PRZYKŁAD
2
5x + 2x − 12
Dana jest funkcja f(x)=
w przedziale -15<x<15:
2
x + 7
1. Wyznaczyć pochodną funkcji df(x) 2. Sporządzić tabelki, wspólne wykresy dla x, f(x), df(x) 3. Wykonać przekształcenia symboliczne wykonaj ponownie wykresy 2
5x + 2x − 12
x
:= −
f (x) :=
min
15
2
x + 7
x
:=
max
15
d
df (x) :=
f(x)
dx
−
d2
xmax xmin
d2f (x) :=
f (x)
x := x
,
+
. x
2
min xmin
max
dx
100
6
x =
f (x) =
df (x) = d2f (x) =
-15
4.668
-0.034
-0.00601
-14.7
4.658
-0.036
-0.00646
4
-14.4
4.646
-0.038
-0.00696
f( x)
-14.1
4.635
-0.04
-0.00751
df( x)
-13.8
4.622
-0.043
-0.00811
2
-13.5
4.609
-0.045
-0.00877
d2f ( x)
-13.2
4.595
-0.048
-0.0095
-12.9
4.58
-0.051
-0.01031
0
-12.6
4.564
-0.054
-0.01121
...
...
...
...
− 2− 20
− 10
0
10
20
x
Wyznaczanie pochodnych- przekształcenia symboliczne x := x <--- Ponowna definicja zmiennej "x" wyłącza zdefiniowaną wcześniej zmienną zakresową 2
⋅(
)
10⋅x + 2
2⋅x 5⋅x + 2⋅x − 12
df (x) →
−
2
x + 7
2
(
)2
x + 7
2
2
2
⋅(
)
10
10⋅x + 4⋅x − 24
⋅
5⋅x + 2⋅x − 12
⋅ ⋅(10⋅x + 2)
d2f (x) →
−
8 x
+
4 x
−
2
x + 7
2
(
)2
2
(
)3
2
(
)2
x + 7
x + 7
x + 7
Dana jest funkcja f(x) w przedziale 10<x<20: 1. Wyznaczyć pochodne funkcji df(x), d2f(x) 2. Sporządzić tabelki i wspólny wykres funkcji 3. Wykonać przekształcenia symboliczne wykonaj ponownie wykresy 4. Oblicz współczynnik kierunkowy dla stycznej w wybranym punkcie oraz napisz równanie linii stycznej - wstaw na wykres funkcji razem z x, f(x), df(x)
3 cos(x)
sin(x)
f (x) := 2x ⋅
⋅e
2
x + 11
Wskazówka:
s(x) := df(p) ⋅(x − p) + f(p)
Wynik:
100
f( x)
df( x)
d2f ( x)
0
s(x)
f( p)
− 100
10
12
14
16
18
20
x , x
, x
, x
, p
PRZYKŁAD
Dana jest funkcja g(x) w przedziale 5<x<10: 1. Wyznaczyć całkę funkcji cg(x)
2. Sporządzić tabelki, wspólne wykresy dla x, g(x), cg(x) 3. Wyznacz wartość całki oznaczonej dla wybranego podprzedziału 4. Wykonać przekształcenia symboliczne x
:=
:=
min
5
xmax
10
x
−
max
xmin
x := x
,
+
.
min xmin
x
100
max
3
2
3
g(x) := x − 4⋅x − x ⋅sin(x)
⌠
3
4
3
2
⋅
cg(x) := g(x) dx
→ 6⋅sin(x) + x ⋅cos(x) −
4 x
3⋅x ⋅sin(x) −
x
+
− 6⋅x⋅cos(x)
⌡
3
4
3
1.5×10
x =
g(x) =
cg(x) =
5
144.866
82.697
3
1×10
5.05
148.295
90.027
g( x)
5.1
151.421
97.521
500
5.15
154.22
105.164
cg(x)
5.2
156.669
112.938
0
5.25
158.744
120.825
5.3
160.422
128.805
− 500
...
...
...
5
6
7
8
9
10
x
10
⌠
g(x) dx = 537.9
⌡0
Zadanie 2
2
Dana jest funkcja k(a) = sin(a) cos(a) w przedziale 5<a<10: 1. Wyznaczyć całkę funkcji ck(a)
2. Sporządzić tabelki i wspólne wykresy dla a, k(a), ck(a) 3. Wyznacz wartość całki oznaczonej dla wybranego podprzedzi Wynik:
0.4
0.2
k(a)
0
ck(a)
− 0.2
− 0.4 5
6
7
8
9
10
a
3. Równania różniczkowe I Sposób
"prim" uzyskiuje się przez Ctrl+[F7]
Given
x := 0 , 0
.01 . 50
x⋅1
100⋅y''(x) + 10⋅y'(x) + 101⋅y(x) = 50⋅cos
4
y(0) = 0
y'(0) = 1
y := Odesolve(x , 2
20)
2
1
y(x)
0
− 1
− 2 0
10
20
30
40
50
x
II Sposób
Given
t := 0 , 0
.01 . 15
d2
4⋅
f (t) + f (t) = t
2
dt
f (0) = 4
f (15) = 13.5
f := Odesolve(t , 1
5)
20
15
10
f( t)
5
0
− 5 0
5
10
15
t
Rozwiąż równiania różniczkowe
( ) sin(x)
a) 5⋅
y x
y'(x) +
= 0 dla y(1)=2
2x
2
3
b) −2⋅y'(x) + y(x) = x dla y(1)=1
Wynik
a)
2
1.95
1.9
1.85
1.8 0
5
10
15
20
b)
20
0
− 20
− 40
− 60
− 80
− 100 0
5
10
15
20
4. Upraszczanie i przekształcanie wyrażeń algebraicznych Simplify - upraszczenie wyrażeń 2
c + c − 2
1
simplify → 1 −
(c + 2)⋅c
c
Explicit- podmiana zmiennej y := 2⋅a + 3
y +
2
⋅ + 3
2
2⋅y − 18⋅y explicit , y
2 a
→
+ 2⋅(2⋅a + 3) − 18⋅(2⋅a + 3)
3
3
Substitute-Podstawienie
w +
2
2
⋅
2⋅w − 18⋅w substitute , w
= 2⋅c + 3 → −
634 c
72⋅c −
− 155
3
3
w +
2
1
2⋅w − 18⋅w substitute , w
11
=
→ −
3
3
9
Factor-Postac ilocznynowa
2
x − x − 2 factor → (x + 1) ⋅(x − 2) 3
2
2⋅x − 8⋅x − 3⋅x + 12 factor → (2⋅x − 3) ⋅(x + 2) ⋅(x − 2) Expand -Postac wykładnicza 2
(x + 1) ⋅(x − 2) expand → x − x − 2
3
2
(2⋅x − 3) ⋅(x + 2) ⋅(x − 2) expand → 2⋅x − 3⋅x − 8⋅x + 12
Coeffs-współczynniki wielomianu
12
3
2
−8
2⋅x − 3⋅x − 8⋅x + 12 coeffs → −3
2
Collect- grupowanie wyrazów i wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias 2
2 2
2
2
→ (
) 2
2
3s d + 5s d + 7s⋅d collect , s
5⋅d + 3⋅d ⋅s + 7⋅d ⋅s
Convert to Partial Fraction- przedstawienie wyrażenia jako sumę ułamków prostych (c − 3) ⋅(c + 6)
8
8
parfrac →
−
+ 1
(c − 2) ⋅(c + 5)
7⋅(c + 5)
7⋅(c − 2)
Series-rozwijanie w szereg 3
5
b
sin(b) series → b −
b
+
6
120
3
5
7
9
11
b
sin(b) series , 1
2 → b −
b
+
b
−
b
+
b
−
6
120
5040
362880
39916800
2
−2
(2⋅x − 3) ⋅(x + 2) ⋅(x − 2) solve →
3
2
2
solve
(2⋅x − 3) ⋅(x + 2) ⋅(x − 2)
→ 3
assume , x
> 0
2
solve
2
(2⋅x − 3) ⋅(x + 2) ⋅(x − 2)
→
assume , x
= integer −2
Fully-szczegółowe informacje o rozwiązaniu (7b − 2)x = 1 solve , x
1
→ 7⋅b − 2
2
(7b − 2)x = 1 solve , x
,f
1
ully →
if b ≠
7⋅b − 2
7
2
undefined if b = 7
π
sin(x) = cos(x) solve → 4
sin(x) = cos(x) solve , f
π
ully →
+ π⋅_n if _n ∈ ℤ
4
undefined otherwise
Obliczanie granic funkcji
n
1
5
− 5
lim
→ 0
lim
1 − → e
x → ∞ x
n → ∞
n
x
f (x) := 1 − x
lim
f (x)
+
→ −∞
lim
f (x)
−
→ ∞
x → 1
x → 1
100
50
0.6
0.8
1
1.2
1.4
− 50
− 100
a) Uprościć wyrażenia
2
(
)3
4
3
23 − x
− (5 + 2x) − 2 (x − 4)
2
2
sin (x) + cos (x)
2
3
3
(a − 4⋅b) − (2⋅b + a) − 7⋅a
b) Pogrupować składowe wyrażenia ze względu na "z"
5
2
2
z + 7x⋅z − 100⋅z + 12⋅x + z − (6x − 8z) 2
2
2
(z − 1) ⋅x + z − 4⋅z − (z + 1)
c) W wyrażeniu:
2
3
3
h + h + (h − 1)
4
zastąp zmienną "b" przez wyrażenie "h=6+2c"
Następnie uprość wyrażenie
d) Przedstaw wyrażenie jako sumę ułamków 18⋅x + 40
2
2⋅x − 8x
e) Oblicz granicę oraz przedstaw interpretację graficzną następujących wyrażeń
n
1 − 5
lim
n → ∞
n
x + 4 − 2
lim
x → 0
sin(5⋅x)
Metody rozwiązywania równań Metoda 1
−7
2
v := x − 3x − 7 coeffs → −3
1
−1.541
polyroots(v) =
4.541
Metoda 2
37
3
+
37
3
+
2
2
2
2
2
4.541
x − 3x − 7 = 0 solve →
=
3
37
3
37
−1.541
−
−
2
2
2
2
Metoda 3
Given
2
0 = x − 3x − 7
37
3
37
Find(x) →
+
3 −
2
2
2
2