Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Funkcja oprocentowania kapitału 36
2.5. FUNKCJA OPROCENTOWANIA KAPITAA
U
Funkcję k(t) nazywamy funkcją oprocentowania jednostki kapi-
tału, jeżeli dla t"R+ spełnia następujące warunki:
10 k(0)=1,
20 k(t) jest funkcją niemalejącą zmiennej t"R+.
Przykład 2.22.
Dla funkcji oprocentowania jednostki kapitału
1 dla t"< 0,1)
ż#
k(t) = (2.52)
�#
2
�#n +1 dla t"< n,n +1); n"N
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Czas t
Rys.2.9. Wykres funkcji k(t) oprocentowania jednostki kapitału z
przykładu 2.22. (Wersja dyskretna i ciągła)
k(t)
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Funkcja oprocentowania kapitału 37
30 k(t) jest funkcją ciągła zmiennej t"R+.
W konsekwencji przyjęcia warunku 30 funkcja k(t) z przykładu 2.2
przybiera postać:
k(t)= t2 +1 dla t"R+.
W ogólnym przypadku (dla dowolnego kapitału początkowego) funk-
cję tę będziemy nazywać funkcją oprocentowania kapitału.
Funkcję K(t) nazywamy funkcją oprocentowania kapitału, jeżeli
K(t)=K0k(t)
K0 - kapitał początkowy,
k(t) - funkcja oprocentowania jednostki kapitału.
40 k(t) jest funkcją różniczkowalną dla t"R+.
Jeżeli funkcja K(t) jest funkcją oprocentowania kapitału, spełniają-
cą warunki 10 do 40 , to funkcję
2
K(t + h) - K(t) K (t)
�t =lim = dla t"R+ (2.54)
h0
K(t)�"h K(t)
nazywamy funkcją intensywności oprocentowania.
Wobec powyższego różniczka funkcji K(t) przybiera postać:
d K(t) = K(t)�tdt dla t"R+ (2.55)
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Funkcja oprocentowania kapitału 38
50 funkcja �t jest całkowalna w sensie Riemanna
w konsekwencji daje:
n nn
2
K(n) K (t)
ś#
ln�# = dt = dt = (lnK(t))2 dt .
ś# ź#
+"�t +"+"
K(0) k(t)
�# #
0 00
W konsekwencji otrzymujemy:
n
+"� dt
t
0
K(n) = K0 e dla n"N, (2.56)
co po zmianie zmiennych daje:
t
+"� d�
�
0
K(t) = K0 e dla t"R+ (2.57)
K(t) - funkcja oprocentowania kapitału przy założeniu, że spełnio-
ne są warunki 10 do 50,
K0 - początkowa wartość kapitału,
�� - funkcja intensywności oprocentowania kapitału.
Z przeprowadzonego rozumowania wynika, że jeżeli spełnione
są założenia 10 do 50, to ogólną postać funkcji oprocentowania kapita-
łu przedstawia wzór (2.57).
Korzystając z wzoru (2.57), wyznaczymy funkcję K(t) przy za-
łożeniu, że:
a) intensywność oprocentowania jest funkcją stałą,
b) intensywność oprocentowania jest funkcją liniową.
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Funkcja oprocentowania kapitału 39
ad a) Z założenia dla t"R+ �t =�,
t t
więc
+"�d� = �+"d� = �t ,
0 0
a na mocy wzoru (2.57)
K(t) = K0e�t .
�t = �
Dla funkcji stałej funkcja K(t) jest funkcją oprocentowania
złożonego i kapitalizacji ciągłej, rozumianej jako graniczny przy-
padek kapitalizacji niezgodnej.
ad b) Z założenia dla t"R+ �t =��"t ,
t
t t
Ą#� ń# 2
więc
+"� d�=+"��d�= ó# �2 1�t ,
�
Ą#0 =
2 2
0 0
Ł# Ś#
a na mocy wzoru (2.57)
2
1�t
K(t)=K0e2
dla t"R+.
Zakładamy, że interesujący nas okres czasu o długości n okresów ba-
zowych można podzielić na m części następujących po sobie ciągów
okresów bazowych zawierających odpowiednio { n1, n2, . . . ,nm}
m
elementów, tak, że: n = nk .
"
k=1
Zakładamy również, że w każdej z tych m części stopa procentowa,
stopa dyskontowa oraz intensywność oprocentowania są stałe i wyno-
szą odpowiednio w każdej części: { i1, i2, . . . ,im}, { d1, d2, . . . ,dm},
{ �1, �2, . . . , �m}.
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Funkcja oprocentowania kapitału 40
Przyjmując zapisane wyżej założenia i oznaczenia oraz uwzględ-
niając wprowadzone wcześniej zasady liczenia procentu dla wyzna-
czenia końcowej wartości kapitału Kn ,LniKc , otrzymujemy wzory:
n
- procent prosty
m
Kn = K0 �#1+ nkik ś# , (2.58)
ś# " ź#
k=1
�# #
- procent złożony, kapitalizacja z dołu
m
nk
Kn = K0 (1+ik ) , (2.59)
"
k=1
- procent złożony, kapitalizacja z góry
m
-nk
Ln =L0 (1-dk ) , (2.60)
"
k=1
- procent złożony, kapitalizacja ciągła
m
m �knk
"
k k=1
Kc =K0
"1e� nk =K0e , (2.61)
n
k=
m
ak =a1 + a2 +...+ am - (suma m składników),
"
k=1
m
"a =a1 �"a2 �"...�"am - (iloczyn m czynników).
k
k=1
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Funkcja oprocentowania kapitału 41
Średnią stopą procentową w przedziale czasu (0,n) nazywamy ta-
ką bazową stopę procentową iśr, przy której kapitał początkowy K0
osiąga taką samą wartość końcową Kn, jaką osiąga w tym przedzia-
le czasu przy zróżnicowanych przedziałami stałych stopach procen-
towych { i1, i2, . . . ,im}.
Średnią stopą dyskontową w przedziale czasu (0,n) nazywamy ta-
ką bazową stopę dyskontową dśr, przy której kapitał początkowy K0
osiąga taką samą wartość końcową Kn, jaką osiąga w tym przedzia-
le czasu przy zróżnicowanych przedziałami stałych stopach dys-
kontowych { d1, d2, . . . ,dm}.
Średnią intensywność oprocentowania w przedziale czasu (0,n)
nazywamy taką bazową intensywność oprocentowania �śr, przy
której kapitał początkowy K0 osiąga taką samą wartość końcową
Kn, jaką osiąga w tym przedziale czasu przy zróżnicowanych prze-
działami stałych intensywnościach oprocentowania {�1, �2, . . ,�m}.
W konsekwencji wyżej zapisanych definicji oraz z uwagi na wzory
(2.58) do (2.61) mamy:
- procent prosty
m
1
iśr = nkik , (2.62)
"
n
k=1
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Funkcja oprocentowania kapitału 42
- procent złożony, kapitalizacja z dołu
m
nk
n
iśr = (1+ik ) -1 , (2.63)
"
k=1
- procent złożony, kapitalizacja z góry
m
nk
dśr =1-n (1-dk ) , (2.64)
"
k=1
- procent złożony, kapitalizacja ciągła
m
1
�śr = �knk , (2.65)
"
n k=1
iśr - średnia stopa procentowa,
dśr - średnia stopa dyskontowa,
�śr - średnia intensywność oprocentowania.
Przykład 2.24.
Efektywna stopa oprocentowania depozytów złotowych w ostatnich
czterech latach wynosiła:
i1= 24% ; i2= 22% ; i3= 20% ; i4= 18%.
Wyznaczyć średnią roczną efektywną stopę oprocentowania depozy-
tów złotowych.
Po podstawieniu danych do wzoru (2.63) mamy:
4
iśr = (1,24)�"(1,22)�"(1,2)�"(1,18) -1H" 0,02098.
Średnie efektywne oprocentowanie depozytów złotowych w ostatnich
czterech latach wynosiło 20,98% rocznie.
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Funkcja oprocentowania kapitału 43
Stosując definicję średniej intensywności oprocentowania do
ogólnej postaci funkcji oprocentowania kapitału (por. wzór 2.57),
otrzymujemy wzór dla obliczania średniej intensywności oprocento-
wania w przedziale (0,t)
t
�śr =1 d� .
+"� (2.66)
�
t
0
2.6. RACHUNEK CZASU
Metoda dokładna
Dokładną liczbę dni oblicza się, licząc dni między datą początkową
i końcową z pominięciem dnia początkowego.
Metoda przybliżona
Przybliżoną liczbę dni oblicza się licząc dni między datą początko-
wą i końcową przy założeniu, że miesiąc bankowy ma 30 dni a rok
bankowy 360 dni.
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Rachunek czasu 44
Przykład 2.25. Obliczyć dokładną liczbę dni pomiędzy datami
3 maja 1998r i 11 listopada 1998r.
Z kalendarza numerów dni w roku (patrz dodatek C) odczytu-
jemy numery dni podanych w przykładzie.
3 maja 1998r 123 dzień w roku
11 listopada 1998r 315 dzień w roku
Dokładna liczba dni pomiędzy powyższymi datami wynosi
315-123=192 dni.
Przykład 2.26. (por. przykład 2.25)
Obliczyć przybliżoną liczbę dni pomiędzy datami 3 maja 1998 r i 11
listopada 1998r.
W celu obliczenia przybliżonej liczby dni pomiędzy datami
podanymi w przykładzie wyróżniamy w danym okresie czasu trzy
podokresy:
podokres 1  okres od 3 maja do końca maja, który trwa 30-3=27 dni,
podokres 2  okres pełnych miesięcy pomiędzy majem a listopadem,
który trwa 5x 30=150 dni,
podokres 3  okres od 1 listopada do 11 listopada, który trwa 11 dni.
Sumując czas trwania wszystkich trzech podokresów, otrzymu-
jemy przybliżoną liczbę dni pomiędzy datą 3 maja 1998r a datą 11
listopada 1998r tj.
27 + 150 + 11 = 188 dni. (por. przykład 2.25)
Oczywista jest różnica pomiędzy dokładną (192) a przybliżoną liczbą
dni (188) pomiędzy rozważanymi datami.
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Rachunek czasu 45
Przybliżoną liczbę dni pomiędzy dwiema datami możemy również
wyznaczyć, korzystając ze wzoru:
360 (R - R1) +30 (M2 - M1) + (D2 - D1) , (2.67)
2
R1 - rok daty początkowej,
R2 - rok daty końcowej,
M1 - miesiąc daty początkowej,
M2 - miesiąc daty końcowej,
D1 - dzień daty początkowej,
D2 - dzień daty końcowej.
Korzystając z wzoru (2.67), po podstawieniu danych z przykładu
(2.26) otrzymujemy: 360(1998-1998) + 30(11-5) + (11-3) = 188dni.
Lata kalendarzowe
Liczbę lat kalendarzowych pomiędzy dwiema datami obliczamy,
dzieląc liczbę dni pomiędzy tymi datami przez 365.
Lata bankowe
Liczbę lat bankowych pomiędzy dwiema datami obliczamy, dzie-
ląc liczbę dni pomiędzy tymi datami przez 360.
Przedstawione sposoby liczenia liczby dni między dwiema dowolny-
mi datami oraz zamiany liczby dni na liczbę lat wyznaczają cztery re-
guły obliczania czasu.
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Rachunek czasu 46
Tabela 2.8. Reguły obliczania czasu
Dni
Dokładna liczba dni Przybliżona liczba dni
Lata
Procent dokładny Reguła przybliżona
Kalendarzowe
(dokładna /365) (30 /365)
Reguła bankowa Procent zwykły
Bankowe
(dokładna /360) (30/360)
Przykład 2.27.
Posługując się regułami wymienionymi w tabeli 2.8, obliczyć czas w
latach pomiędzy datami 3 maja 1998r a 11 listopada 1998r.
Dokładna i przybliżona liczba dni pomiędzy wymienionymi datami
została policzona w przykładach (2.25) i (2.26). Korzystając z wyni-
ków obliczeń oraz reguł z tabeli 2.8, otrzymujemy:
" reguła dokładna (dokładna /365)
l1 = 192/365 H" 0,5260 lat kalendarzowych,
" reguła przybliżona (30/365)
l2 = 188/365 H" 0,5150 lat kalendarzowych,
" reguła bankowa (dokładna /360)
l3 = 192/360 H" 0,53(3) lata bankowe,
" reguła zwykła (30/360)
l4 = 188/360 H" 0,52(2) lata bankowe.
Prof. dr hab. Piotr Chrzan MATEMATYKA FINANSOWA
Wykład 2. PROCENT ZA
OŻONY. Rachunek czasu 47
Analizując wyniki obliczeń z przykładu (2.27), nie trudno się jest
domyśleć, że wielkość procentu od wartości pożyczonego kapitału
K0, należnego za okres między dwiema ustalonymi datami, będzie za-
leżała od sposobu liczenia czasu między tymi datami. Fakt ten ilustru-
jemy w kolejnym przykładzie.
Przykład 2.28.
Obliczyć procent prosty należny za okres pomiędzy 3 maja 1998r a
11 listopada 1998r od 100 zł, przyjmując roczną stopę procentową
i=0,26.
W konsekwencji obliczeń otrzymanych w poprzednich przykładach
mamy:
Procent dokładny (dokładna /365)
I1 =100�"192 �"0,26H"13,68zł
365
Procent obliczony zgodnie z regułą przybliżoną (30/365)
I2 =100�"188 �"0,26H"13,39zł
365
Procent obliczony zgodnie z regułą bankową (dokładna /360)
I3 =100�"192 �"0,26H"13,87 zł
360
Procent zwykły (30 /360)
I4 =100�"188 �"0,26H"13,58zł
360