) raz w roku, b) co pół roku, c) co kwartał, d) co miesiąc, e) w sposób ciągły.
k
k
r
0,24
r
ρ
= +
= +
=
+
c
=
=
=
−
k
(1 ik )k
k
1
1
,
0,24
ρ
e
, r
ρ
1
c
e
ef
k
k
k
Kapitalizacja
k
ρk
ef
r
roczna
1
1,2400
24%
półroczna
2
1,2544
25,44%
kwartalna
4
1,2625
26,25%
miesięczna
12
1,2682
26,82%
ciągła
→∞
1,2712
27,12%
Przykład 5: Na trzyletniej lokacie odsetki składane są obliczane przy stopie nominalnej równej 24% i kapitalizacji rocznej w roku pierwszym, półrocznej w roku drugim, ciągłej w roku trzecim. Oblicz wartość kapitału na koniec kolejnych lat oraz trzyletnie odsetki od 1000 zł.
Rok I:
ρ = 1,24
= ⋅
=
⋅
=
1
,
F
P ρ
1000
,
1 24 1240
1
1
Rok II:
ρ = 1,2544
= ⋅
=
⋅
=
2
,
F
F ρ
1240
,
1 2544 155 ,
5 46
2
1
2
Rok III:
ρ = ,
1 2712
=
⋅
=
⋅
=
=
c
,
F
F
ρ
155 ,
5 46 ,
1 2712 1977 3
, 7
F
3
2
c
I = F – P = 1977,3 7 – 1000 = 977,37
Przykład 6: Bez obliczeń spróbuj określić, które warunki oprocentowania składanego: a) r=18%, k=1, b) i = 5%
4
, k=4, c) rc=19% są/nie są równowaŜne?
a)
r1=18%, k=1,
b)
r4=4⋅5%=20%, k=4,
c)
rc=19%, k→∞
a) i b)
k = 1 < k = 4
=
< =
a
b
,
r
18%
r
20%
1
4
kapitał rośnie szybciej w b ⇒ nierównowaŜność
?
?
+ < +
4
<
=
=
<
=
1
ρ <ρ4 ,
4
1
r (1 i4 ) , 1,18 1,05
,
1 22 , r
1 %
8
r
2 %
2
ef,a
ef,b
a) i c)
k
=
< =
a = 1 < kc → ∞ ,
r
18%
r
19%
1
c
kapitał rośnie szybciej w c ⇒ nierównowaŜność
?
?
+ <
0,19
<
=
=
<
=
1
ρ <ρc ,
c
r
1
r e , 1,18
e
,
1 21,
r
18%
r
21%
ef,a
ef,c
2
=
> =
b = 4 < kc → ∞ ,
r
20%
r
19%
4
c
nie moŜna rozstrzygnąć bez warunku równowaŜności
?
?
4
4
0,19
ρ =
+
=
=
>
=
4
ρc ,
c
r
(1 i4)
e ,
1,05
,
1 22
e
,
1 21,
r
= 22% > r
= 2 %
1
ef,b
ef,c
Przykład 7: Na lokacie bankowej odsetki są obliczane według stopy i =
%
5
,
2
2
z
kapitalizacją półroczną. Saldo na lokacie wynosi 1000 zł. Oblicz przyszłą wartość tego kapitału po upływie 2,25 roku, jeśli za czas krótszy od okresu kapitalizacji oblicza się procent prosty.
P=1000 zł, i = 5
,
2 %
2
, k=2, m=n⋅k=2,25·2=4,5∉N
Czas oprocentowania m=4,5 dzielimy na dwa podokresy m = 4
=
1
i m
5
,
0
2
.
Za czas 1
m obliczamy odsetki składane 1
m
F
= P ⋅ (1 + i ) ,
F = 1000 ⋅ (1 + ,
0 02 )
5 4 = 1103,81
1
m
k
4
Za czas m2 obliczamy odsetki proste od kapitału 1
m
F
F = F
⋅ (1+ i ⋅ m )
=
⋅ + ⋅
=
⋅ +
⋅
=
m
k
2 , F
F
(1 i
m ) 1103 8
, 1 (1
,
0 025
)
5
,
0
1117,61
1
4
2
2
Praca domowa: zadania 3.1 – 3.2, 3.6 – 3.15, 3.25
3