Zadania
1. Dane są liczby zespolone:
a) 1 = 4, 2 = 6, 3 = −
b) 1 = , 2 = −2, 3 = 1 +
c) 1 = 2, 2 = 2 − 3, 3 = 4 + 3
d) 1 = 3 + 2, 2 = 1 − , 3 = 4 −
Wykonać następujące działania: 2
3
2
1 ∙ 2 , 1 ∙ 2 ∙ 3, 1 ∙ 2, 2 , 1 , 1∙3
.
3
3
2
2. Obliczyć:
a) = 2 − 4
f) = 2 + + 1 − 2
b) = 1 −
g) = 1 + 2
c) = 3 − 3
h) = 1 + + 1 −
d) = 2 + 3
i) = √
√
e) = 1 + + 3 −
1−
3. Obliczyć: 1+−3 gdy jest liczbą naturalną.
4. Wyznaczyć Re z, Im z, , || jeżeli:
a) = 3 + 4
g) = +
b) = 1 +
h) =
!
+
c) = 2 + "
i) = #
d) = −3 − 3 j) = +
"
1
k) =
f) =
l) =
"
5. Wyznaczyć Re$ 1 + 1 − 2 + 2−3%
−2
1+ .
6. Obliczyć wyznaczniki podanych macierzy:
1 1
a) & 2
−2&
h) ' 2 '
1 − 1
2
b) &−1
− 3& i) '4 1 1'
0 2 1
1
c) & −2
1 2&
j) '1 1'
1
0 2
d) &
2& k) '3 4 5'
6 −2
−1 0 2
e) & 3
2 &
l) ' 3 −4 −3'
1 2 −2
1 2
2 2
f) '− 3 1' ł) '
'
2 1
2
2
g) '3 0 '
1 2 1
7. Wykonać działania:
2 1
3 −1
a) &
2
2 −& ∙ &
−
2 −3& d) '3 2' ∙ '− 0 1 '
0 1
2 2 3
1 +
2
1
1 − 1
b) &2 +
1
1
2 + & ∙ & 1
2 +
2 +
1 & e) '
1 − 3 ' ∙ '2 + 4 −1'
1
0
−2 3 − 2 0
c) &1 − 1 +
2 + 2 − & ∙ & 3 − 1 − 2
1 + 2 3 + 2&
2
8. Pokazać, że: =
||2 .
9. Rozwiązać podane równania:
a) ∙ * + − * = 3 + 2
b) + * + − * = 2 − 3
10. Wyznaczyć takie liczby rzeczywiste +, ,-. aby zachodziła równość:
+1+2
a)
+ ,2− = 1
1−21+2
2−2+
b) 1 + + + 3 − , = 2 +
c) 2 + 2+ + 2 − 3, = 3 − 2
d) −1 − 2+ + −3 + 5, = −1 + 3
e) 2 − 2+ + 3 + 42, = 1 − 4
f) 1 + 2+ + 3 − 2, = 2 + 2
2
g) /1−0 + + / 2+ 0 , = 3 + 2
1+
1−2
h) /2+0 + + / 1− 0 , = 2 −
2−
1+3
11. Rozwiązać podane układy równań:
+ + , = 2
2−
1+
a) 1 3 − + + 4 + 2, = 2 + 6 2
2
4 + 2+ − 2 + 3, = 5 + 4
c) 3 2+
+ , = 3
2+
1−
1 + + + 2, − = 2 − 3
b) 1 + + 2 + , = 1 + 2
2
1 + + + , = −1 + 2 d) 33+ + , + 2 − = 6 + 4
4 + + + , + 3 = 6 + 6
12. Obliczyć:
a) = 42 − 2√3
e) = 4−2 + 2√3
b) = √2
f) = √−8
3
d) = √−11 + 60
13. Rozwiązać podane równania:
a) 2 + 4 + 7 = 0
f) 2 + 1 + + 2 = 0
b) 2 − 4 + 5 = 0 g) 2 + 1 + 4 − 5 + = 0
c) 2 + 3 + 3 + = 0
h) 4 − 32 − 2 + 11 − 5 + = 0
d) 2 + 4 + 4 = 0 i) 4 + 52 + 6 = 0
e) 2 + + 2 = 0 j) " + 6 − 16 = 0
14. Wiedząc, że: 1 = 2 /789 : + 9 :0
+ 9 :
: + 9 3 :0
8
8 , 2 = 789 :5
5, 3 = 3 /789 3
10
10
3
2
obliczyć: 1
3
2
1 ∙ 2 , 1 ∙ 2 ∙ 3, 1 ∙ 2, 2 , 1
3 4 , 1∙3
3 .
3
2
15. Przedstawić w postaci trygonometrycznej następujące liczby zespolone: 1, −1, , −, −3, 1 + , 1 − , −1 + , 1 + √3, −1 + √3, −1 − √3 , 1 − √3, √3 − , √3 + ,
−√3 + , −√3 − , 2 − 2√3, √6 + √2 + √6 − √2, 789 ; + 9 ; , 789 ; + 9 ;.
16. Obliczyć:
a) = −1 +
b) = 1 + <<
c) = √3 −
3
3
4
5
6
8
4
3
4
6
8
3
6
17. Obliczyć: √, √, √1, √1, √1, √1, √1, √−4, √−8, √64, √16, √−27, √1 + , √1 + , 4
4 2√3 − 2.
3
20
18. Obliczyć: = >#, =?/1+√30 .
√
1−
4
19. Jakie twory geometryczne określają następujące równania i nierówności: a) || = 2
g) 0 ≤Re ≤ 1
b) | − | < 12 h) 1 ≤ | − 3| < 2
c) | − 2 − | < 2 i) | − 2| − | + 2| = 0
d) | + 2 + 3| ≤ 4 j) | − | = | + |
e) 2 ≤ || ≤ 4 k) &−5& = 1
+1
f) 0 < | − 1| < 1
5