Belki statycznie niewyznaczalne 4.4 id 634838

Przykład 4.4. Belka ze skratowaniem

Polecenie: korzystając z metody sił sporządzić wykresy sił przekrojowych w poniŜszej konstrukcji stalowej. Wyznaczyć ugięcie w punkcie B (w połowie rozpiętości belki).

Porównać wyznaczone ugięcie ze strzałką ugięcia dla belki wolnopodpartej (bez skratowania) o tych samych wymiarach i tak samo obciąŜonej. Przyjąć, Ŝe belka wykonana jest z dwuteownika 360, pręty skratowania z dwu kątowników równoramiennych 40x40x4, natęŜenie obciąŜenia wynosi q=10kN/m a wymiar l=1m.

2 l

Rozwiązanie

zadania

rozpoczynamy

obliczenia

stopnia

statycznej

niewyznaczalności układu. W przypadku belki ze skratowaniem korzystamy ze wzoru n = r + 3· z − p − 3

gdzie:

r - liczba składowych reakcji podpór

z - liczba zamkniętych części układu

p - liczba przegubów.

W rozpatrywanym układzie stopień statycznej niewyznaczalności wynosi cztery przeguby pojedyncze

trzy zamknięte części układu

dwa przeguby podwójne

n = 3 + 3·3 − (4 + 2·2)− 3 = 1

MoŜemy równieŜ określić stopień statycznej niewyznaczalności rozpatrywanego układu analizując jego budowę.

PowyŜszy układ, otrzymany przez usunięcie jednego pręta dwuprzegubowego (jednego więzu) ze skratowania rozwiązywanej belki, jest statycznie wyznaczalny i geometrycznie niezmienny. Układ jest zatem jednokrotnie statycznie niewyznaczalny.

Usuwając jeden nadliczbowy więz tworzymy układ podstawowy statycznie wyznaczalny.

Istnieje wiele takich schematów. PoniŜej podano dwa przykłady.

Układy

geometrycznie

niezmienne

Jako układ podstawowy przyjmiemy pierwszy spośród powyŜszych, geometrycznie niezmiennych układów.

Po usunięciu nadliczbowego więzu naleŜy sprawdzić, czy otrzymany układ jest geometrycznie niezmienny. Układ geometrycznie zmienny nie moŜe być układem podstawowym. PoniŜej pokazany jest układ geometrycznie zmienny otrzymany po usunięciu jednego więzu w rozpatrywanej, jednokrotnie statycznie niewyznaczalnej belce ze skratowaniem. Nie moŜna równieŜ przyjąć jako nadliczbowej Ŝadnej z reakcji podporowych, poniewaŜ układ jest zewnętrznie statycznie wyznaczalny.

Układ

geometrycznie

zmienny

PoniŜszy rysunek przedstawia przyjęty do obliczeń układ podstawowy X

Mimo pionowego kierunku obciąŜenia i reakcji na podporach (składowa pozioma na podporze nieprzesuwnej ma wartość równą zero) we wszystkich przekrojach poprzecznych belki siły normalne są róŜne od zera. Wynika to z występowania w skratowaniu krzyŜulców.

Sporządzamy wykresy sił przekrojowych: sił podłuŜnych, sił poprzecznych i momentów gnących dla pręta podlegającego zginaniu od obciąŜenia jednostkową siłę nadliczbową i obciąŜenia zewnętrznego. Wyznaczamy równieŜ siły podłuŜne w prętach skratowania w obu stanach.

Stan X = 1

X = 1

W rozpatrywanym stanie obciąŜeniem są dwa jednostkowe momenty o przeciwnych zwrotach, otrzymamy więc wszystkie składowe reakcji podporowych równe zero. W celu wyznaczenia sił w prętach skratowania naleŜy zapisać równania równowagi dla lewego bądź

prawego podukładu.

III

VIII

VII

SVII

∑ M L = 0 :

1 + S

⋅ l = 0

⇒

= −

VII

∑ PW = 0

−

⋅ S = 0

⇒

S = −

VII

∑ PW = 0

⋅ S = 0

⇒

∑ PL = 0

+ H = 0

⇒

VII

∑ LP

= 0

B +

C = 0

⇒

B = 0

Przy sporządzaniu wykresów sił przekrojowych wykorzystamy symetrię budowy układu i obciąŜenia. Wykresy sił podłuŜnych i momentów gnących mają charakter symetryczny, natomiast wykres sił poprzecznych jest antysymetryczny.

N 1

T 1

M 1

Stan zerowy (obciąŜenie zewnętrzne)

Wyznaczamy reakcje podporowe:

∑ P

ix = 0

⇒

C = 0

∑ M = 0:

R ⋅ l

4 − q ⋅ l

4 ⋅ l

2 = 0

⇒

R = 2 ql

∑ P = 0

V + R − q ⋅ l

4 = 0

⇒

V = 2 ql

W celu wyznaczenia sił w prętach skratowania naleŜy zapisać równania równowagi dla lewego bądź prawego podukładu.

III

2 ql

VIII

2 ql

VII

2 ql

SVII

∑ M L = 0:

⋅ l + q ⋅ l

2 ⋅ l − 2 ql ⋅ l

2 = 0

⇒

= 2 ql

VII

∑ PW = 0

−

⋅ S = 0

⇒

S = 2 2 ql

VII

∑ PW = 0

⋅ S = 0

⇒

= −2 ql

∑ PL = 0

+ H = 0

⇒

= −2 ql

VII

∑ LP

= 0

B +

C − 2

= 0

⇒

B = 0

2 ql

N 0

2 ql

2 2 ql

2 ql

T 0

M 0

Po sporządzeniu wykresów sił przekrojowych w obu stanach moŜna przystąpić do wyznaczenia współczynnika przy niewiadomej (nadliczbowej) oraz wyrazu wolnego w równaniu metody sił. Wartości całek wyznaczymy korzystając ze wzoru Wereszczagina.

Miejsca występowania ekstremów na wykresie momentów oznaczone są kolorem czerwonym. Całkowanie przeprowadzimy w przedziałach od I do IX.









11 = ∑ ∫ M M

1 ds + ∑ ∫ N N

1 ds =

⋅2 ⋅ ⋅1⋅ l ⋅ ⋅1+1⋅ l

2 ⋅ 

1 +

E I

E A

 1 4

4 2

4 3

II , III





I , IV













 



1 1

 1  1





 



⋅ 2 ⋅ −

⋅ −

⋅

2 + 2 ⋅ ⋅ ⋅ l +  −  ⋅  −  ⋅ l

= ⋅

+ 4 ⋅



 



(1+ 2)⋅

EA 

l l



 



 l   l 



3 EI

EA ⋅ l

2 3



1 4

4 2

4 3



VI , VIII

VII



V , IX











1 1

1 2

10 = ∑ ∫ M M

0 ds + ∑ ∫ N N

0 ds =

⋅ − ⋅ ⋅ ql 2 ⋅ l ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ql 2 ⋅ l ⋅ l +

E I

E A

3 2

 1

1 4

4 2

4 3 



I , IV

II , III

















2 

⋅ 2 ⋅ −

⋅



 (2 2 ql)



⋅

2 + 2 ⋅ ⋅ (− 2 ql)





⋅ l + − 



⋅ 2 ql ⋅ l

EA 



l 

 l 



1 4

4 2

4 3



1 4

4 2 4

4 3

VI , VIII





VII

V , IX



ql 3

= −

⋅

− 8⋅ (1+ 2) ql

⋅

12 EI

Równanie metody sił ma postać

δ ⋅ X + δ = 0

Po podstawieniu

8



⋅



⋅ (1+ 2) 1

⋅

⋅ X −

⋅

− 8⋅ +

⋅



(1 2)

3 EI

EA ⋅ l 

12 EI

Rozwiązanie powyŜszego równania jest następujące

ql 3

⋅

+ 8 ⋅ (1+ 2) ql

⋅

δ10 12 I

1 = −

8 l

⋅ + 4 ⋅ (1+ )⋅ 1

3 I

A ⋅ l

Przyjmiemy dane:

- moment bezwładności dla dwuteownika 360: I = 19610 cm4 (wg W. Bogucki, M.

śyburtowicz Tablice do projektowania konstrukcji metalowych, Wyd. 5, Warszawa1984 )

- pole przekroju kątownika równoramiennego 40x40x4: F = 3,08 cm2 (j.w.) Ponadto przyjęto, Ŝe l = 1 m, q = 10 kN/m.

Pręty skratowania złoŜone są z dwóch kątowników, a więc A = 2 F = 6,16 cm2.

−

I = 19610 cm = 1961⋅10 m

−

A = 6 1

, 6 cm = 616 ⋅10

Wartość nadliczbowej wynosi

7 10 kN / m ⋅1 m3

⋅

+ 8⋅ +

⋅

−7

(1 2) 10 kN m 1m

1961⋅10

616 ⋅10−6 m2

X =

= ,

1 m

⋅

+ 4 ⋅ +

⋅

−7

(1 )

11 7260 kNm

3 1961⋅10

616 ⋅10−6 m2 ⋅1 m

Po rozwiązaniu równania metody sił moŜemy wyznaczyć siły przekrojowe N = N ⋅ X + N

T = T ⋅ X + T

M = M ⋅ X + M

Wykresy sił przekrojowych w układzie statycznie niewyznaczalnym q = 10 kN/m

l = 1 m

8,2740

11,7012

8,2740

11,7260 10,0000

1,7260

10,0000

11,7260

6,7260

kNm

11,7260

Polecenie do zadania obejmuje równieŜ wyznaczenie ugięcia w punkcie B. W celu uniknięcia wyznaczania sił przekrojowych od obciąŜenia jednostkową siłą w układzie statycznie niewyznaczalnym, skorzystamy z pierwszego twierdzenia redukcyjnego. Wirtualne obciąŜenie przyłoŜymy w punkcie B w układzie statycznie wyznaczalnym, utworzonym przez usunięcie nadliczbowego więzu (nie musi to być układ podstawowy, przyjęty do wyznaczenia wykresów sił przekrojowych).

Wyznaczenie ugięcia w punkcie B

W przypadku wyznaczania ugięcia w punkcie B naleŜy przyłoŜyć obciąŜenie wirtualne w postaci siły jednostkowej o kierunku pionowym działającej w tym punkcie, a następnie wyznaczyć wykres momentów gnących. W poniŜszym układzie w prętach dwuprzegubowych siły podłuŜne są równe zeru.

(0)

l =

1 l = 1 m

Przed przystąpieniem do wyznaczenia ugięcia w punkcie B wykres momentów gnących od obciąŜenie zewnętrznego w układzie statycznie niewyznaczalnym przedstawimy jako wykresy składowe.

6,7260 kNm

11,7260

M = M ⋅ X + M

M 1· X 1

11,7260 kNm

ql = 5 kNm

M 0

Miejsca występowania ekstremów na wykresie momentów oznaczone są kolorem czerwonym. Całkowanie przeprowadzimy w przedziałach od I do IV.



  1



1 ,

1 7260kNm m

0 , 5m

5kNm m

0 , 5m

B =

⋅  ⋅  ⋅

⋅

⋅ ⋅

− ⋅

⋅

⋅ ⋅

 +

EI   2



1



I , IV



 1

 3



+ 2 ⋅

− ⋅ 5kNm ⋅ m

1 ⋅  ⋅ 0 , 5m +

⋅ ,

1 0m +

⋅ (0 , 5m + ,

1 0m)



⋅ m

1 ⋅1 ,

1 7260kNm =

 3

 4





3

II , III



18 ,

1643 kNm

Przyjmując współczynnik spręŜystości podłuŜnej dla stali węglowej E = 2,09·105MPa otrzymamy ugięcie w punkcie B równe

B =

181

, 643 kNm

181

, 643 kNm

= 4 4

, 319 ⋅

−

10 4

2 0

, 9 ⋅105 MPa ⋅1961⋅

−

10 7 m 4

2 0

, 9 ⋅108 kN/m2 ⋅1961⋅

−

10 7 m 4

= 0,4432mm

Porównamy wyznaczone ugięcie ze strzałką ugięcia dla belki wolnopodpartej (bez skratowania) o tych samych wymiarach i tak samo obciąŜonej.

2 l

Skorzystamy ze znanego wzoru na strzałkę ugięcia dla belki wolnopodpartej obciąŜonej obciąŜeniem ciągłym na całej rozpiętości.

qL 4

f =

⋅

384

10kN/m ⋅ (4m)4

⋅

= 81 , 331⋅10−4 m = 0 8 , 13 m

3 m

384 2 0

, 9 ⋅108 kN/m2 ⋅1961⋅10−7 m4

Wyznaczymy względny ubytek ugięcia po wzmocnieniu belki skratowaniem.

∆

0 8

, 13 m

3 m − 0 4

, 432mm

B =

⋅100 % = 45 5 , %

0 8

, 13 m

3 m

Wynik ten świadczy o znacznym wzroście sztywności konstrukcji.

Obliczymy równieŜ względny przyrost cięŜaru konstrukcji po wzmocnieniu belki (bez uwzględnienia cięŜaru blach węzłowych).

Przyjmiemy dane:

- masa dwuteownika 360: m = 76,2 kg/m (wg W. Bogucki, M. śyburtowicz Tablice do projektowania konstrukcji metalowych, Wyd. 5, Warszawa1984 )

- masa kątownika równoramiennego 40x40x4: m = 2,42 kg/m (j.w.) Ponadto l = 1 m.

Pręty skratowania złoŜone są z dwóch kątowników.

CięŜar belki wolnopodpartej wynosi

G = 4 m ⋅ 76 2

, kG/m = 304 8

, kG = 2 9

, 9 kN .

CięŜar belki ze skratowaniem wynosi

= 4m ⋅ 76 2

, kG/m + 2 ⋅

⋅

+ ⋅

⋅

(2 1m 2 2m 2m) 24 , 2kG/m 3378 , 5kG 33 , 1kN

Względny przyrost cięŜaru belki po wzmocnieniu jej skratowaniem jest równy G

∆

3 31kN − 2 9

, 9kN

⋅100 % = 9 7

, %

3 31kN

ZauwaŜmy, Ŝe po wzmocnieniu belki skratowaniem wystąpił stosunkowo niewielki przyrost cięŜaru konstrukcji w porównaniu do przyrostu jej sztywności.