Egzamin z Równań Różniczkowych, 22 VI 2011

1. Zadanie wstępne

1.1 Sprawdzić, czy funkcje f ( x) = 1+ x oraz g( x) = 2 −x tworzą układ fundamentalny rozwiązań pewnego równania różniczkowego rzędu drugiego(tzn. czy są liniowo niezależne)

1.2 Rozwiązać równanie: y0 = cos2 y

1.3 Wyznaczyć linie ortogonalne do rodziny krzywych tworzących całkę ogólną równania różniczkowego y0 + y = 0

−

→

1.4 Wyznaczyć wektor binormalny do krzywj o równaniu r = [ t , t 2 , et] , dla t = 0

∞

p

1.5 Dla jakich wartości parametru p zachodzi równość X

= 6

2 n

n=0

2. Rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego

(

y0 + y tg x = sin 2 x y( π) = 1

3. Rozwiązać równanie: ( y0)2 + sin2 3 x = 1

4. Rozwiązać równanie: y000 − 4 y0 = x + e 3 x 5. Korzystając z odpowiednich twierdzeń o całkowaniu i różniczkowaniu funkcji rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję f ( x) = x arc tg x. Wyznaczyć zakres zbieżności szeregu.

6. Wyznaczyć szereg Fouriera samych sinusów, którego suma na przedziale (0 , π) przyj-

π

muje wartości identyczne z funkcją f ( x) =

. Wypisać sumę trzech pierwszych wy-

4

razów szeregu. Wykorzystując otrzymany szereg, obliczyć sumę szeregu liczbowego:

∞ sin(2 n − 1)

X

2 n − 1

n=1

1