1. W trójkącie równobocznym ABC poprowadzono przez wierzchołek A prostopadłą do boku AC, a przez wierzchołek B prostopadłą do boku BC. Jaki kąt tworzą proste prostopadłe?
2. W trójkącie ABC wysokość dzieli podstawę na połowy i jest równa ½ długości podstawy. WykaŜ, Ŝe trójkąt ABC jest prostokątny.
3. Uzasadnij, Ŝe przekątne równoległoboku dzielą go na cztery trójkąty o równych polach.
4. Dany jest prostokąt ABCD. Kąt między przekątną, a dłuŜszym bokiem oznacz literą α.
WykaŜ, Ŝe kąt α jest 2 razy mniejszy od kąta między przekątnymi.
5. Dany jest kwadrat ABCD o boku 10 cm. Punkty R,M,N,S są środkami boków tego kwadratu. Oblicz pole czworokąta RMNS.
6. Prostokąt ma długość m, a szerokość n. Jaką długość ma bok kwadratu, którego obwód jest równy obwodowi tego prostokąta? Zapisz odpowiednie obliczenia.
7. W trapezie równoramiennym ABCD przekątne AC i BD są do siebie
prostopadłe.Wysokość tego trapezu wynosi 5 dm. Oblicz pole tego trapezu.
8. Trójkąt równoboczny i sześciokąt foremny mają równe obwody. Oblicz stosunek pola trójkąta równobocznego do pola sześciokąta foremnego.
9. Narysuj kwadrat ABCD o boku a. Obierz dowolny punkt P naleŜący do wnętrza tego kwadratu. Wykreśl odległości punktu P od kaŜdego z boków kwadratu ABCD.
Wyznacz wartość sumy tych odległości.
10. Dany jest trójkąt ABC. Wyznacz w nim środkową AD. WykaŜ, Ŝe trójkąt ABD i trójkąt ADC mają równe pola.
11. Wiemy, Ŝe ramiona trapezu ADCD zawierają się w dwóch prostych wzajemnie prostopadłych.
Udowodnij, Ŝe:
a 2 + b 2 = e 2 + f 2 gdzie a, b to podstawy trapezu, e i f to jego przekątne.
12. Wykreśl dowolny trójkąt PQR i udowodnij, Ŝe moŜna go podzielić na trójkąty równoramienne.
13. Narysuj trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnych długości 3cm. Na bokach tego trójkąta zbuduj kwadraty. Poprowadź przekątne tych kwadratów. Punkty przecięcia przekątnych połącz ze sobą odcinkami. Oblicz pole i obwód powstałego trójkąta.
14. Długości przekątnych równoległoboku wynoszą 4cm i 8cm. Przekątne te przecinają się pod kątem 60°. Oblicz obwód tego równoległoboku.
15. Dany jest trapez równoramienny o ramieniu długości 3cm. Górna podstawa jest równa ramieniu, a dolna dwa razy większa. Oblicz długość przekątnej trapezu i jego pole.
16. Koło i kwadrat mają równe pola po 16 cm 2 . W dane koło wpisujemy kwadrat, a w dany kwadrat wpisujemy koło. Oblicz, co jest mniejsze, czy pole koła wpisanego w kwadrat, czy pole kwadratu wpisanego w koło.
17. W trójkącie równoramiennym rozwartokątnym kąt rozwarty jest 3 razy większy od jednego z pozostałych kątów tego trójkąta. Wyznacz miary kątów tego trójkąta.
18. Środkiem symetrii rombu jest początek układu współrzędnych. Jednym z jego wierzchołków jest punkt (-1,-1), a drugim punkt (2,-2). Wyznacz współrzędne
pozostałych wierzchołków tego rombu. Oblicz obwód i pole tego rombu.
Odpowiedzi:
1. 120◦
5. 50 cm
7. 25 dm2
2
8.
3
9. 2a
12. 78,5%
13. 9 cm3
14. 32 cm3
27 3
3 6
15. P=
, d =
4
2
16. Pole kwadratu jest mniejsze od pola koła
17. 36 o , 108 o
18. P = 8, Obwód = 4 10