I) Badanie układu dynamicznego:

1) Pojęcie obiektu dynamicznego i jego stanu:

Obiekt sterowania – każdy proces (np. napędzanie) lub zjawisko (np. przepływ cieczy), podlegające regulacji.

Obiektem dynamicznym nazywamy obiekt dla, którego sygnały czyli przebiegi wielkości fizycznych rozpatruje się jako funkcję czasu.

Własności (niektóre) obiektów dynamicznych:

•

Przebiegi sygnałów układu dynamicznego w czasie zależą nie tylko od aktualnych wartości wymuszeń, ale zależą także od wymuszeń, które były w przeszłości,

•

Aby układ był układem dynamicznym musi zawierać co najmniej jedną zmienną stanu,

•

Niekiedy do opisu układu dynamicznego wystarczą opisy wejść i wyjść bez jawnego wprowadzenia zmiennych stanu,

•

Przechowują energię.

Stan układu:

•

Najmniej liczny zbiór wielkości dostarczających ilość informacji, które wystarczają do oceny zachowania się układu (obiektu) w przyszłości czyli jednoznacznie określają zachowanie się układu.

•

Współrzędne wektora stanu w przestrzeni stanów (współrzędne końca wektora stanu);

•

Zbiór liniowo niezależnych wielkości, który:

◦ jednoznacznie określa skutki przeszłych oddziaływań na układ;

◦ jest wystarczający do wyznaczenia zachowania się układu (procesu) w przyszłości.

2) Macierzowe równania obiektu dynamicznego:

Stan dynamiczny układu liniowego i stacjonarnego określa funkcyjny zapis wektorowy:

●

●

X  t= X [ X  t  ,U  t]

Sygnały wyjściowe dynamicznego układu liniowego i stacjonarnego określa funkcyjny zapis wektorowy:

Y  t= Y [ X  t]

Równania różniczkowe odpowiadające powyższym zapisom są następujące:

●

●

X  t= X [ X  t , U  t]

{● X t= a∗ X t... a X t b∗ U t... b∗ U t

1

11

1

1n

n

11

1

1r

r

●

X  t = a ∗ X  t... a X  t  b ∗ U  t... b ∗ U  t 

2

21

1

2n

n

21

1

2r

r

}

........................................................................................

●

X m t= am1∗ X 1 t ... amn X n t bm1∗ U 1 t... bmr∗ U r  t

Y  t= Y [ X  t ]

{ y 1 t= c 11∗ X 1 t... c 1n∗ Xn t

y  t = c ∗ X  t ... c ∗ X  t

2

21

1

2n

n

}

.......................................................

ym t = cm1∗ X 1  t ... cmn∗ X n t

Wprowadzając do powyższych zapisów macierze otrzymujemy uproszczony zapis wektorowo-macierzowy z uwzględnieniem wektorów:

●

X  t , X  t , U  t , Y  t :

●

X  t= A∗ X  t B∗ U  t− równanie stanu ; Y  t= C∗ X  t− równanie wyjścia ; W przypadku układu dynamicznego, gdy sygnały sterujące oddziałują także na sygnały wyjściowe U  t  Y  t , równanie wyjścia ma postać Y  t=[ U  t  , X  t ] . W efekcie pojawia się macierz D i ostatecznie otrzymujemy równania:

●

X  t= A∗ X  t B∗ U  t − równanie stanu ; Y  t = C∗ X  t  D∗ U  t− równanie wyjścia ; gdzie:

A− macierz stanu

B− macierz wejść

C − macierz wyjść

D− macierz D  sorry nie znalazłem nigdzie nazwy 

3) Charakterystyki skokowe – odpowiedź jednostkowa:

Charakterystyka skokowa dynamicznego obiektu liniowego jest to odpowiedź

jednostkowa h(t), która jako sygnał wyjściowy powstaje po wprowadzeniu na wejście obiektu, przy zerowych warunkach początkowych sygnału funkcji jednostkowej y(t)=1(t).

y  t=1  t={0, przyt0}

1, przy t0

Charakterystyka skokowa członu inercyjnego I rzędu wynosi

• w dziedzinie operatorowej

k

1

k

H  s= G  s∗ X  s=

∗ =

1 sT s

s 1 sT 

• w dziedzinie czasu

t

−

h t = k 1− e T ∗1 t  .

Charakterystyka skokowa członu proporcjonalnego wynosi:

• w dziedzinie operatorowej

1

k

H  s= G  s∗ =

,

s

s

• w dziedzinie czasu

h  t= k∗1 t .

Charakterystyka skokowa członu różniczkującego wynosi:

• w dziedzinie operatorowej

H  t= k ,

• w dziedzinie czasu

h  t= k∗ t .

Charakterystyka skokowa członu całkującego wynosi:

• w dziedzinie operatorowej

k

H  s= s 2,

• w dziedzinie czasu

h  t= k∗ t∗1 t .

4) Sterowalność, obserwowalność i stabilność:

Jako podstawę rozważań dotyczących sterowalności i obserwowalności przyjmuje się układ dynamiczny:

•

liniowy;

•

stacjonarny;

•

wielowymiarowy,

opisany równaniem stanu i równaniem wyjścia:

●

X  t= A∗ X  t B∗ U  t − równanie stanu ; Y  t= C∗ X  t  D∗ U  t− równanie wyjścia ; Układ jest sterowalny (całkowicie) gdy:

•

ograniczone przydziałami ciągłe sterowanie U(t) przeprowadza układ z dowolnego stanu początkowego X  t 



0

w chwili t= t 0 do dowolnego stanu końcowego X  tk w chwili t= t

− t =0

k

w skończonym przedziale czasu tk

0

.

Sterowalność oznacza możliwość osiągnięcia dowolnego stanu układu w skończonym czasie za pomocą dopuszczalnego sterowania.

Układy niesterowalne to układy, które są niecałkowicie sterowalne. Układ niecałkowicie sterowalny to układ, który przy określonym doborze zmiennych stanu zawiera takie zmienne stanu, których nie można za pomocą ograniczonego przedziałami ciągłego sterowania przeprowadzić z dowolnej wartości początkowej X  t  do X  t 

i

0

i

k

.

Układ jest obserwowalny (całkowicie) gdy:

•

przy danym dowolnym sterowaniu U(t), istnieje skończona chwila t k , po której, na podstawie znajomości wektora sygnałów wyjściowych Y(t) i wektora sterowania U(t) w przedziale od t do t



0

k

można wyznaczyć stan układu X  t 0 w dowolnej chwili początkowej t0 .

Obserwowalność oznacza, że na podstawie przebiegu sygnału wyjściowego w skończonym przedziale czasu, można określić stan układu w dowolnej chwili tego przedziału.

Własności układów sterowalnych i obserwowalnych:

Układ sterowalny:

•

to układ w którym wektor sygnałów wejściowych oddziałuje na wszystkie zmienne stanu, czyli zapewnia skuteczne sterowanie,

•

zmiana wektora wejść wywołuje różne zmiany każdej współrzędnej stanu.

Układ obserwowalny:

•

to układ w którym istnieją relacje między wszystkimi sygnałami wektora wyjściowego a sygnałami wektora stanu, czyli na podstawie przeprowadzonej w skończonym czasie obserwacji (analizy) sygnałów wyjściowych i sterujących można jednoznacznie określić wektor stanu początkowego,

•

zmiana wektora stanu wywołuje różne zmiany wyjścia czyli musi zachodzić odróżnienie wpływu każdej zmiennej stanu na zmianę obserwowanego wektora wyjść.

Układ niesterowalny:

•

to układ w którym wektor wejść U(t) nie ma wpływu na wszystkie zmienne stanu.

Układzie nieobserwowalny:

•

to układ w którym między dowolnym wektorem wyjść Y(t) nie zachodzą relacje między wszystkimi zmiennymi stanu X(t).

Ocena sterowalności i obserwowalności może być przeprowadzona na podstawie analizy:

•

postaci kanonicznej równania stanu i równania wyjścia,

•

bezpośredniej analizy schematu blokowego.

Ocena sterowalności i obserwowalności (na podstawie analizy postaci kanonicznej równania stanu i równania wyjścia)

Warunek sterowalności:

Warunkiem koniecznym i dostatecznym (wystarczającym) sterowalności jest, aby macierz S=[ B , AB , A 2 B , ... , An−1 B] o n-wierszach i m-kolumnach miała rząd n, czyli n-liniowo niezależnych kolumn.

Warunek obserwowalności:

Warunkiem koniecznym i dostatecznym (wystarczającym) obserwowalności jest, aby macierz: O=[ CACA 2 C ] o wymiarach m x n miała rząd n, czyli zawierała n-liniowo niezależnych wierszy.

⋮

An−1 C

Stabilność układu automatycznej regulacji – niezbędny warunek pracy układu automatycznej regulacji mówiący o tym, że układ po wyprowadzeniu go ze stanu równowagi sam powraca do tego stanu. Ponieważ stan równowagi może być różnie interpretowany stosuje się także definicję stabilności wg Laplace'a która mówi, że układ liniowy jest stabilny, jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie) o ograniczonej wartości jest ograniczona.

5) Podstawowe obiekty dynamiczne i ich charakterystyki:

Wykład 10 z Podstaw Automatyki I, dr hab. inż. Wiesława Zabłockiego:

http://www.it.pw.edu.pl/~zab/wyklad009/wyklad009.htm

6) Wyznaczanie równania macierzowego na podstawie schematu blokowego układu:

●

Dla X  t= A∗ X  t B∗ U  t− równanie stanu ; : Y  t= C∗ X  t− równanie wyjścia ;

●

Dla

X  t= A∗ X  t B∗ U  t − równanie stanu ;

;

Y  t= C∗ X  t  D∗ U  t− równanie wyjścia ;