Elż bieta Wdowicka, Jacek Wdowicki

Politechnika Poznań ska

Algorytmy sumowania

w metodzie spektrum odpowiedzi

i ich wpływ na obliczaną odpowiedź

budynku wysokiego

Abstract

An evaluation is presented of some of the modal maxima

superposition rules, widely used to estimate the response of

multistorey buildings, subjected to earthquake excitations:

(1) the square root of the sum of the squares (SRSS) method;

(2) the double sum combination (DSC) method;

(3)the complete quadratic combination (CQC) method.

The SRSS method provides good peak response estimates for the

regular building, but gives the poor results for irregular building

with the mass offset from the stiffness centre, in which arise modes with closely spaced periods. It is conclude, that the DSC

and CQC methods provide good response estimates of equivalent

accuracy, for both the regular and irregular building models.

Cel pracy

Celem pracy jest przedstawienie i porównanie, m.in. na podstawie prac [Mai83, Man86], najpowszechniej stosowanych metod

sumowania maksimów modalnych. W szczególności podane zostaną

różnice między metodą pierwiastka kwadratowego ze sumy

kwadratów (ang. square root of the sum of the squares - SRSS) a metodami kompletnej kwadratowej kombinacji (ang. complete

quadratic combination - CQC) oraz kombinacji podwójnych sum (ang.

double sum combination - DSC). Mają one istotne znaczenie w

przypadku układów, dla których występują blisko położone częstości

drgań własnych, jak na przykład budynki o środku masy nie

pokrywającym się ze środkiem sztywności.

Wybrane algorytmy sumowania włączone zostały do systemu

programów komputerowych DAMB dla analizy dynamicznej

ścianowych budynków wielokondygnacyjnych [Wdo91, Wdo93f] .

Metoda pierwiastka kwadratowego

z sumy kwadratów ( SRSS )

Metoda ta, wprowadzona przez Rosenblueth’a [Goo55], jest

dotychczas najszerzej stosowana. Sposób superpozycji jest w niej następujący :

n

R

= ∑ R 2

max

i

i=1

(1)

gdzie :

R max - oszacowanie maksymalnej odpowiedzi wielkości R, Ri - maksymalna odpowiedź wielkości R dla i-tej częstości , n - liczba rozpatrywanych częstości.

Metoda pierwiastka kwadratowego

z sumy kwadratów ( SRSS ) – c.d.

Metoda ta jest zalecana w inżynierii lądowej, przy projektowaniu platform wiertniczych, w normach budowlanych USA, a także w

polskiej normie PN-85/B-02170. Jednakże okazało się, że może ona dawać słabe oszacowania szczytu odpowiedzi dla układów o blisko położonych

częstościach

drgań

własnych

[Kel80,Wil81,Clo93,Chm98]. Sytuacja taka może pojawić się na

przykład w tak zwanych nieregularnych budynkach wysokich

[Mai83], w których środek masy nie pokrywa się ze środkiem

sztywności

układu.

Dla

takich

przypadków

opracowano

przedstawione dalej inne sposoby superpozycji, takie jak metody DSC

i CQC.

Metoda kombinacji podwójnych sum ( DSC )

Metoda ta, zaproponowana [Ros69e, New71] jako udoskonalenie

SRSS w celu bardziej poprawnego uwzględniania blisko położonych

częstości, opiera się na następującej regule sumowania :

n

n

R

= ∑ ∑ R P R

max

i

ij

j

i=1

j=1

(2)

gdzie

1

P =

ij



′ − ′  2

ω ω

i

j

1 + 

 (3)

 β ′ω + β ′ω 

i

j

j

j

Metoda kombinacji podwójnych sum ( DSC ) - c.d.

przy czym

ω

2

′

2

1

β′ i = β i +

i = ω i

− (β i)′

ω

S

(4)

i

przy oznaczeniach:

ω i - i-ta częstość drgań własnych,

β i - ułamek tłumienia krytycznego dla i-tej częstości,

S - czas trwania silnego ruchu ,

Pij - macierz współczynników korelacji międzymodalnej, której

elementy przyjmują wartości z zakresu od 0 do 1.

Można zauważyć, że jeżeli częstości są dobrze oddzielone, to

pozadiagonalne elementy macierzy współczynników korelacji

międzymodalnej są małe i metoda DSC staje się równoważna

metodzie SRSS.

Metoda kompletnej kwadratowej kombinacji (CQC)

Metoda CQC [Der80, Der81b, Wil81] jest kolejnym wariantem

metody superpozycji, odpowiedniej dla przypadku blisko położonych

częstości. Sposób kombinacji odpowiedzi modalnych jest tu opisany

następującymi wzorami :

n

n

R

= ∑ ∑ R P R

max

i

ij

j

i =1

j=1

(5)

gdzie

8

β β ω ω βω + β ω ω ω

i

j

i

j ( i i

j

j )

i

j

P =

ij

(

2

2

ω − 2

ω

+ 4

2

β β ω ω ω + 2

ω + 4 2

β + 2

2

2

β ω ω (6)

i

j )

i

j

i

j ( i

j )

( i j ) i j

Można zauważyć, że dla zerowego tłumienia metoda ta redukuje się do SRSS.

Ponadto, gdy w metodzie DSC czas trwania silnego ruchu S zostanie przyjęty jako równy nieskończoności , to metody DSC i CQC staną się praktycznie identyczne [Mai83].

Porównanie metod

Przedstawione wyżej metody SRSS, DSC i CQC oparte są na teorii

drgań losowych. Prosta postać metody SRSS w porównaniu z DSC i

CQC jest skutkiem dodatkowego założenia, że drgania modalne są

statystycznie

niezależne.

Dzięki

wprowadzeniu

macierzy

współczynników korelacji międzymodalnej Pij metody DSC i CQC

uwzględniają wzajemne wzmocnienie i/lub skasowanie postaci z

blisko położonymi częstościami.

Należy zauważyć, że przy stosowaniu każdej z metod superpozycji

tracony jest znak maksymalnej odpowiedzi. Ponadto, należy pamiętać,

że dla uzyskania najlepszych oszacowań szczytowych wartości

odpowiedzi, kombinacje modalne powinny być przeprowadzane

oddzielnie dla każdej wielkości, która jest rozważana.

Teraz przejść do pliku wyniki-sum-dla-bud-scian.doc

S - środek sztywności,

N

<--> kierunek trzęsienia ziemi

9'-4"

"

'-4

M

9

"

'-739

S

93'-7"

Rys. 1 Rzut

15-kondygnacyjnego

budynku nieregularnego

[Mai83]

M - środek masy,

Tabl. 1. Okresy drgań

3

0.773 pierwsza postać

własnych budynku

skrętna

nieregularnego

4

0.409 druga postać E-W

5

0.390 druga postać N-S

Nume Okres

Dominujący

6

0.278

druga postać

r

[s]

kierunek

skrętna

posta

7

0.238

trzecia postać

ci

E-W

1

1.167 pierwsza postać

8

0.225

trzecia postać

E-W

N-S

2

1.121 pierwsza postać

9

0.166 czwarta postać

N-S

E-W

10 0.165

trzecia postać

skrętna

Rys. 2 Przykładowe

spektra odpowiedzi

Rys. 3 Obwiednia

maksymalnego momentu

skręcającego dla budynku

nieregularnego

Rys. 4 Obwiednie maksymalnej odpowiedzi budynku

nieregularnego dla wymuszenia Pacoima Dam

(odpowiedź w kierunku równoległym do kierunku trzęsienia

ziemi)

Rys. 5 Obwiednie maksymalnej odpowiedzi budynku

nieregularnego dla wymuszenia Pacoima Dam

(odpowiedź w kierunku prostopadłym do kierunku trzęsienia ziemi)

Wnioski

Z przedstawionych analiz wynika, że metoda pierwiastka

kwadratowego z sumy kwadratów SRSS dostarcza dobrych

oszacowań maksymalnych odpowiedzi dla budynków regularnych,

w których środki masy i sztywności pokrywają się, i może być dla

takich konstrukcji zalecana. Natomiast dla budynków

nieregularnych, w których w odpowiedzi dominują sprzężone

postacie drgań z blisko położonymi częstościami drgań, metoda

SRSS o blisko 25% niedoszacowuje odpowiedzi w kierunku

równoległym do trzęsienia ziemi, przez pominięcie wzmocnienia

międzymodalnego, i o ponad 200% przeszacowuje odpowiedzi w

kierunku prostopadłym, na skutek pominięcia międzymodalnego

kasowania.

W takich przypadkach efektywnym sposobem superpozycji

odpowiedzi modalnych może być wykorzystanie macierzy

współczynników korelacji międzymodalnej, jak to ma miejsce w

metodach CQC i DSC. Obie metody dają dobre oszacowania

maksymalnej odpowiedzi w kierunku równoległym do kierunku

trzęsienia ziemi. Odpowiedzi w kierunku prostopadłym, uzyskane

przy wykorzystaniu metody DSC były niedoszacowane, zaś z

metody CQC - przeszacowane, średnio o ok. 25% [Mai83]. Należy

zauważyć, że różnice pomiędzy oszacowaniami odpowiedzi w

kierunku prostopadłym nie są istotne w zastosowaniach

projektowych, ponieważ wartości tych odpowiedzi są znacznie

mniejsze, niż wartości odpowiadających wielkości w kierunku

równoległym. Podsumowując, można stwierdzić, że metody CQC i

DSC mogą być traktowane, jako dające wyniki o równoważnej

dokładności.

Literatura

Chm98. Chmielewski T., Zembaty Z.: Podstawy dynamiki

budowli, Arkady, Warszawa 1998.

Clo93. Clough R.W., Penzien J.: Dynamics of Structures,

McGraw-Hill, New York, 1993.

Der80. Der Kiureghian A.: "Structural response to stationary

excitation", JEMD, 106, EM6 (1980) 1195-1213.

Der81b. Der Kiureghian A.: "A response spectrum method for

random vibration analysis of MDF systems", EESD, 9, 5

(1981) 419-435.

Goo55.

Goodman L.E., Rosenblueth E., Newmark N.M.: "A

seismic design of firmly founded elastic structures", Trans.

ASCE, 120 (1955) 782-802.

Kel80. Kelly J.M., Sackman J.L.: "Conservatism in summation

rules for closely spaced modes", EESD, 8, 1 (1980) 63-74.

Mai83.

Maison B.F., Neuss C.F., Kasai K.: "The comparative

performance of seismic response spectrum combination

rules in building analysis", EESD, 11, 5 (1983) 623-647.

Man86. Manu C.: "Dynamic analysis of structures with closely spaced modes using the response spectrum method", Comp.

Struct. , 22, 3 (1986) 405-412.

New71.

Newmark N.M., Rosenblueth E.: Fundamentals of

Earthquake Engineering,

Prentice-Hall Inc. , Englewood Cliffs, N.Y. 1971.

Ros69e.

Rosenblueth E., Elorduy J.: "Response of linear

system to certain transient disturbances", in: Proc. 4th World Conf. Earthquake Eng. , Santiago, Chile, 1969, vol.1, 185-196.

Wdo91. Wdowicki J., Wdowicka E.: "Integrated system for

analysis of three-dimensional shear wall structures", Comp.

Meth. in Civil Engineering, 1, 3-4 (1991) 53-60.

Wdo93f. Wdowicki J., Wdowicka E.: "DAMB - system

programów do analizy sejsmicznej budynków wysokich

usztywnionych konstrukcjami ścianowymi z nadprożami",

Inż . i Bud. , 50, 1 (1993) 11-13.

Wil81. Wilson E.L., Der Kiureghian A., Bayo E.P.: "A replacement

for the SRSS method in seismic analysis", EESD, 9, (1981) 187-194.