LABORATORIUM MECHANIKI EKSPERYMENTALNEJ

Instrukcja do ćwiczenia

Wyznaczanie momentów bezwładności elementów

1a

maszyn metodą wahadła skrętnego

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie z eksperymentalnymi i analitycznymi metodami wyznaczania momentów bezwładności części maszyn. W ramach realizowanego ćwiczenia wykorzystuje się metodę wahadła skrętnego.

Literatura

1. J.Leyko, Mechanika Ogólna, tom II, rozdz. VII.

2. K.Zarankiewicz, Mechanika Teoretyczna, tom III, rozdz. X.

Zagadnienia kontrolne

1. Definicje momentów bezwładności ciała sztywnego: a) względem płaszczyzny,

b) względem osi,

c) względem punktu.

2. Moment dewiacyjny ciała sztywnego.

3. Umiejętność wyznaczenia sposobem analitycznym momentów bezwładności prostych ciał jednorodnych, jak: walec, kula, stożek, stożek ścięty itp.

4. Twierdzenie Steinera.

5. Analityczne wyznaczenie momentów bezwładności ciała złożonego z prostych elementów.

Uwaga. Instrukcja dotyczy podstaw samego ćwiczenia. Aby opanować powyższe zagadnienia należy sięgnąć do podanej literatury.

Podstawy teoretyczne dotyczące przeprowadzenia eksperymentu

Moment bezwładności względem osi informuje nas jak rozłożona jest masa obra-cającego się ciała wokół osi obrotu. Jest to wielkość stała dla danego ciała sztywnego i przyjętej osi. W opisywanej metodzie moment bezwładności wyznacza się eks-perymentalnie badając okres drgań skrętnych badanego elementu zamocowanego za pomocą cienkiego pręta do wahadła o znanym momencie bezwładności. Schema-tycznie stanowisko pomiarowe przedstawia rysunek 1

d

l

Ju

J

Rys. 1. Schemat stanowiska do badań drgań skrętnych wahadła W dalszej części instrukcji przyjęto następujące oznaczenia: Ju – moment bezwładności wahadła względem osi pręta J – moment bezwładności badanego elementu względem tej samej osi k – stała sprężystości pręta

ϕ – kąt skręcenia pręta.

Dodatkowo zakładać będziemy, że tłumienie układu (na skutek tarcia we-wnątrz materiałowego, oporów ruchu w powietrzu itp.) jest pomijalnie małe.

Równanie dynamiczne ruchu obrotowego przedstawionego układu bez tłumie-nia i działania momentów sił zewnętrznych (drgania nietłumione swobodne) ma postać:

( J + J &&

u )ϕ +

ϕ

k = 0

Stała sprężystości pręta określona jest zależnością: GI

k =

l

gdzie: G – moduł sprężystości poprzecznej materiału pręta, I – biegunowy moment bezwładności przekroju pręta.

Równanie ruchu możemy przekształcić do postaci: 2

ϕ&&+ω ϕ = 0

gdzie: ω – częstość drgań swobodnych, oraz: k

GI

ω =

=

( J + J )

l( J + J )

u

u

Wykorzystując zależność pomiędzy okresem drgań T, który jest bezpośrednio mierzalny, a częstością otrzymamy:

2π

( J + J ) l

T

u

=

= 2π

ω

(1)

GI

Rozpatrując wahadło bez badanego elementu otrzymamy analogicznie: J l

T

u

= π

2

(2)

u

GI

Z równań (1) i (2) otrzymujemy:

 2



 T



J = J

(3)

u 

−

2



1

 Tu



Aby wyznaczyć szukany moment bezwładności elementu należy przyjąć moment wahadła jako:

J = ( ,

3 4 ±

)

1

,

0

⋅10−3 [

2

kgm ] .

u

Oszacowanie niepewności pomiarowej

Masowy moment bezwładności J wyznaczamy metodą pośrednią wykorzystując wartości wielkości mierzonych bezpośrednio i odpowiednią zależność pomiędzy wielkościami.

Ogólna zależność określająca jak się przenoszą błędy wielkości mierzonych na wyznaczaną pośrednio wielkość, przy założeniu niezależności błędów wielkości mierzonych, przedstawia się następująco1:

2

2

 ∂ y



 ∂ y



∆ y = 

∆ x + ... + 

∆ z

 ∂ x



 ∂ z



(4)

gdzie y( x,.. z) jest wielkością wyznaczaną metodą pośrednią na podstawie pomiaru wartości x,.. . z.

Stosując wzór (4) niepewność oszacowania momentu bezładności elementu względem osi pręta wynosi:

2

2

2

2













2





2 TJ

2



T J

T

u





u



∆ J =

∆ T +

∆ T

J

[

2

kg ⋅ m ]

(5)

u

+ 

−1∆ 



2





3



2

u

 T

T

u





u







T



 u





gdzie: T

∆ , T

∆ , J

∆ są niepewnościami pomiarowymi odpowiednich wielkości.

u

u

1 Aby poszerzyć wiedze z tego zakresu sięgnij po książkę: John R. Taylor; Wstęp do analizy błędu pomiarowego; PWN Warszawa 1999 i późniejsze wydania (rozdział 3).

Przebieg ćwiczenia

Opis kolejnych kroków, które należy wykonać znajduje się w arkuszu sprawozda-nia. Poniżej zwrócono uwagę na pewne istotne zagadnienia.

• Należy zmierzyć czas co najmniej 10 wahnięć elementu

• Każdy pomiar należy powtórzyć 20 razy.

• Gęstości materiałów niezbędne do analitycznych obliczeń momentu bezwład-ności podane są w zamieszczonej niżej tabeli.

• We wnioskach należy się ustosunkować do otrzymanych wyników, a w szcze-gólności różnic pomiędzy wartościami uzyskanymi z obliczeń analitycznych oraz z eksperymentu, uwzględniając przy tym oszacowanie niepewności pomiarowej.

Materiał

Gęstość [kg/m3]

Mosiądz

8500

Stal

7800

Bakelit

1100-1600

Ebonit

1400-1800

Duraluminium

2750