Fala płaska - podstawowe pojęcia i parametry
1. Określić dla jakiego parametru β pole elektryczne w postaci ~
E( x, y, z, t) = E 0 cos( ωt − βz) ~ix
może rozchodzić się w próżni.
√
Odp.: β = ω µ 0 ε 0
2. Wykazać że pole postaci ~
H( x, y, z, t) = H 0e( y−vt) n~ix może rozchodzić sie w próżni. Czy wartości parametrów H 0, v oraz n muszą spełniać jakieś dodatkowe warunki?
√
Odp.: Parametry H 0 oraz n mogą być dowolne, jednak v = 1 / µ 0 ε 0.
3. W nieprzewodzącym ośrodku o parametrach µr = 4 i εr = 9 rozchodzi się fala o częstotliwości f = 2 GHz i postaci ~
E( x, y, z, t) = E 0 cos( ωt + βx) ~iy, gdzie E 0 = 160 V/m. Określ kierunek propagacji, długość i prędkość fali oraz zapisz pełną postać pola magnetycznego istniejącego w tym ośrodku.
Odp.: ~ik = −~ix, λ = 2 . 5 cm, v = 5 · 107 m/s oraz ~
H( x, y, z, t) = −H 0 cos( ωt + βx) ~iz, gdzie
H 0 = 2 /πA/m, ω = 4 π · 109rad /s, zaś β = 80 π rad /m.
4. W próżni rozchodzi się fala elektromagnetyczna ~
E = 100 cos( ωt − βy) ~ixV/m. W chwili czasu
t 1 = 1 / 6 ns w początku układu współrzędnych natężenie pola elektrycznego wynosi E 1 =
50 V /m. Oblicz częstotliwość, długość, prędkość fazową oraz kierunek rozchodzenia fali.
Odp.: ~ik = ~iy, v = 3 · 108 m/s. Dla f = (1 + 6 m) GHz λ =
3
lub dla f = (5 + 6 m) GHz
10(1+6 m)
λ =
3
, gdzie m jest dowolna liczbą naturalną.
10(5+6 m)
5. W ośrodku nieprzewodzącym o parametrach µ = 9 µ 0 i ε = 4 ε 0 w kierunku osi y rozchodzi się fala o maksymalnym natężeniu pola magnetycznego ~
H 0 = 0 . 02 ~ixA/m, której długość wynosi
λ = 10 cm. Zapisz pełną postać pola elektrycznego i magnetycznego.
Odp.: ~
H( x, y, z, t) = H 0 cos( ωt − βy) ~ix oraz ~
E( x, y, z, t) = E 0 cos( ωt − βy) ~iz, gdzie H 0 =
0 . 02 A/m, E 0 = 3 . 6 π, ω = 109 π rad /s, zaś β = 20 π rad /m.
2
Równania Maxwella dla amplitud harmonicznych
1. Zapisz amplitudy harmoniczne poniższych pól:
(a) ~
E( x, y, z, t) = E 0 cos( ωt − βz) ~ix
(b) ~
E( x, y, z, t) = E 0 cos( ωt + βy + π) ~ix
(c) ~
H( x, y, z, t) = H 0 cos( ωt − βx) ~iy
(d) ~
E( x, y, z, t) = E 0 sin( ωt − βz) ~ix
(e) ~
H( x, y, z, t) = H 1 cos( ωt − βz) ~ix + H 2 cos( ωt − βz) ~iy (f) ~
E( x, y, z, t) = E 0 cos( ωt) cos( βz) ~ix (cos α cos β = 1 / 2 cos( α + β) + 1 / 2 cos( α − β)) Odp.:
ˆ
(a) ~
E( x, y, z) = E 0e − j βz~ix
ˆ
(b) ~
E( x, y, z) = −E 0ej βy~ix
1
(c) ~
H( x, y, z) = H 0e − j βx~iy
ˆ
(d) ~
E( x, y, z) = − j E 0e − j βz~ix
ˆ
(e) ~
H( x, y, z) = H 1e − j βz~ix + H 2e − j βz~iy ˆ
(f) ~
E( x, y, z) = E 0 cos( βz) ~ix
2. Przekształć równania Maxwella dotyczące pól elektrycznych i magnetycznych zależnych od
czasu do postaci harmonicznej (niezależnej od czasu).
3. Korzystając z pojęcia amplitud harmonicznych, określ dla jakiego parametru β pole elektryczne w postaci ~
E( x, y, z, t) = E 0 cos( ωt − βz) ~ix może rozchodzić się w próżni.
√
Odp.: β = ω µ 0 ε 0
4. Prąd przesunięcia w pewnym ośrodku nieprzewodzącym ( µr = 4 i εr = 9) przedstawić można âmplitudą harmoniczną ~
Jd = J 0e − j βz~ix, gdzie J 0 = 12 A/m 2 oraz β = 120 π rad /m. Zapisz pełną postać pola elektrycznego i magnetycznego.
Odp.: ~
E( x, y, z, t) = E 0 sin( ωt − βz) ~ix oraz ~
H( x, y, z, t) = H 0 sin( ωt − βz) ~iy, gdzie E 0 = 8 V/m, H 0 = 0 . 1 /πA/m, zaś ω = 6 π · 109rad /s
5. Korzystając z zapisu harmonicznego obliczyć natężenie pola elektrycznego i prąd przesunięcia w ośrodku nieprzewodzącym i niemagnetycznym ( µr = 1), gdy istnieje w nim pole magnetyczne
~
H( x, y, z, t) = H 0 sin( ωt) cos( βz) ~iy, gdzie H 0 = 3 A/m, ω = 6 π · 107rad /s oraz β = π rad /m Odp.: ~
E( x, y, z, t) = −E 0 cos( ωt) sin( βz) ~ix oraz ~
Jd( x, y, z, t) = J 0 sin( ωt) sin( βz) ~ix, gdzie E 0 =
72 πV /m, zaś J 0 = 3 πA/m 2
3
Uogólniony opis fali płaskiej
1. Wyznacz wektor falowy, amplitudę, częstotliwość, długość i kierunek rozchodzenia się fali elek-tromagnetycznej w próżni w poniższych przypadkach:
(a) ~
E( x, y, z, t) = 106 cos( ωt − 200 πy) ~ix
(b) ~
H( x, y, z, t) = 0 . 2 cos( ωt − 300 πy − 400 πz) ~ix ˆ
(c) ~
E( x, y, z) = 2 . 5 · 106e − 130 π j( x−y) ~iz ˆ
(d) ~
H( x, y, z) = (80 ~ix + 60 ~iy)e − j400 πz
ˆ
(e) ~
E( x, y, z) = (3000 ~iy − 4000 ~iz)e − 200 π j( x− 4 y− 3 z) ˆ
(f) ~
H( x, y, z) = 250(2 ~ix −~iy + 2 ~iz)e2 π j(2 x+2 y− 1 z) Odp.:
(a) ~k = 200 π~iy, E 0 = 106 V/m, f = 30 GHz, λ = 1 cm, ~ik = ~iy (b) ~k = 100 π[0 , 3 , 4], H 0 = 0 . 2 A/m, f = 75 GHz, λ = 4 mm, ~ik = [0 , 3 / 5 , 4 / 5] √
√
(c) ~k = 130 π[1 , − 1 , 0], E 0 = 2 . 5 · 106 V/m, f ≈ 27 . 58 GHz, λ ≈ 1 . 09 cm, ~ik = [ 2 / 2 , − 2 / 2 , 0]
2
(d) ~k = 400 π~iz, H 0 = 100 A/m, f = 60 GHz, λ = 5 mm, ~ik = ~iz (e) ~k = 200 π[1 , − 4 , − 3], E 0 = 5000 V/m, f ≈ 152 . 97 GHz, λ ≈ 1 . 96 mm,
√
√
√
~ik = [ 26 / 26 , − 2 26 / 13 , 3 26 / 26]
(f) ~k = 2 π[ − 2 , − 2 , 1], H 0 = 750 A/m, f = 900 MHz, λ = 1 / 3 m, ~ik = [ − 2 / 3 , − 2 / 3 , 1 / 3]
2. Czy dane natężenia pól mogą opisywać falę płaską rozchodzącą się w
(a) próżni: ~
E( x, y, z, t) = 104(3 ~ix + 4 ~iy) cos(4 . 5 π 109 t + 12 πx − 9 πy) ˆ
(b) ośrodku µ
~
r = 2, εr = 3: H ( x, y, z) = 2 . 2 · 10 − 4( ~ix −~iy + 3 ~iz )e − 30 π j( x− 2 y−z) (c) ośrodku µr = 1, εr = 16: ~
H( x, y, z, t) = (2 ~ix − 3 ~iy − 3 ~iz) cos(1 . 5 π 1010 t − 50 π(3 x + 3 y − 1 z)) ˆ
ˆ
(d) próżni: ~
E( x, y, z) = 1000(2 ~i
~
x − 3 ~iz)e − 100 π j y, H ( x, y, z) = (2 ~ix + 3 ~iz)e − 100 π j y Odp.:
√
(a) Tak. ~
E ⊥ ~k oraz β = ω µ 0 ε 0
√
(b) Tak, jeżeli f = 4 . 5 GHz. ~
H ⊥ ~k zaś β = 30 6 π rad /m
√
(c) Nie. ~
H ⊥ ~k, zaś β 6= ω µε
ˆ
ˆ
(d) Nie, nawet gdy f = 15 GHz. ~
E ⊥ ~k, ~
H ⊥ ~k, ~
E ⊥ ~
H, jednak ~
E 6= Z ~
f H ×~ik
3. Amplituda harmoniczna pola elektrycznego fali płaskiej rozchodzącej się w próżni ma postać ˆ
~
E( x, y, z) = (2 ~ix + 3 ~iy + 4 ~iz)e − j π(2 x+4 y+ pz). Wyznacz stałą p oraz towarzyszące fali pole magnetyczne.
Odp.: p = − 4 oraz ~
H( x, y, z, t) = (14 ~ix − 8 ~iy −~iz) /(360 π) cos(1 . 8 π · 109 t − 2 πx − 4 πy + 4 πz) 4. Zapisz równanie fali płaskiej (pole elektryczne i magnetyczne) rozchodzącej się w ośrodku nieprzewodzącym wykorzystując następujące dane:
(a) ~
E 0 = 240 π( − 3 ~ix + ~iy), f = 3 GHz, µr = 1, εr = 4 oraz ~ik = ~iz (b) H 0 = 300 A/m, ~k = 20 π( − 2 ~ix −~iy + 2 ~iz), µr = 36 oraz εr = 9, pole elektryczne nie posiada składowej w kierunku osi x.
Odp.:
(a) ~
E( x, y, z, t) = 240 π( − 3 ~ix + ~iy) cos( ωt − βz) oraz ~
H( x, y, z, t) = 4( −~ix − 3 ~iy) cos( ωt − βz),
gdzie ω = 6 π · 109rad /s, zaś β = 40 π rad /m.
√
√
(b) ~
E( x, y, z, t) = 14400 5 π(2 ~iy+ ~iz) cos( ωt− 20 π( − 2 x−y+2 z)) oraz ~
H( x, y, z, t) = 20 5( − 5 ~ix+
2 ~iy − 4 ~iz) cos( ωt − 20 π( − 2 x − y + 2 z)), gdzie ω = π · 109rad /s.
ˆ
5. Pod jakim kątem fala płaska w postaci ~
E( x, y, z) = ( ~iy + ~iz)e −π j( y−z) V/m pada na powierzchnię dielektryka o parametrach umieszczonego w półprzestrzeni z < 0? Przyjmujemy, że kąt mie-rzony jest pomiędzy kierunkiem padania fali, a prostą normalną do granicy ośrodków.
Odp.: Niech ~n = −~iz oznacza wersor normalny do granicy ośrodków, wtedy ~n ◦ ~ik = cos α.
Ostatecznie α = π/ 4.
3
Ośrodki stratne
ˆ
1. Dla jakiego parametru γ pole elektryczne o amplitudzie harmonicznej ~
E = E 0e −γz~ix może
rozchodzić sie w ośrodku o przenikalnościach µ, ε i przewodności σ.
q
Odp.: γ =
j ωµ(j ωε + σ)
2. Wyprowadź uproszczone wyrażenia na współczynnik tłumienia α i współczynnik propagacji β
dla dobrego dielektryka ( ωε >> σ) i dobrego przewodnika ( ωε << σ).
√
Wskazówka:
1 + x ≈ 1 + x/ 2 dla |x| << 1.
Odp.:
q
√
• dla dobrego dielektryka ( ωε >> σ) α = σ
µ oraz β = ω µε
2
ε q
• dla dobrego przewodnika ( ωε << σ) α = β =
ωµσ
2
3. W ośrodku o parametrach µr = 10, εr = 36 i σ = 2 · 10 − 3 S/m rozchodzi sie elektromagnetyczna fala płaska. Wyznacz długość i prędkość fazową fali oraz odległość na której jej amplituda
zmaleje pięciokrotnie. Przyjmij, że częstotliwość wynosi
(a) f = 1 kHz
(b) f = 1 GHz
Odp.:
√
√
√
(a) λ = 500 2 m, v = 5 2 · 105 m/s oraz d
2
5 = 250
ln 5
π
√
√
√
(b) λ = 5 10 · 10 − 3 m, v = 5 10 · 106 m/s oraz d 10
5 = 5
ln 5
π
q
4. Wyprowadź uproszczone wyrażenia na impedancję falową ośrodka Z
jωµ
f =
w przypadku
jωε+ σ
dobrego dielektryka ( ωε >> σ) i dobrego przewodnika ( ωε << σ).
Wskazówka:
1
√
≈ 1 − x/ 2 oraz e x ≈ 1 + x dla |x| << 1.
1+ x
Odp.:
q
• dla dobrego dielektryka ( ωε >> σ) Z
µ
f =
e j σ
2 ωε
ε
q
• dla dobrego przewodnika ( ωε << σ) Z
ωµ
f =
e j π 4
σ
5. W ośrodku o parametrach µr = 4, εr = 9 i σ = 5 · 10 − 5 S/m rozchodzi się elektromagnetyczna fala płaska postaci ~
E( x, y, z, t) = E 0e −αx cos( ωt − βx) ~iy, gdzie E 0 = 160 πV/m, a częstotliwość f = 1 GHz. Wyznacz wartości współczynników α, β i ω oraz zapisz pełną postać pola magnetycznego towarzyszącego fali (korzystając z relacji impedancyjnej).
Odp.: Zakładając, że ośrodek jest dobrym dielektrykiem ( σ = 10 − 4 << 1) otrzymujemy: α =
ωε
2 π · 10 − 3 m− 1, β = 40 π rad /m, ω = 2 π · 109rad /s oraz ~
H( x, y, z, t) = H 0e −αx cos( ωt − βx − ϕ) ~iz, gdzie ϕ = 5 · 10 − 5rad, zaś H 0 = 2 A/m
4
Polaryzacja fali płaskiej
1. Rozważmy zbiór fal płaskich o tych samych częstotliwościach rozchodzących się w tym samym kierunku, mających jednak różne przesunięcia fazowe i amplitudy (na przykład w kierunku osi
Oz: ~
E( n)( x, y, z, t) = [ E( n)
0 x , E( n)
0 y , 0] cos( ωt − βz + ϕ( n)) dla n = 1 , .., N ). Pokazać, że złożenie takich fal zapisać można w postaci: ~
E( x, y, z, t) = E 0 x cos( ωt − βz + ϕx) ~ix + E 0 y cos( ωt − βz +
ϕy) ~iy.
P
Odp.: ~
E( x, y, z, t) =
N
~
E( n)( x, y, z, t) = E
n=1
0 x cos( ωt − βz + ϕx) ~ix + E 0 y cos( ωt − βy + ϕy) ~iy, q
P
P
qP
N
gdzie E
N
N
E( n) sin ϕ( n)
n=1
0 x
0 x =
( E( n)
( E( n)
P
oraz tan ϕ
n=1
0 x )2, E 0 y =
n=1
0 y )2, tan ϕx =
N
y =
E( n) cos ϕ( n)
n=1
0 x
P N E( n) sin ϕ( n)
n=1
0 y
P N E( n) cos ϕ( n)
n=1
0 y
2. Dla jakich wartości parametrów E 0 x, E 0 y, ϕx i ϕy pole elektryczne w postaci: ~
E( x, y, z, t) =
E 0 x cos( ωt−βz+ ϕx) ~ix+ E 0 y cos( ωt−βz+ ϕy) ~iy jest spolaryzowane: liniowo, kołowo i eliptycznie.
Odp.:
• liniowo: E 0 x, E 0 y dowolne, natomiast ϕy −ϕx = mπ, gdzie m jest dowolną liczbą całkowitą.
• kołowo: E 0 x = E 0 y, zaś ϕy − ϕx = ±π/ 2 + 2 mπ, gdzie m jest dowolną liczbą całkowitą. W
szczególności gdy ϕy −ϕx = π/ 2+2 mπ jest to polaryzacja kołowa lewoskrętna, natomiast, gdy ϕy − ϕx = −π/ 2 + 2 mπ prawoskrętna.
• eliptycznie: wszystkie niewymienione powyżej przypadki.
3. Wektor pola elektrycznego fali płaskiej ma postać ~
E( x, y, z, t) = 2 cos( ωt − βz + π/ 4) ~ix +
2 cos( ωt − βz + ϕ) ~iy. Określ polaryzację fali dla wartości parametru ϕ wybranych ze zbioru ϕ ∈ { 0 , ±π/ 4 , ±π/ 2 , ± 3 π/ 4 , ±π}
Odp.:
• liniowa dla ϕ ∈ {− 3 π/ 4 , π/ 4 }
• kołowa lewoskrętna dla ϕ ∈ { 3 π/ 4 } oraz prawoskrętna dla ϕ ∈ {−π/ 4 }
• eliptyczna w pozostałych przypadkach
ˆ
4. Określ polaryzację fali o amplitudzie harmonicznej ~
H( x, y, z) = [1 + j , 1 − j , 0]e − j βzA/m Odp.: Kołowa prawoskrętna
5. Wykazać, że polaryzacja liniowa jest superpozycją dwóch fal o polaryzacji kołowej lewo- i prawoskrętnej o równych amplitudach.
Odp.: Załóżmy, że fale rozchodzą sie wzdłuż osi Oz:
ˆ
~
E 1( x, y, z) = E 0e j( −βz+ ϕ 1) ~ix + E 0e j( −βz+ ϕ 1+ π/ 2) ~iy oraz
ˆ
~
E 2( x, y, z) = E 0e j( −βz+ ϕ 2) ~ix + E 0e j( −βz+ ϕ 2 −π/ 2) ~iy.
ˆ
ˆ
ˆ
Wówczas ~
E( x, y, z) = ~
E
~
1( x, y, z) + E 2( x, y, z) = E 0e j ϕ 1+ ϕ 2
2
[cos( ϕ 1 −ϕ 2 ) ~i
) ~i
2
x − sin( ϕ 1 −ϕ 2
2
y]e − j βz.
5
Wektor Poyntinga. Zasada zachowania energii.
1. Wyprowadź twierdzenie Poyntinga w postaci różniczkowej i całkowej (wskazówka: skorzystaj z wyrażenia na gęstość mocy traconej w polu elektromagnetycznym p = ~
E ◦ ~
J, równań Maxwella
oraz tożsamości ~
∇ ◦ ( ~
A × ~
B) = ( ~
∇ × ~
A) ◦ ~
B − ~
A ◦ ( ~
∇ × ~
B)).
Odp.: Postać różniczkowa: ~
E ◦ ~
J + ~
∇ ◦ ( ~
E × ~
H) + ~
E ◦ ∂ ~D + ~
H ◦ ∂ ~B = 0.
∂t
∂t
ZZZ
ZZ
ZZZ
∂ ~
D
∂ ~
B
Postać całkowa:
~
E ◦ ~
J d V + ( ~
E × ~
H) ◦ ~
d S +
~
E ◦
+ ~
H ◦
d V = 0.
V
S
V
∂t
∂t
2. W ośrodku o parametrach µr = 1, εr = 9 i σ = 0 rozchodzi się fala elektromagnetyczna postaci
~
H( x, y, z, t) = H 0 cos( ωt − βz) ~iy gdzie H 0 = 60 A/m oraz f = 100 MHz. Wyznacz:
• wektor Poyntinga
• gęstość mocy traconej
• gęstość energii zmagazynowanej
• gęstość mocy zmagazynowanej
• oraz sprawdź słuszność twierdzenia Poyntinga w dowolnym punkcie pola
Odp.: Przyjmując, że Zf = 40 πΩ ω = 2 π 108rad /s oraz β = 2 π rad /m
• wektor Poyntinga: ~
S( x, y, z, t) = H 2 Z
0
f cos2( ωt − βz) ~iz
• gęstość mocy traconej: p( x, y, z, t) = 0
• gęstość energii zmagazynowanej: wEM = µH 2 cos2( ωt − βz)
0
• gęstość mocy zmagazynowanej: pEM = −ωµH 2 sin(2 ωt − 2 βz) 0
3. Wykonaj poprzednie zadanie przyjmując, że σ = 4 · 103 S/m (zmieni się w tym przypadku również postać pola: ~
H( x, y, z, t) = H 0e −αz cos( ωt − βz) ~iy).
Odp.: Zakładając, że ośrodek jest dobrym przewodnikiem ( σ = 80000 >> 1), mamy α = β =
ωε
√
400 π rad /m oraz Zf = |Zf | e jϕ = 0 . 1 π 2e j π 4
√
• wektor Poyntinga: ~
S( x, y, z, t) = 2 H 2 |Z
4
0
f | e − 2 αz(1 + cos(2 ωt − 2 βz) − sin(2 ωt − 2 βz)) ~iz
• gęstość mocy traconej: p( x, y, z, t) = 1 H 2 ωµ e − 2 αz(1 − sin(2 ωt − 2 βz)) 2
0
• gęstość energii zmagazynowanej:
h
i
w
εω
EM = 1 H 2 µ e − 2 αz
(1 − sin(2 ωt − 2 βz)) + 1 + cos(2 ωt − 2 βz)
4
0
σ
≈ 1 H 2 µ e − 2 αz (1 + cos(2 ωt − 2 βz)) 4
0
• gęstość mocy zmagazynowanej:
h
i
p
εω
EM = − 1 ωµH 2e − 2 αz
cos(2 ωt − 2 βz) + sin(2 ωt − 2 βz)
2
0
σ
≈ − 1 ωµH 2e − 2 αz sin(2 ωt − 2 βz)
2
0
4. Korzystając z rachunku harmonicznego wyprowadź wyrażenie na średnią wartość wektora Poyn-
tinga, mocy traconej oraz energii i mocy zmagazynowanej w polu elektromagnetycznym i zapisz
twierdzenie Poyntinga w postaci harmonicznej.
Odp.:
6
ˆ
• uśredniony w czasie wektor Poyntinga: < ~
S( x, y, z, t) > = Re[ ~
S( x, y, z)], gdzie ~
S( x, y, z) =
1 ˆ
~
ˆ
E × ~
H∗ jest zespolonym wektorem Poyntinga
2
ˆ
ˆ
• uśredniona w czasie gęstość mocy traconej: < p( x, y, z, t) > = 1Re[ ~
E ◦ ~
J∗].
2
• uśredniona w czasie gęstość energii zmagazynowanej w polu elektrycznym:
ˆ
ˆ
< w
~
~
E ( x, y, z, t) > = 1 Re[ E ◦ D∗]
4
• uśredniona w czasie gęstość energii zmagazynowanej w polu magnetycznym:
ˆ
ˆ
< w
~
~
M ( x, y, z, t) > = 1 Re[ B ◦ H ∗]
4
• uśredniona w czasie gęstość mocy zmagazynowanej w polu elektrycznym:
ˆ
ˆ
< p
~
~
E ( x, y, z, t) > = 1 ω Im[ E ◦ D∗]
2
• uśredniona w czasie gęstość mocy zmagazynowanej w polu magnetycznym:
ˆ
ˆ
< p
~
~
M ( x, y, z, t) > = − 1 ω Im[ B ◦ H ∗]
2
• Twierdzenie Poyntinga w postaci:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
różniczkowej: ~
E ◦ ~
J∗ + ~
∇ ◦ ( ~
E × ~
H∗) + j ω ~
H∗ ◦ ~
B − ~
E ◦ ~
D∗ = 0,
ZZZ
ZZ
ZZZ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
całkowej:
~
E ◦ ~
J∗ d V + ( ~
E × ~
H∗) ◦ ~
d S + j ω
~
H∗ ◦ ~
B − ~
E ◦ ~
D∗ d V = 0
V
S
V
5. Wykonaj zadanie 3 korzystając z rachunku amplitud harmonicznych (obliczyć wartości średnie szukanych wielkości).
Odp.:
ˆ
• zespolony wektor Poyntinga: ~
S( x, y, z) = 1 H 2 |Z
2
0
f | e − 2 αz e j π/ 4 ~iz. Stąd:
√
< ~
S( x, y, z, t) > = 2 H 2 |Z
4
0
f | e − 2 αz~iz
• uśredniona w czasie gęstość mocy traconej: < p( x, y, z, t) > = 1 H 2 ωµ e − 2 αz 2
0
• gęstość energii zmagazynowanej w polu elektrycznym:
< w
1
E ( x, y, z, t) > = εω µH 2e − 2 αz ≈ 0
σ 4
0
• gęstość energii zmagazynowanej w polu magnetycznym:
< wM( x, y, z, t) > = 1 µH 2e − 2 αz
4
0
• gęstość mocy zmagazynowanej w polu elektrycznym:
< pE( x, y, z, t) > = 0
• gęstość mocy zmagazynowanej w polu magnetycznym:
< pM( x, y, z, t) > = 0
7
Pola na granicy ośrodków. Warunki brzegowe
1. Niech ~n będzie ustalonym wersorem w przestrzeni trójwymiarowej. Pokazać, że dowolny wektor
~a można rozłożyć na składowe w kierunku równoległym i prostopadłym do wersora ~n, tzn.
~a = ~ak + ~a⊥, gdzie ~ak = ( ~a◦~n) ~n jest składową równoległą, natomiast ~a⊥ = ~a−~ak = −( ~a×~n) ×~n składową prostopadłą. (Wskazówka: ~
A × ( ~
B × ~
C) = ~
B( ~
A ◦ ~
C) − ~
C( ~
A ◦ ~
B) )
7
2. Rozłóż dany wektor pola na składową normalną i styczną do danej powierzchni: (a) wektor: ~
E = [1 , 2 , 3], płaszczyzna: y = 1
(b) wektor: ~
H = 5 ~ix − 2 ~iy − 6 ~iz, płaszczyzna: x + y + z = 0
(c) wektor: ~
E = 3 ~i% −~iϕ + 2 ~iz, powierzchnia: % = 4
(d) wektor: ~
H = 2 ~ir + ~iθ − 3 ~iϕ, powierzchnia: r = 2
Odp.:
(a) ~
En = [0 , 2 , 0], ~
Es = [1 , 0 , 3]
(b) ~
Hn = [ − 1 , − 1 , − 1], ~
Hs = [6 , − 1 , − 5]
(c) ~
En = 3 ~i%, ~
Es = −~iϕ + 2 ~iz
(d) ~
Hn = 2 ~ir, ~
Hs = ~iθ − 3 ~iϕ
3. Pokazać, że na granicy dwóch ośrodków spełnione są zależności:
~
D 2 n − ~
D 1 n = %s~n
~
B 2 n − ~
B 1 n = 0
~
H 2 s − ~
H 1 s = ~
Js × ~n
~
E 2 s − ~
E 1 s = 0
gdzie indeks dolny n oznacza składową normalną, a s składową styczną danego pola, %s jest gęstością powierzchniową ładunku, ~
Js jest gęstością liniową prądu powierzchniowego, zaś ~n jest
wersorem normalnym do powierzchni granicznej zwróconym z ośrodka (1) do (2).
4. Dana jest powierzchnia graniczna y = x rozdzielająca dwa ośrodki: w półprzestrzeni y > x powietrze (1) oraz materiał (2) o parametrach µr = 2 i εr = 3 w półprzestrzeni y < x. Na
√
powierzchni zgromadzony jest ładunek %s = 6 ε 0 / 2. Określić pola w ośrodku (2), jeżeli w ośrodku (1) pole ma postać: ~
E 1 = 3 ~iy, ~
H 1 = ~ix − 2 ~iy.
Odp.:
~
E 2 = [2 , 1 , 0] oraz ~
H 2 = [1 / 4 , − 5 / 4 , 0]
5. Płaszczyzna 0 xz jest granicą dwóch ośrodków. Pierwszy o parametrach µr 1 = 2, εr 1 = 1 dla y > 0, drugi µr 2 = 1, εr 2 = 1 dla y < 0. Po płaszczyźnie płynie prąd powierzchniowy ~
Js =
2 ~ix. Wyznaczyć natężenie pola magnetycznego w drugim ośrodku, jeżeli w ośrodku pierwszym
~
H 1 = [1 , 1 , 1].
Odp.:
~
H 2 = [1 , 2 , − 1]
8