Metody Numeryczne, semestr letni 2013/2014

Lista 4: Aproksymacja

1. Aproksymować funkcję f ( x) = 1 w przedziale [2 , 4] wielomianem stopnia co najwyżej drugiego.

x 2

2. Aproksymować funkcję f ( x) = cos x w przedziale [0 , π ] wielomianem stopnia co najwyżej drugiego.

2

3. Funkcję f ( x) = sin x określoną na przedziale [0 , π ] aproksymować wielomianem stopnia drugiego przy 2

użyciu bazy wielomianów Legendre’a.

4. Funkcję f ( x) =

1

określoną na przedziale [ − 1 , 1] aproksymować wielomianami Legendre’a stopnia 1+ x 2

co najwyżej piątego i oszacować błąd aproksymacji.

5. Funkcję f ( x) = 3 x określoną na przedziale [0 , 1] aproksymować wielomianami Legendre’a stopnia drugiego.

2

x

6. Funkcję f ( x) = xe 2 aproksymować w przedziale ( −∞, ∞) wielomianem stopnia co najwyżej trzeciego przy użyciu bazy wielomianów Hermite’a (z wagą

2

ρ( x) = e−x ).

x

7. Funkcję f ( x) = e 4 aproksymować w przedziale [0 , ∞) wielomianem stopnia co najwyżej drugiego przy użyciu bazy wielomianów Laguerre’a (z wagą ρ( x) = e−x).

8. Funkcję y = f ( x) określoną tablicą x 1 , 5 2 2 , 5

3

y

1

4

7

10

aproksymować wielomianem uogólnionym postaci F ( x) = c 0 + c 1 ex i oszacować błąd aproksymacji.

9. Funkcję y = f ( x) określoną tablicą x

0 , 0

0 , 1

0 , 2

0 , 3

y

1 , 0000 1 , 07177 1 , 1487 1 , 2311

aproksymować wielomianem uogólnionym postaci F ( x) = c 0 + c 1 sin x.

10. Dla funkcji y = f ( x), określonej tablicą x

3

4 7 10

y

− 1

2 3

2

znaleźć wielomian aproksymujący stopnia drugiego.

11. Funkcja y = f ( x) jest określona tablicą (jest to tablica wartości funkcji y = sin x).

x 0

π

π

π

π

6

4

3

2

√

√

y

0

1

2

3

1

2

2

2

Znaleźć wielomian aproksymujący stopnia drugiego.

12. Aproksymować wielomianami ortogonalnymi drugiego stopnia funkcję y = cos x, jeśli dane są jej wartości:

x

0

10 ◦

20 ◦

30 ◦

y

1 , 0000 0 , 9848 0 , 9397 0 , 8660

13. Aproksymować wielomianami ortogonalnymi drugiego stopnia funkcję y = f ( x) wiedząc, że: x 1 1 , 5 2 2 , 5 3

y

2 4 , 5 5 8 , 5 9