Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych Gr. 3 rok III
POLITECHNIKA POZNAŃSKA
INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH
ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI
Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metoda sił z wykorzystaniem symetrii i antysymetrii
1
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych Gr. 3 rok III
6 kN/m
10 kN
2EI
EI
EI
4
3
3
PoniewaŜ rama jest symetryczna, do obliczenia nadliczbowych niewiadomych skorzystamy z symetrii i antysymetrii obciąŜenia zewnętrznego. W tym celu tworzymy dwa oddzielne schematy obciąŜenia dające w sumie obciąŜenie dane pierwotnie. Jedno z nich jest symetryczne, drugie antysymetryczne.
W przypadku obciąŜenia symetrycznego wykresy NORMALNEJ i MOMENTU są symetryczne, a wykres TNĄCEJ - antysymetryczny.
5 kN
5 kN
2EI
EI
EI
4
3
3
2
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych Gr. 3 rok III
Do obliczeń bierzemy połowę ramy.
3 kN/m
5 kN
2EI
EI
4
3
STOPIEŃ STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI SSN=5-3=2
1.
PRZYJMUJĘ UKŁAD PODSTAWOWY
3 kN/m
X2
5 kN
X1
2EI
EI
4
WARUNKI
1
∆ = 0
1
1
∆ = 0
2
3
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych Gr. 3 rok III
∆ ( P) + ∆ ( X ) + ∆ ( X ) = 0
1
1
1
1
2
∆ ( P) + ∆ ( X ) + ∆ ( X ) = 0
2
2
1
2
2
GDZIE:
∆ ( X ) = δ X
1
1
11
1
∆ ( X ) = δ X
1
2
12
2
PO PRZEKSZTAŁCENIU:
δ X + δ X + δ
P = 0
11
1
12
2
1
δ X + δ X + δ
P = 0
21
1
22
2
2
δ
ik = ∑ ∫ M M
i
k
EI
X =
2.
STAN
1
1
1
2EI
EI
4
HA
A
MA
RA
3
∑ X : H
A = 1
∑ Y : R
A = 0
∑ M : M
A + 1 ⋅ 4 = 0
A
M
A = −4
4
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych Gr. 3 rok III
X =
3.
WYKRES MOMENTU W STANIE
1
1
M1 [m]
4
4
3
X =
4.
STAN
1
2
1
2EI
EI
4
HA
A
MA
RA
3
∑ X : H
A = 0
∑ Y : R
A = 0
5
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych Gr. 3 rok III
∑ M : M
A + 1 = 0
A
M
A = −1
X =
5.
WYKRES MOMENTU W STANIE
1
2
M2 [m]
1
1
1
4
1
3
6.
STAN P
3 kN/m
5 kN
2EI
EI
4
HA
A
MA
RA
3
∑ X : H
A = −5
∑ Y : R
A = 9
6
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych Gr. 3 rok III
∑ M : M
A − 3 ⋅ 3 ⋅
5
,
1 − 5 ⋅ 4 = 0
A
M
A = 33 5
,
7.
WYKRES MOMENTU W STANIE P
MP [kNm]
13,5
13,5
4
33,5
3
8.
WYZNACZANIE δ
δ
ik = ∑ ∫ M M
i
k
EI
Dla ułatwienia obliczeń korzystam równieŜ ze wzoru Mohra-Wiereszczagina B
∫ f ( x) g( x) dx = S ⋅η
A
1
2
21 3
, 33
δ =
( 5
,
0 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ ⋅ 4) =
11
EI
3
EI
1
1
5
,
5
δ =
1
( ⋅ 3 ⋅ )
1 +
1
( ⋅ 4 ⋅ )
1 =
22
2 EI
EI
EI
1
8
δ =
( 5
,
0 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ )
1 =
12
EI
EI
Zgodnie z twierdzeniem Maxwella
δ = δ
ik
ki
7
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych Gr. 3 rok III
8
δ = δ =
12
21
EI
1
2
− 21 ,
4 664
δ =
[− 5
,
0 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ ( ⋅ 33 5
, + 1/ 3 ⋅13 )
5
, ] =
1 P
EI
3
EI
1
2 3 ⋅ 32
1
10 ,
0 75
δ =
(− 5
,
0 ⋅ 3 ⋅13 5
, ⋅1 +
⋅
⋅3⋅ )
1 +
(− 5
,
0 ⋅ 4 ⋅13 5
, ⋅1 − 5
,
0 ⋅ 4 ⋅ 33 5
, ⋅ )
1 = −
2 P
2 EI
3
8
EI
EI
WYZNACZANIE X1 , X2
21 3
, 33
8
21 ,
4 664
X +
X −
= 0
1
2
EI
EI
EI
8
5
,
5
10 ,
0 75
X +
X −
= 0
1
2
EI
EI
EI
X = 7,017
[ kN ]
1
X = 1
,
8 1
[ kN ]
2
3 kN/m
8,11
5 kN
7,017
2EI
EI
4
∑ X : H = 0,
2 17 kN
A
∑ Y : R = 9 kN
A
∑ M : M = 6,
2 7 k
8 Nm
A
A
8
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych Gr. 3 rok III
MN [kNm]
5,39
5,39
8,11
4
2,678
3
5,39
5,39
5,39
5,39
8,11
4
2,678
2,678
3
3
9
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych Gr. 3 rok III
TN [kN]
9
+
7,017
-
4
7,017
3
9
+
7,017
7,017
-
9
+
-
4
7,017
7,017
3
3
10
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych Gr. 3 rok III
NN [kN]
9
9
-
7,017
7,017
7,017
-
4
9
9
3
3
9
9
-
7,017
7,017
7,017
-
4
9
9
3
3
9.
WYKONUJE SPRAWDZENIE KINEMATYCZNE
( n)
( o)
1 ⋅ δ = ∑ ∫ M M
dx
EI
W tym celu przyjmuję nowy układ podstawowy 11
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych Gr. 3 rok III
3 kN/m
X2
5 kN
HB
2EI
EI
4
HA
X1
RA
3
10. STAN OBCIĄśENIA WIRTUALNEGO W NOWYM UKŁADZIE
PODSTAWOWYM
HB
2EI
EI
4
HA
1
RA
3
∑ M : H
A = − ,
0 25
A
∑ Y : R
A = 0
∑ X : H
B =
,
0
− 25
11. WYKRES MOMENTU W STANIE OBCIĄśENIA WIRTUALNEGO
12
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych Gr. 3 rok III
M [m]
4
1
3
12. OBLICZANIE ZEROWEGO PRZEMIESZCZENIA PUNKTU A
1
1
1
2
,
0 0178
1 ⋅ϕ =
[ 5
,
0 ⋅ 4 ⋅ 3
,
5 9 ⋅ ( ⋅ )
1 −
⋅ 4 ⋅ 6
,
2 78 ⋅
⋅ ]
1 =
A
EI
3
2
3
EI
1
BŁĄD PROCENTOWY
0
,
0 178
5
,
3 897
(
:
) ⋅10 %
0
= ,
0 4 %
9
≈ 0
EI
EI
13
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych Gr. 3 rok III
W przypadku obciąŜenia antysymetrycznego wykresy NORMALNEJ i MOMENTU
są antysymetryczne, a wykres TNĄCEJ - symetryczny.
3 kN/m
5 kN
5 kN
2EI
3 kN/m
EI
EI
4
3
3
Do obliczeń bierzemy połowę ramy.
3 kN/m
5 kN
2EI
EI
4
3
STOPIEŃ STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI SSN=4-3=1
14
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych Gr. 3 rok III
13. PRZYJMUJĘ UKŁAD PODSTAWOWY
3 kN/m
5 kN
2EI
X1
EI
4
3
WARUNKI
1
∆ = 0
1
∆ ( P) + ∆ ( X ) = 0
1
1
1
GDZIE:
∆ ( X ) = δ X
1
1
11
1
PO PRZEKSZTAŁCENIU:
δ X + δ
P = 0
11
1
1
δ
ik = ∑ ∫ M M
i
k
EI
15
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych Gr. 3 rok III
X =
14. STAN
1
1
2EI
1
EI
4
HA
A
MA
RA
3
∑ X : H
A = 0
∑ Y : R
A = −1
∑ M : M
A + 1 ⋅ 3 = 0
A
M
A =
3
−
X =
15. WYKRES MOMENTU W STANIE
1
1
M1 [m]
16
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych Gr. 3 rok III
3
3
4
3
3
16. STAN P
3 kN/m
5 kN
2EI
EI
4
HA
A
MA
RA
3
∑ X : H
A = −5
∑ Y : R
A = 9
∑ M : M
A − 3 ⋅ 3 ⋅
5
,
1 − 5 ⋅ 4 = 0
A
M
A = 33 5
,
17. WYKRES MOMENTU W STANIE P
MP [kNm]
17
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych Gr. 3 rok III
13,5
13,5
4
33,5
3
18. WYZNACZANIE δ
δ
ik = ∑ ∫ M M
i
k
EI
Dla ułatwienia obliczeń korzystam równieŜ ze wzoru Mohra-Wiereszczagina B
∫ f ( x) g( x) dx = S ⋅η
A
1
1
40 5
,
δ =
( 5
,
0 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 2 / 3 ⋅ )
3 +
3
( ⋅ 4 ⋅ )
3 =
11
2 EI
EI
EI
1
3 ⋅ 32
1
− 297 1
, 875
δ =
(− 5
,
0 ⋅ 3 ⋅13 5
, ⋅ 2 / 3 ⋅ 3 + 2 / 3 ⋅
⋅3⋅ 5
,
0 ⋅ )
3 +
(− 5
,
0 ⋅ 4 ⋅13 5
, ⋅ 3 − 5
,
0 ⋅ 4 ⋅ 33 5
, ⋅ )
3 =
1 P
2 EI
8
EI
EI
WYZNACZANIE X1
40 5
,
297 1
, 875
X −
= 0
1
EI
EI
X = 7 3
, 3 [
8 kN ]
1
18
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych Gr. 3 rok III
3 kN/m
5 kN
2EI
7,338
EI
4
3
∑ X : H
A = −5
∑ Y : R
A =
6
,
1 52
∑ M : M
A = 1 ,
1 486
A
19. WYKRESY RAMY STATYCZNIE NIEWYZNACZALNEJ
MN [kNm]
8,514
8,514
4
11,486
3
19
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych Gr. 3 rok III
TN [kN]
1,667
5
-
7,338
+
4
5
3
20
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych Gr. 3 rok III
5
-
5
7,338
+
4
5
5
3
3
NN [kN]
1,667
-
4
1,667
3
21
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych Gr. 3 rok III
1,667
1,667
-
4
1,667
1,667
3
3
20. WYKONUJE SPRAWDZENIE KINEMATYCZNE
W tym celu przyjmuję nowy układ podstawowy 22
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych Gr. 3 rok III
3 kN/m
5 kN
2EI
R
EI
B
4
HA
A
X1
RA
3
21. STAN OBCIĄśENIA WIRTUALNEGO W NOWYM UKŁADZIE
PODSTAWOWYM
2EI
R
EI
B
4
HA
A
1
RA
3
∑ X : H
B = 0
∑
1
M : R
B = −
A
3
23
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych Gr. 3 rok III
∑
1
Y : R
A = 3
WYKRES MOMENTU W STANIE OBCIĄśENIA WIRTUALNEGO
M [m]
1
4
1
3
( n)
( o)
1 ⋅ δ = ∑ ∫ M M
dx
m
EI
1
3 ⋅ 32
1 ⋅ϕ =
(− 5
,
0 ⋅ 3 ⋅ 5
,
8 14 ⋅ 2 / 3 ⋅1 − 2 / 3 ⋅
⋅ 3⋅ 5
,
0 ⋅ )
1
A
2 EI
8
1
,
0 00335
+
(− 5
,
0 ⋅ 4 ⋅ 5
,
8 14 ⋅1 + 5
,
0 ⋅ 4 ⋅1 ,
1 486 ⋅ )
1 = −
EI
EI
BŁĄD PROCENTOWY
0
,
0 0335
9
,
5 44
(
:
) ⋅10 %
0
= 0
,
0 5 %
6
≈ 0
EI
EI
Wykresy w układzie statycznie niewyznaczalnym M [kNm]
24
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych Gr. 3 rok III
13,904
3,124
13,904
3,124
8,11
4
8,808
14,164
3
3
T [kN]
10,667
2,983
-
7,017
7,338
7,338
+
4
2,983
7,017
3
3
N [kN]
25
Hasan Qaraqish, Paweł Wasiniewski Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych Gr. 3 rok III
10 1
, 4
667
4
7,333
-
7,017
7,017
-
4
14
4
3
3
26