ĆWICZENIA 2
Zad. 1
θ −1
θ x
,
0 < x < 1
Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości f ( x) =
, θ > 0 .
θ
,0
poza
Badamy hipotezę H : θ = 1 wobec hipotezy alternatywnej H : θ = 2 . Obszar odrzucenia 0
1
hipotezy H jest wyznaczony nierównością X > c , c ∈ (
)
1
,
0
i jest ustalone. Obliczyć
0
prawdopodobieństwo błędu I i II rodzaju oraz wyznaczyć moc tego testu.
Zad. 2
Niech ( X ,K, X ) będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu wykładniczego o funkcji 1
n
gęstości
−θ x
θ
f ( x)
e
,
x > 0
=
z nieznanym parametrem θ . Weryfikujemy hipotezę H : θ = 1
0
,
0
x ≤ 0
n
wobec hipotezy alternatywnej H : θ = 2 , przy pomocy statystyki testowej T = ∑ X .
1
i
i=1
a) Korzystając z lematu Neymana – Pearsona, wyznaczyć zbiór krytyczny testu najmocniejszego.
b) Przy założeniu, ze n = 1 wyznaczyć taki zbiór krytyczny testu najmocniejszego, przy którym prawdopodobieństwo błędu I rodzaju równa się 0,01.
Zad. 3
Z populacji, w której cecha X ma rozkład normalny N ( , m 4) wylosowano n-elementową próbę prostą. Wysunięto hipotezę H : m = 2 wobec hipotezy alternatywnej H : m = 8 .
0
1
Do zweryfikowania tej hipotezy proponuje się test o obszarze krytycznym postaci w = (
{ x ,K, x ):( x − 2) n > t . Wyznaczyć t, tak aby otrzymać test o prawdopodobieństwie 1
n
}
błędu I rodzaju 0,05. Jak liczna powinna być próba losowa, aby prawdopodobieństwo błędu II rodzaju nie było większe niż 0,05.
Zad. 4
Niech X ,K, X będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu normalnego N (
)
1
,
m
.
1
n
Testujemy hipotezę H : m = 1 wobec hipotezy alternatywnej H : m > 1, przy czym obszar 0
1
krytyczny testu jest postaci w = (
{ x ,K, x ): x > c }. Wyznaczyć stałą c tak, aby poziom 1
n
n
n
istotności α = 1
,
0 . Wyznaczyć funkcję mocy tego testu w zależności od m. Czy test ten jest nieobciążony? Czy test ten jest zgodny?
Zad. 5
Niech X ,K, X będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu normalnego N (
)
1
,
m
.
1
n
Przypuśćmy, że weryfikujemy hipotezę H : m = 0 za pomocą testu z obszarem odrzucenia 0
w = (
{ x ,K, x ): x n > .
1
n
}
1
Jaka jest moc tego testu przy H : m = 2 i n = 16 ?
1
1
Niech X będzie zmienną losową z rozkładu Erlanga o gęstości
(2 θ
x) −1
−2 x
f (
e
x
;
x θ )
2
,
> 0
= (θ − )
1 !
.
,
0
poza
a) Testujemy hipotezę H :θ = 1 wobec hipotezy alternatywnej H :θ = 2 . Dysponując 0
1
pojedynczą obserwacją, znaleźć test najmocniejszy przy α = , 0 01.
b) Wyznaczyć moc tego testu.
Zad. 7
Podać końcową postać statystyki λ używanej do testu ilorazu wiarygodności służącego do testowania hipotezy H : θ = 1 wobec hipotezy alternatywnej H : θ ≠ 1, jeżeli n-elementowa 0
1
−
θ e θ x , x > 0
próba prosta pochodzi z rozkładu wykładniczego o funkcji gęstości f ( x) =
.
,
0
x ≤ 0
Zad. 8
x
θ
Zmienna losowa X ma rozkład Pascala o funkcji prawdopodobieństwa p( x;θ ) =
(1+θ ) +1 x
dla x =
K
,
1
,
0
,
2
, θ > 0 . Z rozkładu tego została wylosowana dwustuelementowa próba prosta, w której zaobserwowano x =
5
,
2 . Przyjmując poziom istotności α =
0
,
0 5 należy
zweryfikować hipotezę H : θ = 3 wobec hipotezy alternatywnej H : θ ≠ 3 .
0
1
Zad. 9
Niech X ,K, X będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu Poissona o funkcji 1
n
x
θ
prawdopodobieństwa p( ;
x θ )
e θ
−
=
, x =
K
,
1
,
0
,
2
. Rozważmy zagadnienie weryfikacji
!
x
hipotezy H : θ = 1 przeciwko H : θ ≠ 1. Znaleźć obszar krytyczny testu ilorazu 0
1
wiarogodności na poziomie istotności α =
0
,
0 5 , jeśli n jest duże.
Zad. 10
Niech X ,K, X będzie prostą próbą losową pobraną z rozkładu geometrycznego o funkcji 1
n
prawdopodobieństwa p( ;θ ) = (1 − θ ) x x
θ , x =
K
,
1
,
0
,
2
. Rozważmy zagadnienie weryfikacji
1
1
hipotezy H : θ =
wobec hipotezy H : θ ≠
. Znaleźć obszar krytyczny testu ilorazu 0
2
1
2
wiarogodności na poziomie istotności α =
0
,
0 1, jeśli n jest duże.
2