11. DRGANIA TŁUMIONE I WYMUSZONE (4 strony) DRGANIA TŁUMIONE

Drgania układu na który działa siła tłumiąca proporcjonalna do wartości prędkości, ale dx

przeciwnie skierowana F = −β

(tak jak na przykład siła lepkości) opisuje równanie: r

dt

2

d x

dx

m

= − kx − β

2

dt

dt

po uporządkowaniu przyjmuje postać:

2

d x

dx

2

+

γ +ω x = 0

0

2

dt

dt

gdzie γ = β / m .

Równanie to ma dwa rodzaje rozwiązań, inne dla ω0 > γ/2 ι inne dla ω0 > γ/2.

• W przypadku, gdy ω0 > γ/2 rozwiązanie jest postaci γ t / 2

x =

−

A e

cos( ω γ t + ϕ )

0

0

opisujące drgania o częstości

1

2

2

ωγ = ω − γ ,

0

4

malejącej z czasem amplitudzie

−γ / 2

( )

t

A t = A e

0

i przesunięciu fazowym ϕ0.

Wartości A0 i ϕ0 moŜna wyznaczyć z wartości początkowych wychylenia z połoŜenia równowagi x0 = x(0) oraz prędkości v0 = v(0)

drgania tłumione

11/ 1

• W przypadku gdy ω0 < γ/2

rozwiązanie jest sumą dwóch funkcji wykładniczych

− a t

− a t

x = A e 1 + A e

2

1

2

gdzie

1

1

2

2

α = − γ −

γ − ω

1

0

2

4

oraz

1

1

2

2

α = − γ +

γ − ω

2

0

2

4

Ruch ciała w tym przypadku nie jest okresowy, mówimy, Ŝe jest to ruch aperiodyczny Rozwiązanie typu (a)

występuje gdy v0 jest

przeciwnie skierowane

do x0

oraz v > α x

0

1

0

DRGANIA WYMUSZONE

Drgania wymuszone powstają w układzie pod wpływem zewnętrznego źródła energii o zmieniającym się w czasie natęŜeniu np. drganie membrany głośnika pod wpływem zmiennego pola elektromagnetycznego, drgania obiektu wywołane ruchem podłoŜa, drgania w obwodzie elektrycznym wywołane zmiennym napięciem, drgania ładunków w atomach i cząsteczkach pod wpływem zmiennego pola elektrycznego fali świetlnej.

dx

Równanie drgań wymuszonych siłą F(t) i tłumionych siłą F = −β

jest postaci

r

dt

2

d x

dx

m

= − kx − β

+ F( t)

2

dt

dt

lub w wygodniejszej postaci

d 2 x

dx

2

F

+

γ + ω x

0

=

dt 2

dt

m

11/ 2

gdzie γ = β / m . Podstawiając siłę wymuszającą F = F cos(ω t + ϕ ) otrzymuje się 0

0

rozwiązanie w postaci drgań o tej samej częstości co siła wymuszająca. Wychylenie ciała z połoŜenia równowagi opisywane jest przez funkcję x = x cos( ω t + θ + ϕ ) 0

0

o amplitudzie

F /

0

x =

m

0

([

2

ω − ω

+ γ ω

0

)2

2

2

]122

i przesunięciu fazowym θ danym równaniem γω

tgθ = −

2

2

ω − ω

0

Kąt θ ma wartość ujemną dla wszystkich ω, co odpowiada wychyleniu x opóźnionemu w fazie w stosunku do siły F .

θ

dla β = 0 amplituda x0 = C a róŜnica faz , θ, jest równa 0 lub −π

11/ 3