Metoda iteracji prostej f (x) = 0
(1)
Zakłada się, Ŝe występująca w równaniu (1) funkcja f ( )⋅ jest ciągła na zadanym przedziale
[ a, ] b i spełnia w punktach krańcowych warunek f ( a)⋅ f ( b) < 0
NaleŜy znaleźć przedział [ a, ]
b
Ustalić liczby ε, δ (większe od błędu zaokrąglenia wynikającego ze skończonej precyzji zapisu liczb w komputerze) Funkcja f (x) musi mieć określoną i ciągłą pierwszą i drugą pochodną w przedziale [a, b]
2
Przebieg obliczeń Funkcję f (x) przekształcamy do postaci x= (
F x)
Obliczenia wykonujemy według wzoru iteracyjnego x +
k = 0, 1, 2, …..
1
= F( x )
( k
)
( k )
Po kaŜdej iteracji sprawdzamy, czy f ( x( k+ )
1 )
< δ
Obliczenia kończymy, gdy f ( x
wtedy
x +1 = x*
( k +
)
1 )
< δ
( k
)
a + b
Początek obliczeń
x
=
( 0 )
2
3
Warunek zbieŜności JeŜeli istnieje taki ułamek q, Ŝe F' ( x ) ≤ q <1
dla
a ≤ x ≤ b to iteracja będzie zbieŜna 4
Ilustracja graficzna
f(x)
F(x)
f(x)=x
F(x)
x
0
a
b
x
x
(1)
(0)
│f (x )│< δ
TAK kończymy obliczenia x
= x *
(1)
(1)
NIE liczymy dalej
5
3
x − 2 x − 6 = 0
6