MODEL TRENDU PEŁZAJĄCEGO Z WAGAMI HARMONICZNYMI Trend pełzający wykorzystywany jest do opisów zjawiska w czasie w przypadku, gdy wykazuje ono dużą nieregularność. Otrzymuje się trend w postaci łamanej, a zasadniczą metoda jest MNK.
Konstrukcja modelu:
Krok I.
Ustalenie wartości stałej wygładzania 1< k<n. Najczęściej przyjmuje się k=3 (stała wygładzania jest liczbą naturalną). Wartość stałej wygładzania zależy od szybkości zmian poziomu zjawiska w czasie. Jeśli występują duże różnice w poziomach zjawiska (zmiennej) w krótkich okresach, należy wybrać dość małą wartość stałej wygładzania. Jeżeli zaś zauważa się powolne zmiany, wtedy można przyjąć stałą wygładzania o wyższej wartości. Wyższa wartość stałej wygładzania powoduje większe wygładzenie szeregu, a w związku z tym słabsze reagowanie na zmiany zachodzące w szeregu czasowym.
Jakość wygładzania zależy od trafnego doboru stałej wygładzania. W przypadku załamywania się trendu za stałą wygładzania można przyjąć pierwszy zlokalizowany punkt zwrotny, tj taki moment czasu, po którym nie dochodzi do zmiany dynamiki lub kierunku trendu.
Krok II
Oszacowanie parametrów funkcji trendu metodą najmniejszych kwadratów na podstawie kolejnych fragmentów szeregu o długości k.
Krok III
Obliczenie wygładzonych wartości zmiennej yˆ , tj. wartości teoretycznych t
wynikających z danej funkcji trendu. Z danej funkcji trendu wyznaczamy wartości teoretyczne dla tych okresów t, na podstawie których była szacowana funkcja trendu. Tak więc dla dowolnego t z przedziału (2; n-1) wartości oszacowanej odpowiada nie jedna, a zbiór aproksymant yˆ , otrzymany na podstawie funkcji trendu.
t
Krok IV
Obliczenie średniej wartości wygładzonej y
~ t dla każdego okresu t jako średniej arytmetycznej wartości wygładzonych, wyznaczonych dla tego okresu w kroku III.
Krok V
Obliczenie przyrostów funkcji trendu dla wartości wygładzonych
~
~
w
= y - y
dla t = ,
1 ,...,
2
n - 1
t 1
+
t 1
+
t
Krok VI
Nadanie wag poszczególnym przyrostom. Wagi te realizują proces postarzania informacji. Wagi nadawane są w ten sposób, by najnowsze przyrosty miały największe znaczenie. Suma wag wynosi 1. Konstrukcja wag jest następująca: n
1
t
1
C
=
t+
å
dla t = ,
1 ,...,
2
n -1
1
n -1 i= n -
1
i
Wartości wag harmonicznych dla znanej liczby przyrostów można także odszukać w tablicach statystycznych.
Krok VII
Określenie średniego przyrostu trendu jako średniej ważonej (wagami harmonicznymi) wszystkich przyrostów obliczonych w kroku V.
n 1
w = å- n
C
× w
t +1
t +1
t =1
Krok VIII
Wyznaczenie prognozy punktowej na moment/okres T
y = y~ + T
( - n) × w
T
n
PRZYKŁAD. Poniższa tabelka przedstawia kształtowanie się wielkości sprzedaży pewnego przedsiębiorstwa w ciągu 6 miesięcy (od stycznia do czerwca). Wyznaczymy prognozę wielkości sprzedaży na wrzesień (T=9) na podstawie modelu trendu pełzającego z wagami harmonicznymi.
t
1 2 3 4 5 6
yt
(w
tys.
zł) 53 67 58 79 88 85
Liniowe funkcje trendu dla stałej wygładzania k = 3 (krok II) Przedział czasu
Fragment szeregu
Liniowy model
i
Wartości zmiennej Y
od ti do ti+2
yi, yi+1, yi+2
tendencji rozwojowej
1
t = 1, 2, 3
y1
y2
y3
53
67
58 y1 (t) = 53,74 + 2,5t
2
t = 2, 3, 4
y2
y3
y4
67
58
79 y2 (t) = 49,32 + 6t
3
t = 3, 4, 5
y3
y4
y5
58
79
88 y3 (t) = 14,25 + 15t
4
t = 4, 5, 6
y4
y5
y6
79
88
85 y4 (t) = 68,16 + 3t
Wygładzone wartości zmiennej (krok III) oraz średnie wartości wygładzone y
~ t (krok IV)
t
yˆ
yˆ
yˆ
yˆ
y~
t
t
t
t
t
1 y1 (t) = 53,74 + 2,5*1
= 56,24
56,24
74
,
58
+
32
,
61
2 y1 (t) = 53,74 + 2,5*2 y2 (t) = 49,32 + 6*2
=
03
,
60
= 58,74
= 61,32
2
,
6124+
32
,
67
+ ,
59 25 = 6,
62
3 y1 (t) = 53,74 + 2,5*3 y2 (t) = 49,32 + 6*3 y3 (t) = 14,25 + 15*3
= 61,24
= 67,32
= 59,25
3
32
,
73
+
25
,
74
+ 16
,
80
=
91
,
75
4
y2 (t) = 49,32 + 6*4
y3 (t) = 14,25 + 15*4
y4 (t) = 68,16 + 3*4
= 73,32
= 74,25
= 80,16
3
25
,
89
+ 16
,
83
5
y3 (t) = 14,25 + 15*5
y4 (t) = 68,16 + 3*5
=
21
,
86
= 89,25
= 83,16
2
6
y4 (t) = 68,16 + 3*6
86,16
= 86,16
Przyrosty funkcji trendu w dla wartości wygładzonych (krok V) t 1
+
t
yˆ
w
= y~ - y~
t
t 1
+
t 1
+
t
1
56,24
~
~
w
= y - y =60,03-56,24=3,79
1 1
+
2
1
2
60,03
~
~
w
= y - y
2 1
+
=62,6-60,03=2,57
3
2
3
62,6
~
~
w
= y - y
3 1
+
=75,91-62,6=13,31
4
3
4
75,91
~
~
w
= y - y
4 1
+
=86,21-75,91=10,3
5
4
5
86,21
~
~
w
= y - y
5 1
+
=86,16-86,21= -0,05
6
5
6
86,16
–
Nadanie wag poszczególnym przyrostom (krok VI) 6
1 æ 1 ö 1 1
t = 1
C
=
+
ç
÷ = × = ,
0 04
1 1
6 -1è 6 -1ø 5 5
6
1 æ 1
1 ö 1 æ 1 1 ö
t = 2
C
=
+
ç
+
÷ = × ç + ÷ = ,
0 09
2 1
6 -1è 6 -1 6 - 2 ø 5 è 5 4 ø
6
1 æ 1
1
1 ö 1 æ 1 1 1 ö
t = 3
C
=
+
ç
+
+
÷ = × ç + + ÷ = 157
,
0
3 1
6 -1è 6 -1 6 - 2 6 - 3ø 5 è 5 4 3 ø
6
1 æ 1
1
1
1 ö 1 æ 1 1 1 1 ö
t = 4
C
=
+
ç
+
+
+
÷ = × ç + + + ÷ = ,
0 257
4 1
6 -1è 6 -1 6 - 2 6 - 3 6 - 4 ø 5 è 5 4 3 2 ø 6
1 æ 1
1
1
1
1 ö 1 æ 1 1 1 1
ö
t = 5
C
=
+
ç
+
+
+
+
÷ = × ç + + + +1÷ = ,
0 457
5 1
6 -1è 6 -1 6 - 2 6 - 3 6 - 4 6 - 5 ø 5 è 5 4 3 2
ø
Pamiętajmy o tym, że suma wag musi być równa 1.
Obliczenie średniego przyrostu trendu (krok VII) n 1
w = å- Cn × w = 04
,
0
× 79
,
3
+ ,
0 09 × 57
,
2
+ 157
,
0
×
31
,
13
+ ,
0 257 ×
3
,
10 + ,
0 457 × (- ,
0
)
05
t 1
+
t 1
+
t 1
=
w = 1516
,
0
+ ,
0 2313 + 2 08967
,
+ 2 6471
,
- 0 02285
,
= ,
5 097
Wyznaczenie prognozy punktowej na okres T=9 (krok VIII)
~
y = y + ( T - n) × w T
n
~
y = y + 9
( - 6) × w =
16
,
86
+ 3× 097
,
5
=
16
,
86
+ ,
15 291 =
,
101 451
9
6
Konstruując prognozę wielkości sprzedaży na podstawie modelu trendu pełzającego z wagami harmonicznymi wyznaczyliśmy prognozę wielkości sprzedaży dla okresu T=9.
W okresie T=9 wielkość sprzedaży będzie równa 101,451 tys. sztuk.