6 lista zadań. Przegląd funkcji elementarnych 1. Przypomnieć pojęcie funkcji, dziedziny funkcji i zbioru jej wartości, definicje funkcji: rosnącej, malejącej, parzystej, nieparzystej, okresowej i przykłady takich funkcji. Naszkicować wykresy następujących funkcji i omówić ich własności (wg pojęć wcześniej wyszczególnionych): 1
1
a
) f ( x)
2
= x − ,
3 b
) f ( x)
2
= − x − 2 x + ,
3
3
c
) f ( x) = x , d
) f ( x) = − , e
) f ( x) =
,
x
2
x
x
x
1
x−
f
) f ( x) =
, g
) f ( x) = ,
2
h
) f ( x) = 2
, i
) f ( x) = log x ,
x − 1
2
2
x
j
) f ( x) = log x +
=
=
=
1 (
)3, k ) f ( x) 2sin2 x, l ) f ( x) cos , m ) f ( x) cot x.
2
2
2. Przekształcaj
2
ąc odpowiednio wykres funkcji y = x , naszkicować wykresy funkcji: 2
2
a) y = 2 − x 2 , b
) y = ( x + 3) , c
) y = ( x − )
1 + ,
2 d
) 2
x − 4 x + 3.
3. Przekształcając odpowiednio wykres funkcji
x
y = 2 , naszkicować wykresy funkcji:
x+
x
x
a
) y =
−
2
2 , b
) y = 2
+ ,
1 c
) y = 2
− ,
1 d
) y = − 2 x + 4 .
4. RozwiąŜ równania i nierówności:
a
)
2
− x + 2 x − 2 ≥ ,
0 b
) x4 − 2 2
x − 3 <
,
0 c
) 5
x − x ≥ 0 , d
) x + 2x > 5,
e
) 2 x+4 + x < ,
1 f
) 2
x −4 = 4 , g
) x x > ,
9 h
) x2 < x , i
) x2 − 16 = 2 − x,
x
3
7
6
x + 1
3
j
)
≥ ,
0 k
)
+
<
, l
) −1 <
<
.
2
x + 2 x − 3
x + 1
x + 2
x − 1
x − 1
x − 3
5. Przypomnieć podstawowe wzory trygonometryczne, wzory redukcyjne i wzory na rozwiązanie równań sin x = sin α , c
os x = cosα , t
an x = tan α , c
ot x = cot α. Rozwiązać równania i nierówności trygonometryczne:
1
1
x
1
a
) s
in 3 x = −
, b
) c
os 2 x = −
, c
) tan
= 3 , d
) 2sin2 x = tan x , e
) c
os2 x =
,
2
2
2
2
1
3
cos x
f
) s
in2 x = cos x ⋅ sin 2 x , g
) sin x <
, h
) c
os x >
, i
) c
ot x > ,
1 j
)
≥ 1.
2
2
1 − cos x
6. Wyznaczyć dziedzinę funkcji oraz zbiór jej wartości (przeciwdziedzinę): x
a
) f (x) =
, b
) f ( x) =
2
2
x − x , c
) f ( x) = log x + ,
1 d
) f ( x) = 1 + log( 2
x − )
1
,
2
x + 1
e
) f ( x) = 1 + 2 sin x , f
) f ( x) = log( 3 − tan x).
7. Określić, czy podane odwzorowania f: X → Y są „na” jeŜeli: a) f(x) = sin x, X = 〈0; 2π〉, Y = 〈-1; 1〉,
b) f(x) = x2, X = R, Y = 〈0; ∞),
c) f(x) = 2x, X = R, Y = 〈0; ∞),
d) f(x) = x + 1/x, X = (0; ∞), Y = R,
e) f(x) = x + 1/x, X = (0; ∞), Y = 〈2; ∞).
8. Jakie okresy podstawowe mają funkcje okresowe:
a) f(x) = cos 2x, b) g(x) = (−1)k, k ∈ Z ?
9. Uzasadnić, Ŝe podane funkcje są parzyste lub nieparzyste: sin x
4
2
x
−x
a
) f
(x) = x - 3x + 1 , b
) g
(x) = 2 + 2
, c
) h
(x) = sin x , d
) k
(x) =
,
x3
2 + x2
3
x
−x
e
) l
(x) =
, f
) p
(x) = sin x , g
) t(x) = 3 − 3
, h
) u
(x) = x ⋅ x .
x3
10. Czy podane funkcje są ograniczone na wskazanych zbiorach: 1
1
a
) g
(x) =
, (
1; 3
)
;
b
) h
(x) = log x , (
0;1
)
; c
) k
(x) =
, R
?
2
x
x2 + 1
11. Określić monotoniczność znanych funkcji elementarnych.
12. Określić złoŜenie funkcji: f o f , f o g, g o f, g o g oraz dziedziny tak złoŜonych funkcji jeŜeli: x
a) f(x) = x2 , g(x) =
x; b) f(x) = 2 , g(x) = cos x;
1
x
1
c) f(x) = x3, g(x) =
; d) f(x) =
, g(x) =
.
3 x
1 + x2
x
13. Wyznaczyć funkcje odwrotne do danych funkcji oraz określić ich dziedziny i przeciwdziedziny: x − 1
x 1
−
f(x) = 3x + 2, f(x) =
, f(x) = 2
+ 2, f(x) = log (x + )
3 , f(x) = 2 - 5 x + 1
2
,
2x + 1
f(x) = x2 − 2x dla x ∈ 1; ∞).
− 1
3
-
2
14. Własności funkcji cyklometrycznych. Wyznaczyć wartości: arcsin
, a
rcsin
, a
rccos
,
2
2
2
arctg 3, arctg(-1), arcctg 3, arcctg0.
2
15. Obliczyć wartość wyraŜenia: arcsin (−x) + arctg (2x) + arccos (2x), jeŜeli arccos x = π .
3
2
3
16. Obliczyć wartość wyraŜenia: a
) c
o
s 2arcsin
, b
) s
in a
2 rccos .
3
5
17. Naszkicować wykres funkcji f(x), jeŜeli:
x
a
) f ( x) = [2 ] ,
b
) f ( x) = [sin x] , c
) f
(x) = x ⋅ sgnx
+
x
d
) f ( x) = x − [ x]
1
sgn(sin )
,
e
) f ( x) =
.
2
1, g
dy x > 0
( sgnx = 0, g
dy x = 0 ; [x] oznacza największą liczbę całkowitą nie przekraczającą liczby x).
-1,g dy x < 0.
7 lista zadań. Granica i ciągłość funkcji.
1. Przypomnieć niektóre podstawowe granice ciągów. Wyznaczyć granice danych ciągów: 2
2n − n
n
3
n2 + 3n − 2
a
) a
=
, b
) a
=
, c
) a
= n +
, d
) a
=
,
n
2
n
n
n
5 − n
n3 + n −1
n + 2
1 + 2 + 3 + ... + n
2
n
sin n + 4n
2
e
) a
=
n2 − 3 n − n , f
) a
=
, g
) a
=
, h
) a
= n n
3 + n
4 ,
n
n
n
n +3
n
3n + 1
5
3n
2n 1
−
n
2
n + 1
i
) a
= 1 +
, k
) a
=
n
n
(n+2)
, l
) a
=
.
n
n
n +
1
n
2. Pojęcie granicy funkcji w punkcie x0 w sensie definicji Heinego. Twierdzenia o granicy funkcji złoŜonych.
3. Wyznaczyć wskazane granice funkcji:
4
3x
x − 1
sin2x
tgx
e
− 1
1 + 2x − 3
a) lim
, b) lim
, c) lim
, d) lim
, e) lim
,
x
x→1 x − 1
x→0 5x
x→0 3x
x→0 e − 1
x→4
x − 2
1
x
2 + x
2
2
f ) lim (1 + x) x , g) lim
, h) lim
x
− 3x + 1 − x + x + 1 .
→
→∞ 3 − x
(
)
x
0
x
x→-∞
4. Podać wartości granic jednostronnych:
1
π
lim sgn x, lim sgn x, lim
, lim tg
x, lim [x], lim [x],
3
x→ −
0
+
+
x→0
x→ −
0
x
x→ −
1
2
x→ −
0
x→0
1
1
2
3 x
1 + sgn x
1 + sgn x
lim
, lim
, lim
, lim 2 x , lim 2 x
, lim e x 1
− .
+
−
−
−
x→2
x − 2
+
x→0
2
x→0
2
x→0
+
x→0
x
1
→
5. Podać określenie funkcji ciągłej w punkcie x0, ciągłej w przedziale otwartym (a; b), ciągłej w przedziale zamkniętym 〈a; b〉. Co to są punkty nieciągłości pierwszego i drugiego rodzaju ?
6. W jakich punktach dane funkcje nie są ciągłe:
x + x
sinx
x
1
,
,
, a
rctg
, [
x] , x − [x
] ?
2 x
x
2
x
x − 1
7. Zbadać ciągłość funkcji:
sinx
x +
1 d
l
a x < 0
d
l
a x ≠ 0
a
) f
(x) =
,
b
) g
(x) = x
.
(
x -1)2 d
l
a x ≥ 0
1 d l a x = 0
8 lista zadań. Pochodna funkcji jednej zmiennej i jej zastosowania 1. Określenie pochodnej funkcji w punkcie.
2
Wyznaczy
2
ć z definicji pochodną w punkcie x
+
0 funkcji: a) f(x) = x − 3x, b) f(x) =
x
1 .
2. Podstawowe wzory dotyczące obliczania pochodnych znanych funkcji elementarnych. Pochodna sumy, iloczynu i ilorazu funkcji. Pochodna funkcji złoŜonej (przeliczyć róŜne prostsze przypadki).
−x
3. Wyznaczy
2
ć pochodne funkcji: y = x⋅sinx, y = x3⋅cos2x, y = x4⋅e , y = x⋅e1/x, y = 2x − 3x , lnx
1 − x
1
y =
, y =
2
2
2
, y = ln(x +
x + 1) , y = ln
, y = sin (3x - 2), y = arctg x + 1 ,
x
1 + x
1 + x
3
1
−x
cosx
y = x ln(2x) , y = arcsin
, y = x
, y = x
.
x
4. Wyznaczyć pochodną rzędu n-tego funkcji:
6
x
2x
x
y = x , y = lnx, y = sinx, y = a , y = e
, y = x ⋅ e .
5. Wyznaczyć pochodną rzędu czwartego funkcji y = sin2x w punkcie x = 0 oraz pochodną rzędu trzeciego funkcji y = arcsinx w punkcie x = 0.
6. Określenie róŜniczki funkcji. Kiedy moŜna zastąpić przyrost ∆f funkcji jej róŜniczką df ?
Obliczyć przyrosty i róŜniczki funkcji f(x) = x2 jeŜeli x0 = 1 oraz ∆x jest równy kolejno: 5, 1, 0.1, 0.01.
.
1 1
Obliczyć przybliŜoną wartość wyraŜeń:
.
4 02 , e
, l
n( .
1 05
) wykorzystując pojęcie róŜniczki.
7. Wyznaczyć równanie stycznej i normalnej do wykresu funkcji y = x3–2x2+1 w punkcie P=(2, 1).
8. Znaleźć kąt przecięcia krzywych: y = 2x2 – x + 1 i y = x2 + 4x - 3.
9. Wykazać, Ŝe styczna do hiperboli xy = 1 ogranicza z osiami układu współrzędnych trójkąt o stałym polu.
10. Stosując twierdzenie de l’Hospitala obliczyć granice: x
2 x
e − 1
tg x − sin x
ln x
e
−1
1
1
lim
, lim
, lim
, lim
, lim x ⋅ ln x , lim (
− ) ,
x→0 sin 2
x→0
x
x − sin
3
x
1
x
→ 1
x→0
− x
ln 1
( + 2 x)
x →0
x→0 sin x
x
1
1
x
x
x
lim ( −
), lim ( e − ln x), lim x , lim (1 + 2
x ) e .
x
x→0 x
e − 1
x→∞
x→0
x→-∞
11. Znaleźć wzór Taylora dla następujących funkcji: x
2
a
) y = e
, x = 0
; b
) y = sinx , x = 0
; c
) y = ln(1+ x) , x = .
0
o
o
o
12. Określić monotoniczność i wyznaczyć ekstrema lokalne następujących funkcji: 2
x
1
lnx
x
a
) y =
;
b
) y =
;
c
) y = x ⋅ exp −
;
d
) y =
;
1 − x
lnx
2
x
x
1
1
e
) y = arctg(x) − ln 1
(
2
+ x ;
) f
) y = cos(x) +
cos(2 x)
, x ∈< 0; 2
π
;
>
2
2
3
2
2
g
) y = 9 ⋅ x 1
( − x) .
13. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w podanym przedziale: a
) y =
1 − 4x , x ∈< − 0
;
2
;
>
4
2
b
) y = x e x , x ∈<
4
;
1
;
>
x2 + 2x + 4
c
) y =
, x ∈< − 1
;
1
> .
x + 2
14. Wyznaczyć przedziały wypukłości, wklęsłości i punkty przegięcia krzywych: 1
x
a) y = ln(x2 - 4) ; b) y = 3x5 - 10x4 - 30x3 - 2x ; c) y = xe x ; d) y =
;
4 - x2
x
e) y =
; f) y = ln2x + lnx .
lnx
15. Przeprowadzić badanie następujących funkcji:
3
3
1
2x
(x - 1)
−
2
a) y =
; b) y =
; c) y = x 1 - x ; d) y = xe x ; (x - 1)2
(x + 1)2
1
2
x
2
e) y = (x + 2)e x ; f) y = (x − 3)e ; g) y = ln(x + x + 1) .
J. Szymczak