1. Przeksztaªcenie liniowe L : 3
2
R → R okre±lone jest wzorem L (x, y, z) = (2x, y + z) . Znale¹¢ macierz tego przeksztaªcenia, je±li w 3
2
R i w R zadano odpowiednio bazy (a1, a2, a3) i (b1, b2) , gdzie a1 = (1, 2, 0) , a2 = (1, 1, 0) , a3 = (0, 0, 1) , b1 = (1, 2) , b2 = (0, 1) .
2. Niech
"
#
1
0
2
ML =
(macierz przeksztaªcenia liniowego L) 2
1
0
Znale¹¢ L (1, 0, 2) , je±li w przestrzeniach wektorowych 3
2
R i R przyj¦to bazy jak w poprzednim zadaniu.
3. Rozwa»my przeksztaªcenie L : 4
3
R → R , L (x, y, z, t) = (x + 2z + t, −2x + y − 3z − 5t, x − y + z + 4t) .
Wyznaczy¢ KerL, Im L oraz ich bazy. Poda¢ dim Im L.
4. Wyznaczy¢ macierz X z równo±ci macierzowej
"
#
"
#
"
#
2
1
−3
2
−2
4
· X ·
=
3
2
5
−3
3
−1
5. Stosuj¡c metod¦ Gaussa dobra¢ warto±¢ parametru α w ten sposób, aby ukªad
x
1
+
2x2 −
x3 +
4x4 = 2
2x1 −
x2 +
x3 +
x4 = 1
x1 + 7x2 − 4x3 + 11x4 = α
maiª rozwi¡zanie. Jaka jest wtedy posta¢ rozwi¡zania ?
6. Wyznaczy¢ rz¦dy macierzy A i B, gdzie
1
2
−1
1
a
1
1
1
1
5
1
2
1
1
a
1
1
1
A =
,
B =
4
−1
a
0
1
1
a
1
1
3
a
4
−1
1
1
1
a
1
w zale»no±ci od warto±ci parametru a.
7. Rozwi¡za¢ poni»sze ukªady w zale»no±ci od warto±ci wyst¦puj¡cych w nich parametrów a, α, β ∈ R :
x
+
(a + 1) y
=
5
9x
+
5y
− 8z
=
3
(a + 1) x
+
4y
=
10 ,
αx
+
2y
+
z
=
−1 ,
3x
+
(2a + 1) y
=
12
x
+
3y
− 2z
=
β
x
+
y
+
z
=
1
αx
+
y
+
βz
=
1
αx
+
2y
+
3z
=
3 ,
αβx
+
y
+
z
=
α .
α2x
+
4y
+
9z
=
9
αx
+
βy
+
z
=
1