Elektrostatyka - ładunki punktowe
Zad. 1
W dwóch przeciwległych wierzchołkach kwadratu znajdują się ładunki punktowe Q oraz q (pozostałe wierzchołki
kwadratu). Jaka jest zależność pomiędzy Q i q jeżeli siła wypadkowa działająca na ładunek punktowy Q wynosi 0.
Czy można tak dobrać q aby siła wypadkowa działająca na każdy z tych ładunków była równa 0.
Zad. 2
Dwa ładunki punktowe Q1 i Q2 znajdują się w odległości d od siebie. Czy istnieje taki punkt na linii łączącej oba
ładunki, ale nie położony między nimi, w którym natężenie pola elektrostatycznego jest równe zeru. Jakie warunki
konieczne muszą być przy tym spełnione i gdzie się ten punkt znajduje?
Zad. 3
Jednakowe co do wielkości, lecz różne co do znaku ładunki q umieszczone są w dwóch wierzchołkach trójkąta
równobocznego o boku a. Wyznaczyć natężenie pola elektrycznego w trzecim wierzchołku trójkąta.
Zad. 4
Kulkę wahadła matematycznego o masie m, naelektryzowaną ładunkiem q umieszczono w jednorodnym pionowym
polu elektrostatycznym o natężeniu E. Wyznaczyć stosunek okresów drgań wahadła dla przeciwnych zwrotów
natężenia pola elektrostatycznego. Przyspieszenie ziemskie wynosi g.
Zad. 5
Jak należy rozdzielić ładunek Q na dwie kulki, aby siła oddziaływania między kulkami była największa? Oblicz
wartość tej siły.
Zad. 6
Dwie małe metalowe kulki umieszczono w powietrzu w odległości r od siebie na izolującej podstawie. Między kulki
rozdzielono ładunek Q w ten sposób, że siła ich wzajemnego odpychania jest maksymalna. Obliczyć wartość tej siły.
Zad. 7
Dwie jednakowo naładowane kuleczki o tych samych masach zostały zawieszone w próżni na dwóch jednakowej
długości nitkach, zamocowanych u góry w jednym punkcie. Następnie zanurzono je w ciekłym dielektryku. Gęstość
materiału z którego wykonano kulki jest równa ρ, a gęstość cieczy wynosi ρ1. Obliczyć względną przenikalność
dielektryczną cieczy, jeżeli kąt odchylenia nitek w cieczy i w próżni był taki sam.
Zad. 8
Cząstka o masie m 1 naładowana ładunkiem q porusza się z prędkością V w kierunku drugiej, początkowo będącej w
spoczynku, cząstki o masie m 2 naładowanej ładunkiem q tego samego znaku. Na jaką najmniejszą odległość zbliżą
się do siebie te cząstki? Zakładamy, że początkowa odległość cząstek jest bardzo duża, wszelkie opory ruchu
pomijamy. Stała dielektryczna próżni równa jest εo.
Zad. 9
Na kropelkach rtęci o promieniach r = 0.1 cm każda znajdują się jednakowe ładunki q = 2⋅10-13 C. Osiem takich
kropelek zlewa się w jedna dużą kroplę. Jaki będzie potencjał tej kropli? Zakładamy, że wszystkie krople maja
kształt kuli. Przyjąć k = 1/(4πεo) = 9⋅109 Nm2/C2.
Zad. 10
Trzy jednakowe ładunki ujemne q umieszczone są w wierzchołkach trójkąta równobocznego. Jaki ładunek Q
należy umieścić w środku trójkąta, aby układ znajdował się w równowadze?
Zad. 11
N jednakowych kropelek kulistych rtęci naładowano do tego samego potencjału V 1. Jaki jest potencjał V dużej
kropli rtęci otrzymanej w wyniku zlania się tych kropel?
Zad. 12
Linia ekwipotencjalna przechodzi przez punkt o natężeniu pola E 1, odległy od ładunku wytwarzającego pole o
R 1. W jakiej odległości od ładunku wytwarzającego pole należy przeprowadzić drugą linię ekwipotencjalną, żeby
napięcie miedzy liniami było równe U.
Zad. 13
Cztery jednakowe ładunki Q umieszczono w wierzchołkach kwadratu. Gdzie i jaki ładunek q należy umieścić,
aby układ znalazł się w równowadze?
Zad. 14
Pole elektryczne jest wytwarzane przez trzy ładunki Q, 2Q i –3Q umieszczone w wierzchołkach trójkąt
równobocznego o boku a. Oblicz potencjał w środku odcinka łączącego ładunki Q i 2Q.
Na końcach odcinka o długości d znajdują się ładunki Q > 0 i -4Q.W jakich punktach prostej przechodzącej
przez ładunki: (a) natężenie pola równa się zeru, (b) potencjał pola równa się zeru.
Zad. 16
Potencjał w pewnym punkcie pola pochodzącego od ładunku punktowego wynosi V, a natężenie pola wynosi E.
Oblicz wielkość ładunku i odległość tego punktu od ładunku. Przyjmij εr = 1.
Zad. 17
W oleju o gęstości ρ1 = 800kg/m3 wytworzono pionowe, jednorodne pole elektryczne o natężeniu E = 3.6⋅106V/m.
W polu tym umieszczono naelektryzowaną kulkę o promieniu r = 5⋅10-3 m i gęstości ρ2 = 8.6⋅103kg/m3. Obliczyć
ładunek kulki jeżeli wiadomo, że pozostaje ona w spoczynku.
Elektrostatyka – ciągły rozkład ładunku, prawo Gaussa
Zad. 1
Wzdłuż cienkiego pierścienia o promieniu R = 6cm rozłożony jest równomiernie ładunek Q = 10 C. Obliczyć siłę z
jaką ładunek ten działa na ładunek punktowy q = 3⋅10-3C, znajdujący się w odległości d = 5 cm od płaszczyzny
pierścienia na jego osi symetrii.
Zad. 2
Na cienkim metalowym drucie o długości L znajduje się równomiernie rozłożony ładunek Q, oddziałujący siłą F
na punktowy ładunek q. Ładunek ten znajduje się na przedłużeniu drutu w odległości r od jego środka ( r > L/2).
Określić wielkość punktowego ładunku q.
Zad. 3
Oblicz siłę działającą na punktowy ładunek q, znajdujący się w środku równomiernie naładowanego ładunkiem
Q półokręgu o promieniu R.
Zad. 4
Korzystając z prawa Gaussa, wyznaczyć natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez płaszczyznę
naładowaną równomiernie ładunkiem o gęstości powierzchniowej σ .
Zad. 5
Dwie równoległe płytki ustawiono w odległości d = 10cm od siebie i naładowano odpowiednio do potencjałów
+1000V i +200V. Jaka jest wartość i kierunek natężenia pola w punkcie P odległym o Δ x = 2cm od płytki o
potencjale +1000V? Jaki jest potencjał w tym punkcie?
Zad. 6
Dielektryczną kulę o promieniu R naładowano jednorodnie ładunkiem o gęstości objętościowej ρ. Oblicz
zależność potencjału i natężenia pola elektrycznego w funkcji odległości od środka kuli.
Zad. 7
Metalową kulę o promieniu R naładowano ładunkiem q. Oblicz potencjał i natężenie pola elektrycznego w
funkcji odległości od środka kuli.
Zad. 8
Metalowa kulka o promieniu R o posiadająca ładunek Q znajduje się w powietrzu. Znaleźć promienie powierzchni
ekwipotencjalnych, których potencjały różnią się od siebie o ΔV. Wpływ innych naładowanych ciał pominąć.
Zad. 9
Nieskończenie długą prostą nić znajdującą się w próżni naładowano ze stałą gęstością liniową ładunku λ.
Wyznacz moduł natężenia pola E i potencjał V jako funkcję odległości r od nici.
Zad. 1
Płaski kondensator powietrzny o powierzchni okładek S = 0,05 cm2 i odległości między nimi d = 10 m połączono na stale z
baterią o napięciu U = 100V. Obliczyć o ile zmieni się ładunek kondensatora po całkowitym zanurzeniu go w oleju o względnej
przenikalności elektrycznej εr = 6.
Zad. 2
Kondensator napełniony olejem o stałej dielektrycznej εr = 1,8 naładowano do różnicy potencjałów U = 1000 V. Obliczyć
zmianę napięcia jaka nastąpi wskutek wypłynięcia oleju z kondensatora.
Zad. 3
Pomiędzy okładki kondensatora próżniowego wsunięto dielektryk o stałej dielektrycznej εr w ten sposób, że wypełnił on
połowę wnętrza tego kondensatora. Oblicz stosunek pojemności kondensatora z wsuniętym dielektrykiem do pojemności
kondensatora próżniowego.
Zad. 4
Kondensator próżniowy naładowano do napięcia U1 = 800 V. Po odłączeniu od źródła napięcia, okładki tego kondensatora
połączono z okładkami drugiego, nienaładowanego kondensatora o takich samych wymiarach wypełnionego dielektrykiem.
Obliczyć względną przenikalność elektryczną dielektryka, jeżeli po połączeniu kondensatorów napięcie spadło do wartości
U2 = 100 V.
Zad. 5
Płaski kondensator naładowano do napięcia U. Po odłączeniu kondensatora od źródła odległość między jego okładkami
zmniejszono n razy. Energia kondensatora zmieniła się przy tym o Δ W. Obliczyć początkowa pojemność kondensatora.
Zad. 6
Płytki płaskiego kondensatora próżniowego o powierzchni S są ustawione poziomo. Dolna jest umocowana na stałe, górna zaś
zawieszona na sprężynie o współczynniku sprężystości k. Obliczyć o ile wydłuży się sprężyna, jeżeli na płytki wprowadzi się
równe co do wartości lecz o przeciwnych znakach ładunki q.
Zad. 7
Okładki próżniowego kondensatora płaskiego o powierzchni S = 500 cm2 znajdują się w odległości d 1 = 1 cm od siebie i są
naładowane do napięcia U1 = 500 V. Jaką pracę trzeba wykonać, aby po odłączeniu źródła napięcia okładki oddalić na
odległość d 2 = 4 cm? Przenikalność dielektryczna próżni εo = 8,85·10-12 C/Vm.
Zad. 8
Okładki kondensatora płaskiego o powierzchni S = 200 cm2 rozsunięto z odległości d 1 = 0.1 cm na d 2 = 0.4 cm. Oblicz jak
zmieni się energia kondensatora, jeśli był on cały czas podłączony do baterii o różnicy potencjałów U = 300 V.
Zad. 9
Kondensator płaski o pojemności C naładowano ładunkiem Q i odłączono od źródła prądu. Jaką należy wykonać pracę, aby
zwiększyć trzykrotnie odległość między okładkami tego kondensatora?
Zad. 10
Kondensator płaski, którego obszar miedzy płytkami jest całkowicie wypełniony dielektrykiem ma pojemność C = 4μF. Po
naładowaniu go do napięcia U = 100 V i odłączeniu od źródła zasilania z kondensatora usunięto dielektryk. Wymagało to
wykonania pracy W = 0,1 J. Obliczyć względną przenikalność elektryczną dielektryka.
Zad. 11
Kondensator bez dielektryka naładowano ładunkiem Q = 400C i odłączono od źródła napięcia. Po wypełnieniu przestrzeni
między okładkami kondensatora dielektrykiem o stałej dielektrycznej εr = 4 napięcie zmalało do wartości U = 1000V. Obliczyć:
a) pojemność kondensatora, b) jego energię, przed i po wprowadzeniu dielektryka.
Zad. 12
Kondensator powietrzny o zmiennej pojemności od C1 = 20 pF do C2 = 200 pF naładowano do napięcia U = 220 V przy
pojemności C2. Obliczyć wartość wykonanej pracy przy zmianie pojemności kondensatora od C2 do C1 po uprzednim
odłączeniu od źródła napięcia. Opory mechaniczne pominąć.
Zad. 13
Dwa kondensatory o pojemnościach C1 i C2 połączono szeregowo i dołączono do źródła prądu stałego o napięciu U. Obliczyć
energię każdego z kondensatorów.
Zad. 14
Odległość między okładkami kondensatora płaskiego o pojemności C zwiększono czterokrotnie, zmniejszając
równocześnie trzykrotnie powierzchnię czynną okładek. Między okładki kondensatora wprowadzono dielektryk. Jaką
powinien on mieć względną przenikalność elektryczną, aby pojemność kondensatora nie zmieniła się?
Zad. 15
Do płaskiego kondensatora wypełnionego dielektrykiem o εr = 5 doprowadzono ładunek Q, wywołując na nim różnicę
potencjałów U. Jak zmieni się ładunek Q' zgromadzony na kondensatorze i napięcie U' pomiędzy jego okładkami, jeżeli
usuniemy dielektryk?
Ruch ładunku elektrycznego w polu elektrycznym i magnetycznym
Zad. 1
Obliczyć przyspieszenie elektronu z jakim poruszałby się on pomiędzy okładkami płaskiego kondensatora
próżniowego o pojemności C, naładowanego ładunkiem Q. Dodatkowe dane: m - masa elektronu, e - ładunek
elektronu, d - odległość między okładkami kondensatora.
Zad. 2
Elektron poruszając się prostopadle do okładek kondensatora płaskiego, po przebyciu odległości d = 5 mm, jest
to odległość między okładkami kondensatora, uzyskał szybkość v =105m/s. Jaka jest różnica potencjałów między
okładkami kondensatora i natężenie pola elektrostatycznego wewnątrz kondensatora?
Masa elektronu me = 9,1·10-31 kg, ładunek elektronu e = 1,6·10-19 C.
Zad. 3
Pomiędzy okładki kondensatora próżniowego, równolegle do jego okładek, zostaje wstrzelony z prędkością
v 0 = 104 m/s proton. Oblicz przyrost energii kinetycznej protonu po przejściu przez kondensator, jeżeli odległość
między okładkami wynosi d = 5 mm, napięcie między nimi U = 1200 V, a długość okładek L = 0.05 m.
Zad. 4
Pomiędzy okładki próżniowego kondensatora płaskiego równolegle do płyt wpada elektron, wylatuje zaś pod kątem
α=45o do pierwotnego kierunku. Obliczyć energię kinetyczną elektronu w chwili wejścia do kondensatora, jeżeli
natężenie pola wewnątrz kondensatora wynosi E = 5·103 V/m, a długość okładek kondensatora L = 5 cm. Wpływ
pola grawitacyjnego pominąć. Masa elektronu me = 9,1·10-31 kg, ładunek elektronu e = 1,6·10-19 C.
Zad. 5
Pomiędzy okładki kondensatora próżniowego, równolegle do jego okładek, zostaje wstrzelony z prędkością v o
elektron. Określić kąt jaki tworzą kierunki wektora v o i wektora prędkości końcowej elektronu po przejściu przez
kondensator, jeżeli odległość między okładkami wynosi d, napięcie między nimi U, a długość okładek L.
Zad. 6
Cząstka o masie m = 6,6·10-27 kg i ładunku q = 3,2·10-19 C porusza się po torze kołowym o promieniu r = 0,45 m
w polu magnetycznym o indukcji B = 1,2 Wb/m2, prostopadłym do płaszczyzny toru. Oblicz prędkość cząstki
i okres jej obiegu.
Zad. 7
Naładowana cząstka o określonej energii kinetycznej porusza się w polu magnetycznym po okręgu o promieniu
R = 2cm. Po przejściu przez płytkę ołowianą porusza się dalej po okręgu lecz o promieniu r = 1 cm w tym samym
polu magnetycznym. Obliczyć względna zmianę energii cząsteczki. Zmianę masy pominąć.
Zad. 8
Pole magnetyczne o indukcji B = 5·10-4 T jest skierowane prostopadle do pola elektrycznego o natężeniu E=105V/m.
Elektron wpada z pewną prędkością v do obszaru tych pól, przy czym jego prędkość jest prostopadła do
płaszczyzny, w której leżą wektory E i B. Obliczyć:
a) Prędkość elektronu, jeżeli podczas równoczesnego działania obu pól nie zostaje odchylony,
b) Promień okręgu, po którym poruszałby się elektron o takiej prędkości w przypadku działania wyłącznie pola
magnetycznego.
Zad. 9
Proton i elektron poruszają się w jednorodnym polu magnetycznym, prostopadłym do płaszczyzn torów. Obliczyć
stosunek promieni tych torów w następujących przypadkach:
a) wartość pędu elektronu jest równa wartości pędu protonu;
b) energia kinetyczna protonu jest równa energii kinetycznej elektronu.
Stosunek masy protonu do masy elektronu mp/me = 1840. Efekty relatywistyczne pominąć.
Zad. 10
Podać skok krzywej śrubowej dla ładunku wlatującego w obszar pola magnetycznego z prędkością v pod kątem
α od kierunku pola magnetycznego o indukcji B.
Prawo Biota-Savarta i prawo Ampera
Zad. 1
Wyznaczyć indukcję pola magnetycznego wytworzonego przez prąd o natężeniu I płynący przez:
a) nieskończenie długi prostoliniowy przewodnik w odległości r od niego;
b) pół-nieskończony prostoliniowy przewodnik w punktach A, B i C (patrz rys. 1a, h i α są dane);
c) nieskończenie długi przewodnik zgięty pod kątem prostym w punktach E i F (patrz rysunek 1b, h i α są dane).
E
F
h
α
C
B
h
I
α
A
I
rys.1a
rys.1b
Zad. 2
W dwóch bardzo długich, równolegle biegnących przewodach płyną prądy. W pierwszym przewodzie natężenie
jest dwukrotnie większe niż w drugim. Odległość między przewodami wynosi a. W jakiej odległości od
pierwszego przewodu indukcja pola magnetycznego B jest równa zeru, jeżeli prądy płyną: a) w przeciwnym
kierunku; b) w tym samym kierunku.
Zad. 3
Dany jest przewodzący półpierścień o promieniu R, który podłączono do zasilania w punktach A i B tak, że prąd
o natężeniu I popłynął od A do B. Obliczyć indukcję magnetyczną w środku pierścienia (punkt C na rysunku).
Zad. 4
Dany jest jednorodny pierścień o promieniu r i oporze R. W dwóch dowolnych punktach A i B tego pierścienia
przyłączono dwa długie przewody, tak by ich kierunki tworzyły przedłużenia promieni tego pierścienia.
Zasilanie ze źródła o napięciu U. Obliczyć indukcję magnetyczną w środku pierścienia.
Zad. 5
Przez nieskończenie długi przewód wygięty w pętlę o promieniu r, tak jak na rysunku poniżej, płynie prąd o
natężeniu I. Wyznacz indukcję magnetyczną w środku pierścienia (punkt O na rysunku).
.O
.O
Zad. 6
Dany jest przewodząca ramka o boku a (rysunek), którą podłączono do zasilania w punktach A i B tak, że prąd o
natężeniu I popłynął od A do B. Obliczyć indukcję magnetyczną w punkcie C (środek boku ramki).
Zad. 7
Mamy przewodzącą kwadratową ramkę o boku a, w której płynie prąd o natężeniu I. Obliczyć indukcję
magnetyczną: a) w środku kwadratu; b) w rogu ramki.
Zad. 8
Z drutu o tej samej długości utworzono obwody: jeden w kształcie okręgu oraz drugi w kształcie kwadratu.
Obliczyć stosunek wartości indukcji magnetycznej w środkach tych obwodów, jeżeli płyną w nich prądy o tym
samym natężeniu.