Powtórka przed klasówką z matematyki w klasie II – zadania

WIELOMIANY

Zad. 1. Uporządkuj rosnąco wielomian , następnie podaj jego stopień, jeśli:

a) 2 4 8 3 8;

b) 3 5 3 2 ;

c) 2 2 4;

d) 3 9 3 9;

Zad. 2. Uporządkuj malejąco wielomian , następnie podaj jego stopień, jeśli:

a) 9 8 7 9 2 ;

b) 4 3 5 5 8;

c) 2 3 2 4;

d) 4 6 2 8 4;

Zad. 3. Oblicz wartość wielomianu dla podanych argumentów x, jeśli:

a) 4 7; 3, 1, 4, 5;

b) 1; √2 1; √3 √2;

Zad. 4. Wyznacz współczynnik wielomianu 2 1, ś ! 2 1.

Zad. 5. Wyznacz współczynniki , # wielomianu , jeśli:

a) 5 #; 1 2 $%& 2 30;

b) 2 #; 1 5 $%& 1 1;

c) # 4; (2√2) 76 $%& (√2) 4;

Zad. 6. Wykonaj dodawanie wielomianów ! *. Określ stopień wielomianu +, ś !

+ *, oraz:

a) 4, 2 3 6; * 4, 3 2 4 8;

b) 3 8 2 ; * 9 9 6 1;

c) 3 4 8 ; * 8 2;

d) - . - 6 - ; * 0,25. 0,5 8 0,125;

/

e) , 0,375 0,24; * 0,75, 0,76;

/

f) - 2 - ; * - - 0,4 3;

.

Zad. 7. Wykonaj odejmowanie wielomianów ! *. Określ stopień wielomianu +, ś !

+ *, oraz:

a) 3,4 1,2 0,6 0,2; * - 0,2;

b) , . - 8; * 0,75, . 0,125 2;

/

/

/

c) 4 12 0,6 0,4; * 4 12 0,5 0,4;

d) 3. √2 2√2 8; * 5. 2√2 4 1;

e) √2 3√3 4 1; * √3 √2;

f) 2 √3 5 √2; * √2 4 1;

1

Opracowanie: mgr Mirosława Gałdyś

Powtórka przed klasówką z matematyki w klasie II – zadania

Zad. 8. Wykonaj działania:

a) 2. 3 2 8 4 1 . 5 6 ;

b) 3 5 6 4 8 4— 7 3 8;

c) 7, 6 2 4 3 6 7, 10;

d) 12 , 4 14 5,;

e) 0,2 1,4 2 0,6 0,68 0,2 2;

f) 1,2 0,8 0,4 0,8 0,2 2,4 0,4;

Zad. 9. Dane są wielomiany: 3 2 5 1; * 2 3;

+ 2 4 7. Wykonaj działania:

a) *;

b) * 2 · +;

c) + ;

d) 3 · * 2 · ;

e) · *;

f) * · +;

Zad. 10. Wykonaj działania:

a) 1 1 ;

b) 3 2 3 2 ;

c) 3 1 ;

d) 2 4 ;

e) 2 1 1 3 2 2;

f) 2 3 5 4 1 2 4 ;

g) 3 2 5 1 2 4 1 5;

h) 2 4 5 1 4 2 32 3 ;

Zad. 11. Sprawdź, czy wielomiany ! * są równe, jeśli:

a) 3 14 2 1; * 6 8 10 4;

b) 3 5 1 25; * 30 16 30 9;

c) 2 1; * 8 12 12 1;

d) 3 2 1 1; * 2 1;

Zad. 12. Sprawdź, czy istnieje liczba , dla której wielomiany ! * są równe, jeśli:

a) 2 8; * 2 ;

b) 2 3 1 4; * 2 6 8;

c) 2 2 6; * 2 3 16;

d) 3 · 4; * 36 48 16;

Zad. 13. Sprawdź, czy istnieją takie liczby , #, dla których wielomiany ! * są równe, jeśli:

a) 2 3 1 # 2 4; * 2 4 5 4;

b) 22 # ; * 16 48 36;

c) # ; * 2 3 ;

d) 2 #; * 8 10 6 1;

2

Opracowanie: mgr Mirosława Gałdyś

Powtórka przed klasówką z matematyki w klasie II – zadania

Zad. 14. Wyznacz współczynniki , # tak, aby 3 4, jeśli:

a) 3 1; 3 2 # 4; 4 7 8 5;

b) 2 5 3; 3 5 # 4; 4 2 4 7;

Zad. 15. Wyznacz współczynniki , # tak, aby · 3 4, jeśli:

a) 3 2; 3 #; 45 2 3 5 6;

b) 2 5; 3 #; 4 2 7 8 15;

Zad. 16. W wyniku podzielenia wielomianu 3 1 2 2 przez wie-

lomian *otrzymano wielomian + 5 8 3. Wyznacz wielomian *.

Zad. 17. Wielomian # 2 # 2 5 podzielono przez wielomian

* 2 5. W wyniku tego dzielenia otrzymano wielomian + 1. Wyznacz

wartości parametrów oraz #.

Zad. 18. Wykonaj dzielenie wielomianów:

a) ( 6 12 16 6 4;

b) 5 21 6 3;

c) 3 3 2 6 2;

d) 4 10 28 15 6 5;

e) 8 12 12 9 6 9 3;

f) 5 12 5 1 6 1;

g) 2 15 24 5 6 6 2 3;

h) 12 3 8 6 1 6 4 1;

i) 2 16 4 6 2 1;

j) 3 2 12 8 6 3 2;

Zad. 19. Wykonaj dzielenie wielomianów:

a) 100 120 47 6 6 7 8 ;

b) 38 7 8 1 6 7 -8 ;

c) 16 8 7 2 1 6 7 -8 ;

d) 2 3 2 3 6 7 8 ;

e) 6 13 2 6 7 2 - 18 ;

f) 8 6 17 6 6 10 12;

g) 24 26 9 1 6 12 7 1;

h) 12 16 7 1 6 7 -8 ;

Zad. 20. Wyznacz wielomian tak, aby zachodziła równość:

a) 2 1 · . 2 2 2 1;

b) 2 3 · 2 1 8 12 1;

c) · 3 · 1 . 2 2 2;

d) 3 4 2 · · 5 1 3 16 5 5;

3

Opracowanie: mgr Mirosława Gałdyś

Powtórka przed klasówką z matematyki w klasie II – zadania

Zad. 21. Wykonaj dzielenie wielomianów:

a) 3 2 6 1;

b) . 2 3 3 6 1;

c) 3 8 15 6 3;

d) 2 2 1 6 2 1;

e) 4 3 1 6 4 4 1;

f) . 3 3 6 3;

g) 2 2 1 6 2 1;

h) 3 3 6 1;

Zad. 22. Wykonaj dzielenie z resztą:

a) 3 2 1 6 2;

b) 2 4 3 6 1;

c) 4 3 6 3 6 1;

d) 3 2 4 6 3;

e) 6 8 6 3 1;

f) / . 2 5 3 6 2;

g) / . 2 2 3 5 6 1;

h) 2, 3. 4 2 4 6 2 1;

i) 2 , 4 2 3 7 1 6 3 2;

j) 2 3/ 3, 6. 2 5 3 3 6 3 2;

Zad. 23. Nie wykonując dzielenia oblicz resztę z dzielenia wielomianu przez dwumian *:

a) 2 4 5 1; * 2;

b) 2 4; * 1;

c) 3. 4 9; * 1;

d) 2 3 1; * 3;

e) 4 2 3 1; * 4;

f) 2 2 5; * 1;

g) 3 4; * 2;

h) 3 2 3; * 1;

Zad. 24. Sprawdź, czy podana obok wielomianu liczba jest jego pierwiastkiem, jeśli:

a) 6 12 7; 1;

b) 5 2 6 9; 1;

c) 6 3 5 3; 1;

d) 7 16 20 16; 2;

Zad. 25. Wyznacz wartość parametru tak, aby liczba była pierwiastkiem wielomianu :

a) 2; 1;

b) 2 12; 2

c) ; 1

d) 8; 2

e) 2 1; -

4

Opracowanie: mgr Mirosława Gałdyś

Powtórka przed klasówką z matematyki w klasie II – zadania

Zad. 26. Podaj wszystkie, (o ile istnieją) pierwiastki wielomianu , jeśli:

a) 1 4;

b) 3 1 94 2;

c) 2 1 31 2;

d) 4 52 7;

e) 2 7 5 5 6;

f) 3 8 1;

Zad. 27. Sprawdź, nie wykonując dzielenia, czy wielomian jest podzielny przez dwumian

*, jeśli:

a) 6 5 38 5 6; * 3;

b) 10 6 136; * 2;

c) 2 4 4; * 1;

d) . 2 3 6; * 2;

Zad. 28. Wyznacz wszystkie wartości parametru 9, dla których wielomian jest podzielny

przez dwumian P(x), jeśli:

a) 3 29 9 1 4; * 2;

b) 2 59 39 2 4; * 1;

c) 2 9 1 9; * 1;

d) 9 9 3 4; * 4;

Zad. 29. Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu wiedząc, że jest on podzielny przez

dwumian *, jeśli:

a) 3 20 11 6; * 1;

b) 2 10 10 8; * 4;

c) 2 3 20 21; * 3;

d) 8 6 18 4; * 2;

Zad. 30. Wykaż, że liczba % jest pierwiastkiem wielomianu , a następnie wyznacz pozostałe

pierwiastki wielomianu (o ile istnieją), jeśli:

a) 16 20; % 2;

b) 8 8; % 1;

c) 2 7 2 3; % 3;

d) 5 5 25; % 5;

e) 2 2 4 3 6; % 2;

f) 3 3 2 2; % 1;

g) 2 2 20 20 18 18; % 1;

h) 2 15 30 16 32; % 2;

Zad. 31. Wykaż, że liczba % jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu , jeśli:

a) 3 3 4 2; % 1;

b) 2 4 6 3; % 1;

c) 4 4 7 28 28; % 2;

d) 6 9 5 30 45; % 3;

5

Opracowanie: mgr Mirosława Gałdyś

Powtórka przed klasówką z matematyki w klasie II – zadania

Zad. 32. Wykaż, że liczba % jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu , jeśli:

a) 3 5 6 2; % 1;

b) 6 13 14 12 8; % 2;

c) 8 12 2 11 6 1; % - ;

d) 27 27 36 28 9 1; % - ;

Zad. 33. Rozłóż na czynniki wielomiany, wyłączają wspólny czynnik przed nawias:

a) 2 ;

b) 3 2 ;

c) 6 12 18;

d) 4 2 6 ;

e) 22 3 2 1;

f) 3 1 1 3 12 5;

g) 2 6 21 2 ;

h) 1 3 34 3 ;

i) 2 5 1 9 1;

j) 2 3 3 2 35 2 ;

Zad. 34. Rozłóż na czynniki wielomiany stosując wzory skróconego mnożenia:

a) 4 9;

b) 9 30 25;

c) 25 20 4;

d) 8 16 4 4 1;

e) 9 6 1 4 20 25;

f) 3 3 1;

g) 8 36 54 27;

h) 1 6 12 8;

Zad. 35. Rozłóż na czynniki wielomiany metodą grupowania wyrazów:

a) 3 4 12;

b) 7 2 21 6;

c) 9 4 27 12;

d) 1;

e) 4 4 1;

f) 9 18 2;

g) 3 4 12 16;

h) 20 12 45 27;

i) 3 6 4 8;

j) 5 4 4;

k) 16 16 4 4;

l) 18 9 18 9;

m) 3 7 27 3;

n) 12 32 3 8;

6

Opracowanie: mgr Mirosława Gałdyś

Powtórka przed klasówką z matematyki w klasie II – zadania

o) 2 2;

p) 8 24 9 3;

q) 27 27;

r) 125 125 8;

s) 1;

t) 8 32 4;

u) 2 3 16 24;

v) 125 125;

w) 3 2; :;9&ó:9: 3 2;

x) 7 6; :;9&ó:9: 7 6;

y) 13 12; :;9&ó:9: 13 12;

z) 4 5; :;9&ó:9: 4 5;

Zad. 36. Znajdź całkowity pierwiastek wielomianu , następnie rozłóż wielomian na czynniki

(od podpunktu „g” sposób dowolny):

a) 4 6;

b) 5 3 9;

c) 7 14 8;

d) 4 3 18;

e) 7 4 12;

f) 7 11 5;

g) 2 6 8 ;

h) 3 4 27 36;

i) 6 9;

j) 5 5;

k) 5 7 3;

l) 4 4 9 9;

m) 6;

n) 10 9;

o) 4 5 1;

p) 4 5;

q) 3 2 1;

r) 1;

s) 1 4;

t) 3 9 ;

Zad. 37. Rozwiąż równania:

a) 4 52 3 0;

b) 1 2 1 5 0;

c) 16 8 1 2 6 0;

d) 3 2 1 2 3 0;

e) 6 4 4 0;

f) 2 1 3 0;

g) 8 49 30 25 0;

7

Opracowanie: mgr Mirosława Gałdyś

Powtórka przed klasówką z matematyki w klasie II – zadania

Zad. 38. Rozwiąż równania:

o) 4 3 4 3 123 2;

a) 9 164 8 8 0;

Zad. 40. Wyznacz wartość parametru a tak, aby

b) 1 0;

liczba 1 była pierwiastkiem wielomianu

c) 1 0;

1 2 4 23 15; a

d) 5 36 0;

następnie oblicz pozostałe pierwiastki tego wie-

e) . 64 0;

lomianu.

f) 2 0;

g) 3 2 0;

Zad. 41. Iloczyn kwadratu pewnej liczby i kwa-

h) 2 0;

dratu liczby o 3 od niej większej jest równy 324.

i) 4 3 1 0;

Wyznacz te liczby.

j) 12 0;

k) 3 4 0;

Zad. 42. Iloczyn trzech liczb całkowitych, z któ-

l) 2 13 6 0;

rych druga jest o 3 większa od pierwszej, a trze-

m) . 26 27 0;

cia o 1 mniejsza od drugiej, jest równy – 30. Wy-

n) 4 2 8 0;

znacz te liczby.

o) 3 4 12 0;

Zad. 43. Śmietana pakowana jest w kartonowe

p) 4 4 0;

prostopadłościenne pudełko o pojemności 0,4 .

q) 3 5 12 20 0;

Wysokość pudełka jest o 6 >? krótsza od kra-

r) 2 7 7 2 0;

wędzi podstawy, która jest kwadratem. Wyznacz

s) 4 13 13 4 0;

wymiary pudełka.

t) 3 7 7 3 0;

u) 5 21 21 5 0;

Zad. 44. Uczniowie pewnej klasy podzielili się na

v) 2 3 2 3 0;

trzy wieloosobowe grupy. W drugiej jest o 6

w) 5 4 5 4 0;

osób więcej niż w pierwszej, a w trzeciej o 10

x) 2. 8 2 8 0;

osób więcej niż w pierwszej. Iloczyn liczby

y) 6 13 2 9;

uczniów grupy drugiej i trzeciej jest o 76 większy

z) 3 9 2 10;

od sześcianu liczby uczniów pierwszej grupy. Ilu

Zad. 39. Rozwiąż równania:

uczniów liczy ta klasa?

a) 4 3 2 5;

Zad. 45. Iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych

b) 7 2 9;

jest równy 192. Jakie to liczby?

c) 12 44 48 0;

Zad. 46. Iloczyn trzech kolejnych liczb nieparzys-

d) 14 26 20 0;

tych jest o 65 większy od różnicy kwadratów

e) 9 23 15 0;

liczby największej i najmniejszej. Znajdź te liczby

f) 3 14 20 24 0;

g) 4 6 0;

Zad. 47. Krawędzie akwarium w kształcie pro-

h) 9 23 15 0;

stopadłościanu wychodzące z jednego wierz-

i) 2 21 74 105 50 0;

chołka mają długość 3 m, 5 m, 2 m. Inne akwa-

j) 5 3 24 24 0;

rium prostopadłościenne, którego każda kra-

k) 3 2 3 2 0;

wędź jest większa o ten sam odcinek od odpo-

l) 2 59 4 9 4 8;

wiednich krawędzi pierwszego akwarium, ma

m) 2 1 1 6 1;

pojemność o 110 m3 większą. Wyznacz wymiary

n) 3 1 9 43 ;

większego akwarium.

8

Opracowanie: mgr Mirosława Gałdyś