OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW POJEDYNCZEJ WIELKOŚCI Jeżeli wykonuje się n-krotnie pomiar pojedynczej wielkości X, to przy stosowaniu dostatecznie precyzyjnej i czułej metody pomiarowej, dostaje się w wyniku z reguły n różnych wartości liczbowych. Jeżeli ilość pomiarów jest niewielka (do 30) i nie ma innych przesłanek, to jako najlepszą przyjmuje się średnią arytmetyczną z uzyskanych wyników eksperymentalnych n
∑ xi
x
i 1
=
=
n
gdzie i - numer pomiaru, n - ilość wszystkich pomiarów, xi - wartość i -tego pomiaru Każdy pomiar obarczony jest indywidualnym błędem, który nosi nazwę błędu pozornego pojedynczego pomiaru
v = x − x
i
i
Do oceny błędu pomiarów używa się średniego kwadratowego błędu pojedynczego pomiaru, definiowanego wzorem
n
n
∑ v2
∑ −
i
( x x) 2
i
s
i = 1
i = 1
=
=
x
n − 1
n − 1
Również i obliczona średnia arytmetyczna obarczona jest błędem
s
s
x
=
x
n
Statystyczne opracowanie błędu pomiaru
W sensie statystycznym bardziej poprawny niż obliczony błąd wartości średniej jest przedział
ufności.
Przedziałem ufności nazywa się taki symetryczny przedział wokół wartości średniej, że powinien się w nim znaleźć określony ułamek wyników (określona część wyników).
Ten ułamek nosi nazwę poziomu ufności i oznaczany jest symbolem 1-α. Samo α nazywa się współczynnikiem istotności.
Obliczanie przedziału ufności dla małych i średnich prób - zastosowanie rozkładu Studenta (t-Studenta)
W przypadku małej ilości wyników (do 30) do obliczenia szerokości przedziału ufności najczęściej używany jest rozkład Studenta. Obliczenie przedziału ufności składa się z następujących kroków: 1. założenie określonego poziomu ufności 1-α (lub współczynnika istotności α) 2. określenia ilości stopni swobody rozkładu Studenta (przy opracowaniu pomiarów pojedynczej wielkości ilość stopni swobody rozkładu Studenta wynosi k = n - 1) 3. odczytanie z tablic rozkładu Studenta wartości standaryzowanej funkcji tk, α
(inne określenia: współczynnik rozkładu Studenta, funkcja Studenta, współczynnik Studenta) 4. obliczenie wartość przedziału ufności
s
s t
xSt =
x ⋅ k α
,
Ostateczna odpowiedź ma postać
X = x ± s
xSt
OBLICZANIE BŁĘDÓW (NIEPEWNOŚCI) MAKSYMALNYCH WIELKOŚCI ZŁOśONEJ - metoda różniczki zupełnej funkcji
Metoda ta stosuje się do takich sytuacji, gdy praktycznie wyniki pojedynczych pomiarów wielkości są jednakowe i o dokładności pomiaru decyduje dokładność stosowanego przyrządu i metody pomiarowej
Wielkość złożona u określona jest następująco
u = f ( x , x ,.. x
.
)
1
2
n
gdzie funkcja f jest funkcją ciągłą i różniczkowalną zmiennych niezależnych x , x ,.. x
.
.
1
2
n
Można wykazać, korzystając z rozwinięcia Taylora funkcji f, że maksymalny bezwzględny przyrost wartości funkcji f jest wyrażony wzorem:
f
∂
f
∂
f
∂
u
∆ = f
∆ =
x
∆ +
x
∆ + ......... +
x
∆
1
2
n
x
∂
x
∂
x
∂ n
1
2
Wielkości u
∆ , x
∆ , x
∆
.
, .... x
∆ interpretujemy jako błędy maksymalne odpowiednio wielkości
1
2
n
złożonej u i zmiennych niezależnych x , x ,.. x
.
1
2
n
Zastosowany sposób nazywa się obliczaniem błędu maksymalnego metodą różniczki zupełnej funkcji. Wzór ten w teorii rachunku błędów nosi też nazwę prawa przenoszenia się błędów maksymalnych.
OBLICZANIE BŁĘDÓW (NIEPEWNOŚCI) ŚREDNICH KWADRATOWYCH
WIELKOŚCI ZŁOśONEJ - metoda różniczki zupełnej funkcji Metoda ta z kolei stosuje się do takich sytuacji, gdy wyniki pojedynczych pomiarów wielkości są zróżnicowane, a dla wyników tych wyznaczyć można wartości najlepsze i średnie odchylenia (są to z reguły średnie arytmetyczne i przedziały ufności)
Założenia wstępne do analizy są takie same jak w przypadku błędu maksymalnego.
Błąd średni kwadratowy wartości średniej wielkości złożonej u obliczany jest jako średnia miara kwadratów odchyleń wielkości złożonej w otoczeniu punktu u = f ( x , x ,... x ) , tzn. punktu 1
2
n
odpowiadającego średnim wartościom x ,x ..... x
. .
1
2
n
Błąd ten (dokładniej kres górny błędu) określa wyrażenie
2
2
2
f
∂
f
∂
f
∂
u
∆ =
x
∆ +
x
∆ + ..... +
x
∆
1
2
n
x
∂
x
∂
x
∂
1
2
n
Wielkości ∆ x , ∆ x ,.... ∆ x są błędami (przedziałami ufności) odpowiednio zmiennych 1
2
n
x1, x2....xn.
Zastosowany sposób nazywa się metodą różniczki zupełnej funkcji obliczania błędu wartości średniej.
1. metoda obliczeniowa jest uniwersalna dla wszystkich wielkości złożonych spełniających założenia wstępne
2. metoda może być stosowana dla "mieszanych" błędów, np. z wielu pomiarów średnie wartości masy i objętości z ich przedziałami ufności i pojedynczy pomiar temperatury z błędem maksymalnym
3. obliczony błąd ∆ u nie podlega dalszej "obróbce" z zastosowaniem np. rozkładu Studenta. Błąd ten ma sens statystyczny jeżeli do obliczeń były użyte przedziały ufności.