2.1. Obliczyć pochodne funkcji:
√
arctg x
x · 3 2 + x
(a) f ( x) =
,
(b) f ( x) = e 3 sin x · sin 2 x, (c) f ( x) = ( x cos x)2, (d) f ( x) =
√
.
ln (1 + x 2)
x + 3 2 + x
2.2.
(a) Napisać równania stycznych do wykresu funkcji f ( x) = 1 arctg (1 − x 2) w miejscach zerowych 2
funkcji. Pod jakimi kątami wykres przecina oś OX?
√
(b) Napisać równanie stycznej do krzywej y = 3 −x w punkcie x 0 , 3 . Wykonać rysunek.
√
(c) Napisać równanie tej stycznej do wykresu funkcji f ( x) = ln x − 0 , 5 x 2, która jest równoległa do osi OX.
(d) Napisać równanie tej stycznej do wykresu funkcji f ( x) = ln x 2 + e−x, która jest równoległa do prostej l : y = 5 − x.
π π
(e) Napisać równanie tej stycznej do wykresu funkcji f ( x) = tg(2 x) − 3 x, x ∈
− ,
, która
4 4
jest prostopadła do prostej l : x + 5 y = 0.
(f) Dla jakich wartości parametrów a, b parabola o równaniu y = −x 2 + ax + b jest styczna w punkcie (1 , 1) do prostej y = x? Wykonać rysunek.
2.3. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji f . Naszkicować jej wykres.
√
e 2 x
(a) f ( x) = ln x 3 − 2 x 2 + x , (b) f ( x) = x · ln4 x, (c) f ( x) =
,
(d) f ( x) = x ·
4 x − x 2.
ex − 1
2.4. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji na wskazanym przedziale.
x + 1
ex
(a) f ( x) =
,
[ − 7 , 0];
(b) y( x) =
,
[ − 2 , 2];
x 2 + 2 x + 2
1 + x 2
√
π
q
(c) g( x) =
3 cos x + sin x,
0 ,
;
(d) y( x) = 3 ( x 2 + x)2 ,
[ − 2 , 3].
2
2.5. Wyznaczyć przedziały wypukłości i punkty przegięcia wykresu funkcji x
1
√
(a) y( x) =
,
(b) f ( x) = x · ln
,
(c) g( x) = x ·
x + 1,
(d) h( x) = x 2 e 1 −x.
x 2 + 1
x 2
2.6. Zbadać istnienie asymptoty
1 − cos 3 x
(a) o równaniu x = 0 funkcji f ( x) =
,
sin2 4 x
π
ln(1 + 3 cos x)
(b) o równaniu x =
funkcji f ( x) =
,
2
π − 2 x
1
1
(c) poziomej w + ∞ funkcji f ( x) = x · 6 x − 2 x , 1
1
(d) o równaniu x = 0 funkcji f ( x) =
−
.
x
sin 2 x
2.7. Oszacować błąd bezwzględny przybliżonego wzoru x 2
(a) sin x ≈ x
dla
|x| ¬ 0 , 5,
(b) ex ≈ 1 + x +
dla
|x| ¬ 0 , 5,
2
x 2
√
x
(c) ln(1 + x) ≈ x −
dla
|x| ¬ 0 , 1,
(d)
1 + x ≈ 1 +
dla
0 ¬ x ¬ 1.
2
2
2.8. Obliczyć całki:
Z
Z
x 2
Z
ln2 x
(a)
x · cos( πx + 2) dx, (b)
dx,
(c)
√
dx,
ex
x
√
√
3
Z
sin 3 x
Z
tg(ln x)
Z
x 2 + 1 +
x 2 + 1
(d)
dx,
(e)
dx,
(f)
xdx,
ex
x
x 2 + 1
Z
1 + ln x
1
Z
Z
(g)
·
dx,
(h)
(1 + cos x) · sin3 x dx, (i)
32 x · sin 3 x dx.
1 + ln2 x
x
2.9. Obliczyć całkę oznaczoną. Podać jej interpretację geometryczną. Wykonać rysunek.
π
1
π
e 2
3
Z
Z
Z
Z
(a)
e 2 x dx,
(b)
sin x cos x dx,
(c)
ln x dx,
(d)
tg x dx.
− 1
0
1
0
e
2.10. Obliczyć pole figury ograniczonej podanymi krzywymi. Wykonać rysunek.
(a) y = x 2 − 2 x, y = x + 4; (b) y = x 2 , y = 5 − ( x + 1)2;
√
√
4
(c) y =
x, y = 3 x;
(d) y =
, y = 1;
x 2 + 1
3
(e) x + y = 4 , y =
;
(f) y = sin x, y = x, x = π; x
(g) y = ln(1 + x) , y = x, x = e; (h) y = ln(1 + x) , y = x, y = 1.
Podobne zadania (także rozwiązane) można znaleźć w skryptach: M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2008,
M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna 1. Kolokwia i egzaminy, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2005.
Jolanta Sulkowska