Ćwiczenie z ekonometrii (patrz wykłady z ekonometrii) Programowanie liniowe
ZADANIA
A. Sprowadź do postaci gotowej do obliczeń następujące programy max(4 x + 3 x
1
2 )
x + 2 x ≤ 8
1.
1
2
2 x + x ≤ 3
1
2
x ≥ 0 x ≥ 0
1
2
min(7 x + 6 x
1
2 )
5 x + 4 x ≥ 28
2.
1
2
2 x + 8 x ≥ 24
1
2
x ≥ 0 x ≥ 0
1
2
min( x + 2 x
1
2 )
− 2 x + 3 x ≥ 2
3.
1
2
x ≥ 5
1
x ≥ 0
2
max(3 x + x
1
2 )
4. 2 x + x ≤ 20
1
2
− x + 8 x ≤ 24
1
2
B. Rozwiązać graficznie kaŜdy z programów podanych w zadaniu 1.
C. Wykonać 2 iteracje w metodzie simpleks zastosowanej do kaŜdego z programów podanych w zadaniu A.
D. Uzupełnić tablicę simpleksową tak, aby zawarte w niej rozwiązanie.
1. Nie było optymalne
Wb
C B
Cj 1 C2 2 0
R + K
b
a 1
a 2
a3
a4
10
3
1
2
0
8
-4
0
5
1
C1-Zj
12
1
2. Było jednym z wielu rozwiązań optymalnych. Podać wszystkie.
W b
C B
C j b
a 1
a2
a 3
a 4
R + K
2
1
8
0
6
8
0
4
1
8
C1-Z j
16
3. Było optymalne
C j 3 2 0 0
R + K
W b
C B
b
a 1
a 2
a 3
a 4
6
2
5
0
1
8
1
6
1
0
C j-Z j
Macierze brzegowe i ich ekonometryczne zastosowania Podać z =
−1
xA y gdzie
1.
x = [1 ]
3 2
0
1 ;
A =
; y =
4 5
1
stosując a) tradycyjne postępowanie b) wykorzystując macierze brzegowe 2. Dany jest układ równań
Ax = b
(1)
gdzie A jest nieosobliwą macierzą stopnia n. Zastosować macierz brzegową do wyznaczenia rozwiązania tego układu 3. Znaleźć
x + x
K
+ + x
gdzie
x i
K
= ,12 n
1
2
n
i
stanowią składowe wektora X spełniającego układ (1) wykorzystując do tego celu macierze brzegowe
4. Nie rozwiązując układu (1) podać c x
1 1 + c x K
2
2
+ c x
n
n
2
i
K
= ,12 n są składowymi wektora X
i
zaś
c i
K
= ,12 n są danymi liczbami (wykorzystać do tego celu np. macierz i
brzegową).
Oszacować parametry modelu
y = β x
β
0
0 +
x
1 1 + e
wiedząc, Ŝe
5. 2
Sbo = ,
1 2
2
Sb = 8
,
0
x = 0
y = 2
1
1
n
10 stopni swobody;
∑ x y
t ⋅
t = 8
t 1
−
n
6. y = 5 x = 0 ∑ xt ⋅ yt = 8 det X T X = 5
1
t 1
−
8 stopni swobody
n
7. 2
2
S b = S b
det
T
X x = 80 ∑ x
y
t ⋅
t = 10
0
1
1
t 1
8. Znaleźć det X T X jeŜeli wiadomo, Ŝe 2
S b = 3
1
8 stopni swobody U TU = 16
9. Znaleźć 2
S jeŜeli wiadomo, Ŝe 2
S b = 2
l
1
det X T X = 12 , 8 stopni swobody 10. Oszacować model
l
y = β x
β x
0
0 +
1 1 +
wiedząc, Ŝe
X
X Y
0
1
1 1 2
1 2 3
Q = 1 1 4
1 2 2
1 1 2
11. Podać *
y dla modelu rozpatrywanego w zadaniu 10.
12. Podać wektor
*
U = y − y dla modelu rozpatrywanego w zad. 10.
3
13. Zastosować macierze brzegowe do wyznaczenia 2
ϕ (patrz zad. 10).
14. Zastosować macierze brzegowe do wyznaczania *
y (patrz zad. 10).
15. Zastosować macierze brzegowe do wyznaczania U (patrz zad. 10).
Dany jest model
l
y = β x
β x β x
0
0 +
1 1 +
2
2 +
oraz macierz Q postaci
X
X
X Y
0
1
2
1 −1 1
2
1
2
0
3
Q = 1
0
1
1
1 −1 −1 2
1
0
−1 2
16. Oszacować MNK ten model oraz podać 2
S wykorzystując podejście klasyczne oraz e
macierze brzegowe.
17. Podać y przyjmując, Ŝe v =
6
[ ,1 ,2 5]
6
18. Podać 2
S .
y 6
19. Zastosować macierze brzegowe do wyznaczenia y 6
20. Zastosować macierze brzegowe do wyznaczenia 2
S .
y 6
4