OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW POJEDYNCZEJ WIELKOŚCI JeŜeli wykonuje się n-krotnie pomiar pojedynczej wielkości X, to przy stosowaniu dostatecznie precyzyjnej i czułej metody pomiarowej, dostaje się w wyniku z reguły n róŜnych wartości liczbowych. JeŜeli ilość pomiarów jest niewielka (do 30) i nie ma innych przesłanek, to jako najlepszą przyjmuje się średnią arytmetyczną z uzyskanych wyników eksperymentalnych n

∑ xi

x

i 1

=

=

n

gdzie i - numer pomiaru, n - ilość wszystkich pomiarów, xi - wartość i -tego pomiaru KaŜdy pomiar obarczony jest indywidualnym błędem, który nosi nazwę błędu pozornego pojedynczego pomiaru

v = x − x

i

i

Do oceny błędu pomiarów uŜywa się średniego kwadratowego błędu pojedynczego pomiaru, definiowanego wzorem

n

n

∑ v2

∑ −

i

( x x) 2

i

s

i = 1

i = 1

=

=

x

n − 1

n − 1

RównieŜ i obliczona średnia arytmetyczna obarczona jest błędem

s

s

x

=

x

n

Statystyczne opracowanie błędu pomiaru

W sensie statystycznym bardziej poprawny niŜ obliczony błąd wartości średniej jest przedział

ufności.

Przedziałem ufności nazywa się taki symetryczny przedział wokół wartości średniej, Ŝe powinien się w nim znaleźć określony ułamek wyników (określona część wyników).

Ten ułamek nosi nazwę poziomu ufności i oznaczany jest symbolem 1-α. Samo α nazywa się współczynnikiem istotności.

Obliczanie przedziału ufności dla małych i średnich prób - zastosowanie rozkładu Studenta (t-Studenta)

W przypadku małej ilości wyników (do 30) do obliczenia szerokości przedziału ufności najczęściej uŜywany jest rozkład Studenta. Obliczenie przedziału ufności składa się z następujących kroków: 1. załoŜenie określonego poziomu ufności 1-α (lub współczynnika istotności α) 2. określenia ilości stopni swobody rozkładu Studenta (przy opracowaniu pomiarów pojedynczej wielkości ilość stopni swobody rozkładu Studenta wynosi k = n - 1) 3. odczytanie z tablic rozkładu Studenta wartości standaryzowanej funkcji tk, α

(inne określenia: współczynnik rozkładu Studenta, funkcja Studenta, współczynnik Studenta) 4. obliczenie wartość przedziału ufności

s

s t

xSt =

x ⋅ k α

,

Ostateczna odpowiedź ma postać

X = x ± s

xSt

OBLICZANIE BŁĘDÓW (NIEPEWNOŚCI) MAKSYMALNYCH WIELKOŚCI ZŁOśONEJ - metoda róŜniczki zupełnej funkcji

Metoda ta stosuje się do takich sytuacji, gdy praktycznie wyniki pojedynczych pomiarów wielkości są jednakowe i o dokładności pomiaru decyduje dokładność stosowanego przyrządu i metody pomiarowej

Wielkość złoŜona u określona jest następująco

u = f ( x , x ,.. x

.

)

1

2

n

gdzie funkcja f jest funkcją ciągłą i róŜniczkowalną zmiennych niezaleŜnych x , x ,.. x

.

.

1

2

n

MoŜna wykazać, korzystając z rozwinięcia Taylora funkcji f, Ŝe maksymalny bezwzględny przyrost wartości funkcji f jest wyraŜony wzorem:

f

∂

f

∂

f

∂

u

∆ = f

∆ =

x

∆ +

x

∆ + ......... +

x

∆

1

2

n

x

∂

x

∂

x

∂ n

1

2

Wielkości u

∆ , x

∆ , x

∆

.

, .... x

∆ interpretujemy jako błędy maksymalne odpowiednio wielkości

1

2

n

złoŜonej u i zmiennych niezaleŜnych x , x ,.. x

.

1

2

n

Zastosowany sposób nazywa się obliczaniem błędu maksymalnego metodą róŜniczki zupełnej funkcji. Wzór ten w teorii rachunku błędów nosi teŜ nazwę prawa przenoszenia się błędów maksymalnych.

OBLICZANIE BŁĘDÓW (NIEPEWNOŚCI) ŚREDNICH KWADRATOWYCH

WIELKOŚCI ZŁOśONEJ - metoda róŜniczki zupełnej funkcji Metoda ta z kolei stosuje się do takich sytuacji, gdy wyniki pojedynczych pomiarów wielkości są zróŜnicowane, a dla wyników tych wyznaczyć moŜna wartości najlepsze i średnie odchylenia (są to z reguły średnie arytmetyczne i przedziały ufności)

ZałoŜenia wstępne do analizy są takie same jak w przypadku błędu maksymalnego.

Błąd średni kwadratowy wartości średniej wielkości złoŜonej u obliczany jest jako średnia miara kwadratów odchyleń wielkości złoŜonej w otoczeniu punktu u = f ( x , x ,... x ) , tzn. punktu 1

2

n

odpowiadającego średnim wartościom x ,x ..... x

. .

1

2

n

Błąd ten (dokładniej kres górny błędu) określa wyraŜenie

2

2

2

 f





∂

f





∂

f



∂

u

∆ =

x



∆  +

x



∆  + ..... +

x

∆

1

2



n 



 x

∂



 x

∂



 x

∂



1

2

n

Wielkości ∆ x , ∆ x ,.... ∆ x są błędami (przedziałami ufności) odpowiednio zmiennych 1

2

n

x1, x2....xn.

Zastosowany sposób nazywa się metodą róŜniczki zupełnej funkcji obliczania błędu wartości średniej.

Uwagi:

1. metoda obliczeniowa jest uniwersalna dla wszystkich wielkości złoŜonych spełniających załoŜenia wstępne

2. metoda moŜe być stosowana dla "mieszanych" błędów, np. z wielu pomiarów średnie wartości masy i objętości z ich przedziałami ufności i pojedynczy pomiar temperatury z błędem maksymalnym

3. obliczony błąd ∆ u nie podlega dalszej "obróbce" z zastosowaniem np. rozkładu Studenta. Błąd ten ma sens statystyczny jeŜeli do obliczeń były uŜyte przedziały ufności.