SIMR 2010/11, Analiza Zespolona, Zadania do wykładu 1

1. Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiór: (a) |z − 2 | ¬ Im z + 3

(b) Re( z(1 + i)) ¬ 1

z + i

(c) Re

¬ 1

z − i

z + 1

(d) Im

­ 0

z + 3

(e) |z − 1 | ­ | Re z|

¯

z + 1

(f) Re

­ 1

z

2. Rozwiązać równanie :

(a) z ¯

z + z − ¯

z = 3 + 2 i

(b) z 4 + 3 z 2 − 4 = 0

1 − i

(c) z 6 = √ 3 + i (1 + i)16

(d) z 4 =

√

( − 1 +

3 i)12

(e) ( z 3 + 8)( z 2 + 4 z + 13) = 0

(f) ( z 3 + i)( z 2 + iz − 2 − 6 i) = 0

3. Dla funkcji f ( z) znaleźć u( x, y) , v( x, y) ( f = u + iv

,

z = x + iy) (a) f ( z) = z 2 + 4 i (b) f ( z) = 1 z (c) f ( z) = z+2 i z−i

(d) f ( z) = (1 + i) z (e) f ( z) = iz 3

(f) f ( z) = 4 |z| 2 + 3 iz 4. Mając dane u( x, y) , v( x, y) , znaleźć funkcję f ( z) ( f = u + iv

,

z = x + iy) (a) u = x 2 − y 2

,

v = − 2 xy

(b) u = x − y

,

v = x 2 + y 2

(c) u =

y

,

v =

x

x 2+ y 2

x 2+ y 2

5. Narysować obraz obszaru D : f ( D) (a) f ( z) = 2 z − 1

,

D : trójkąt ∆ ABC , gdzie A = 0 , B = i , C = − 1 + i (b) f ( z) = 2 z 2

,

D : 0 ¬ x ¬ 1 , 0 ¬ y ¬ 2

1

(c) f ( z) =

,

D : 0 ¬ x ¬ 1 , − 1 ¬ y ¬ 0

z

z 2 + 1

(d) f ( z) =

,

D : 0 ¬ x ¬ 1 , 0 ¬ y ¬ 1

z

6. Obliczyć granicę:

2 n + 4 i n

(a) lim

n→∞

3 ni − 7

2 n 3 + in 2 − 5 n (b) lim

n→∞

in 3 − 2 n + 6

2 n 3 + in 2 − 5 n (c) lim

n→∞

in 3 − 2 n + 6

7. Obliczyć:

(a) sin( π + 3 i)

(b) e 2 −πi

(c) sinh(2 i)

(d) ln(1 + i)

(e) ln( − 1)

(f) ei

(g) i 1+ i