Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 12
Zadania zamknięte
Numer
Poprawna
Wskazówki do rozwiązania zadania
zadania odpowiedź
1.
D.
40
41
x = 3 ⋅ 3
= 3
2.
A.
(
2
3 − 2 5 ) = 9 − 2 ⋅ 3⋅ 2 5 + 4 ⋅ 5 ⇒ x = 29 −12 5
3.
B.
x −1 < 9 ⇒ x −1 <18 ⇒ x −1> −18∧ x −1<18 ⇒ x > 1
− 7 ∧ x < 19
3
4.
A.
x
81
1
81
1
3
− x
1
log
= x ⇔ =
⇒ 3 = 3 2 ⇒ x = −3
1
3
3
3
2
3
5.
C.
Liczba znajdująca się pod znakiem wartości bezwzględnej jest ujemna.
6.
C.
Nie odejmujemy liczb 0 i 5 , zatem muszą one naleŜeć do róŜnicy zbiorów.
7.
B.
Stopień iloczynu wielomianów to suma stopni tych wielomianów.
8.
B.
Skorzystaj z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej.
9.
D.
2
x − 5 x ≠ 0 ⇒ x( x − 5) ≠ 0 ⇒ x ≠ 0 ∧ x ≠ 5
10.
C.
Trójmian nie ma miejsc zerowych, a parabola będąca jego wykresem ma ramiona skierowane do góry.
11.
C.
2 = 4(3 x − )
1
1 ⇒ 2 = 12 x − 4 ⇒ 6 = 12 x ⇒ x =
2
12.
C.
3
∆ = 0 ⇔ 6 + 8 c = 0 ⇔ c = −
4
13.
D.
− 4 = −2 3⋅ 3 + b ⇒ −4 = −6 + b ⇒ b = 2
14.
B.
Dla wszystkich liczb rzeczywistych x spełniony jest warunek x ≥ 0 ⇒ x + 5 > 0 .
15.
D.
1
f
)
1
(
=
2
16.
C.
a = log 200 ⇒ a = log(2 ⋅100) ⇒ a = log 2 + log100 ⇒ a = log 2 + 2
1
B.
(3 n − )1+1
3 n − 2
a
n−
=
⇒ an− =
1
2( n − )
1 + 3
1
2 n + 1
18.
C.
a = S − S = 155 − 75 = 80
5
5
4
19.
B.
1
a +
1
5
7
6
=
⇒ 2 = 5 a + ⇒ a =
5
2
6
30
20.
A.
cosα
4
21
W = sin α ⋅
⇒ W = cosα = 1−
⇒ cosα =
sinα
25
5
21.
C.
2
x + ( y − 3)2 ≤ 9 ⇒ r = 3 ⇒ P = π
9
Zadania otwarte
Numer
Liczba
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
zadania
punktów
22.
Pogrupowanie wyrazów wielomianu:
1
2
W = x (2 x − 7) + 4(2 x − 7) .
RozłoŜenie wielomianu na czynniki W = ( 2
x + 4) (2 x − 7) i
1
7
wyznaczenie pierwiastka wielomianu: x =
.
2
23
Zapisanie lewej strony równania w postaci iloczynowej: 1
( x −8)( x + )3 = 0.
Przekształcenie lewej strony równania i podanie 1
współczynników: b = −5 ∧ c = 2
− 4 .
24.
Wprowadzenie oznaczeń i zastosowanie definicji logarytmu: 1
log 5 = x ⇔ 7 x = ,
5
7
.
log
25 = y ⇔ 49 y = 25
49
Przekształcenie drugiego równania, skorzystanie z pierwszego i 1
uzyskanie tezy zadania: 2 y
2
2 y
2 x
7
= 5 ⇒ 7 = 7 ⇒ x = y .
25.
Zapisanie równania z niewiadomą x (liczba lat nowego 1
15 ⋅ 33 + x
pracownika):
= 34 .
16
2
Rozwiązanie równania: x = 49 .
1
26.
RozłoŜenie na czynniki licznika i mianownika ułamka: 1
( x + 2)2
u = (
.
x + 2)( x − 2)
x + 2
1
Skrócenie ułamka: u =
.
x − 2
27.
1
1
1
Zapisanie równania:
⋅10 ⋅ 24 = ⋅ 26 h .
2
2
120
1
Rozwiązanie równania: h =
.
13
28.
Wyznaczenie liczebności zbioru zdarzeń elementarnych: 1
=
Ω = 10 ⋅10 .
Wyznaczenie liczebności zbioru zdarzeń elementarnych 1
=
sprzyjających zdarzeniu A : A = 6 ⋅ 6 + 4 ⋅ 4 i obliczenie 52
prawdopodobieństwa zdarzenia A : P( ) A =
.
100
29.
Wprowadzenie oznaczeń:
1
x, y – odpowiednio liczba uczniów w klasie i koszt autokaru przypadający na jednego ucznia oraz zapisanie równania: yx = 1500 .
( x − 5)( y +10) =1500
1
Zapisanie układu równań:
.
xy = 1500
Przekształcenie układu do postaci równania 1
kwadratowego: 2
x − 5 x − 750 = 0 .
Rozwiązanie równania: x = 2
− ,
5 x = 30 .
1
1
2
Wybór rozwiązania i obliczenie drugiej
1
niewiadomej: x = 30 ∧ y = 50 .
30.
Zapisanie układu równań wynikającego z treści 2 (po 1 punkcie
r
π l = 4 2
r
π
za kaŜde
zadania:
.
2 r + 2 l = 30
równanie)
r = 3
1
Rozwiązanie układu:
.
l = 12
3
Wyznaczenie wysokości stoŜka: h = 3 15 .
1
Obliczenie objętości stoŜka: V = 9π 15 .
1
31.
Wyznaczenie równania prostej zawierającej odcinek 1
1
4
AB : y =
x −
.
3
3
Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka: S
.
1
AB = ( ,
1 − )
1
Wyznaczenie równania prostej zawierającej symetralną odcinka: 2 (w tym 1
y = −3 x + 2 .
punkt za
wyznaczenie
współczynnika
kierunkowego
symetralnej)
Wyznaczenie równania okr
2
2
ęgu: ( x − )
1
+ ( y + )
1
= 40 .
1
4