Zagadnienie brzegowe klasycznej teorii sprężystości
Możliwe sformułowania  ze względu na wielkości zadane na powierzchni ograniczającej dany obiekt:
1) zadane przemieszczenia  przemieszczeniowe warunki brzegowe,
2) zadane naprężenia  naprężeniowe warunki brzegowe,
3) zadane przemieszczenia i naprężenia  mieszane warunki brzegowe.
Przypadek przemieszczeniowych warunków brzegowych  znanych funkcji ui = ui x1, x2, x3 na brzegu danego
( )
obiektu
Komplet równań podstawowych Teorii Sprężystości sprowadzony do układu równań z niewiadomymi
przemieszczeniowymi ui = ui x1, x2, x3  równaniami Naviera - Cauchy.
( )
Punkt wyjścia: równania konstytutywne liniowo-sprężyste:
�ij = �ij�kk + 2��ij
Podstawienie: związki geometryczne
1
�ij = ui, j + uj,i , �kk = uk ,k
( )
2
Otrzymujemy:
�ij = �ijuk ,k + � ui, j + uj,i
( )
Obliczenie:
�ij, j = �ijuk ,kj + � ui, jj + uj, ji = uk ,ki + � ui, jj + uj, ji =
( ) ( )
= �ui, jj +  + � uj, ji
( )
Podstawienie do równania równowagi:
�ij, j + �bi = 0
daje
�ui, jj +  + � uj, ji + �bi = 0
( )
 trzy równania różniczkowe cząstkowe z niewiadomymi funkcjami ui x1, x2, x3
( )
Zapis absolutny
�"u +  + � grad divu + �b = 0
( )
%� %� %� %�
"2ui "2ui "2ui
gdzie "u = "2u = ui, jj = ui,11 + ui,22 + ui,33 = + + = ai
2 2 2
%� %� "x1 "x2 "x3
 wektor
divu = uj, j = u1,1 + u2,2 + u3,3  liczba
%�
grad divu = uj, ji = u1,1i + u2,2i + u3,3i = ci  wektor
%�
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 1
TEORIA PA
YT CIENKICH
Powierzchnie ograniczające  górna i dolna,
Powierzchnia środkowa  równoległa do obu
Płyta  obciążenie q x1, x2 zawsze prostopadłe do powierzchni środkowej.
( )
%�
L
Płyta cienka: warunek h =� L ( h < )
5
h  wysokość płyty
L  mniejszy wymiar charakterystyczny w planie
Założenie małych przemieszczeń ui x1, x2, x3 =� h, i = 1,2,3
( )
Praktycznie spełnione w zagadnieniach inżynierii lądowej
Założenia w teorii płyt cienkich:
1) założenie kinematyczne Kirchhoffa, odpowiednik założenia Bernoulliego w teorii belek: punkty leżące na
prostej prostopadłej do powierzchni środkowej, po odkształceniu znajdują się na prostej prostopadłej do
ugiętej powierzchni płyty (ściśle: na prostopadłej do płaszczyzny stycznej)
2) założenie o stanie naprężenia: w równaniach konstytutywnych materiału płyty przyjmujemy warunki PSN,
hh
tj. �i3 = 0 w całym obszarze - d" x3 d" .
22
Oznaczenia przemieszczeń punktów powierzchni środkowej płyty
u1 x1, x2,0 a" u x1, x2 �ł
( ) ( )
- stan tarczowy
u2 x1, x2,0 a" v x1, x2 żł
( ) ( )
�ł
 przemieszczenia pomijane w teorii płyt
u3 x1, x2,0 a" w x1, x2  ugięcie płyty  podstawowa niewiadoma
( ) ( )
teorii płyt
Zadaniem jest wyprowadzenie równania różniczkowego płyty z niewiadomą funkcją ugięcia w x1, x2 .
( )
Równanie to ma wiązać ze sobą relacje konstytutywne, związki geometryczne i równania równowagi.
Składowe wektora przemieszczenia u a" ui x1, x2, x3 dowolnego punktu płyty:
( )
%�
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 2
"w
ńłu x1, x2, x3 = u x1, x2 - x3 x1, x2
( ) ( ) ( )
1
�ł
"x1
�ł
"w
�łu x1, x2, x3 = v x1, x2 - x3 x1, x2
( ) ( ) ( )
�ł
2
"x2
�ł
�łu3 x1, x2, x3 = w x1, x2
( ) ( )
�ł
ół
Związki geometryczne w płaskim stanie naprężenia:
ńł
"u1 "u "2w
�ł�11 = = - x3 2 = u,1 - x3w,11 H"-x3w,11
"x1 "x1 "x1
�ł
�ł
"u2 "v "2w
�ł
�ł� = = - x3 2 = v,2 - x3w,22 H"-x3w,22
22
"x2 "x2 "x2
�ł
�ł
�ł�ł
1 "u1 "u2 1
�ł
�12 = + = u,2 + v,1 - x3w,12 H"-x3w,12
( )
�ł
2 "x2 "x1 �ł 2
�ł
�łłł
ół
u,i H" 0 , v,i H" 0 ( u, v  przemieszczenia stanu tarczowego)
Równania konstytutywne  materiał sprężysty, jednorodny, izotropowy, stałe E , �
EE
ńł� = �11 +��22 = - x3 w,11 +� w,22
( )
( )
11
22
�ł
1-� 1-�
�ł
EE
�ł
( )
( )
�ł� = 2 �22 +��11 = - 2 x3 w,22 +� w,11
22
1-� 1-�
�ł
EE
�ł
�ł�12 = 1+� �12 = -1+� x3w,12
ół
Równania równowagi
�ij, j + �bi = 0
jak dla stanu przestrzennego
w płytach wielkości �i3 (i = 1,2,3) są o kilka rzędów mniejsze niż składowe �ij (i, j = 1,2) ,
pochodne wszystkich składowych są jednak ze sobą porównywalne.
Zestawienie powyższych związków: równanie różniczkowe płyty (niewiadoma funkcja w )
q x1, x2
"4w "4w "4w ( )
+ 2 + =
4 2 2 4
"x1 "x1 "x2 "x2 D
q x1, x2
( )
w,1111 + 2w,1122 + w,2222 =
D
Eh3
D =  sztywność płytowa
2
12 1-�
( )
Zapis operatorowy
q
"4w= " "w =
( )
D
q
inaczej "G = , G = "w
D
Definicje sił przekrojowych w płytach (siły wewnętrzne na jednostkę długości)
" momenty zginające i skręcające
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 3
�ł�ł
"2w "2w
M11 = -D�ł 2 +� = -D w,11 +� w,22
( )
2
"x1 "x2 �ł
�łłł
�ł�ł
"2w "2w
M22 = -D�ł 2 +� = -D w,22 +� w,11
( )
2
"x2 "x1 �ł
�łłł
"2w
M12 = M21 = -( )
1-� D = -( )
1-� Dw,12
"x1"x2
" Siły tnące (poprzeczne)
"
Q1 = -D "w
( )
"x1
"
Q2 = -D "w
( )
"x2
można także zapisać
"M11 "M12
Q1 = + , itd.
"x1 "x1
" Siły normalne i styczne [kN/m]
 charakterystyczne dla stanu tarczowego
Matematyczne definicje sil przekrojowych (jako wypadkowe naprężeń)
" momenty płytowe  zginające i skręcające  z definicji (porównanie - zginanie belek M = zdA )
+"�
A
h/2
Mą� x1, x2 = �ą� x3dx3 a"M�ą ( )
x1, x2
( )
+"
-h/2
 z symetrii tensora naprężeń (ą, � = 1, 2 )
" Siły tnące płytowe
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 4
h/2
x1, x2 = �ą 3dx3
Qą ( )
+"
-h/2
" Siły normalne i styczne
h/2
Ną� x1, x2 = �ą� dx3 = N�ą ( )
x1, x2
( )
+"
-h/2
Obciążenie można wyrazić równaniem
q = �33 x3 = h / 2 -�33 x3 = -h / 2
( ) ( )
Paraboliczny przebieg naprężeń stycznych �ą 3 = 1,2 :
(ą )
3 Q1 3 Q2
max�13 = , max�23 =
2 h 2 h
 równanie równowagi:
�11,1 +�21,1 +�31,3 = 0 (brak sił masowych)
stąd
�31,3 = -�11,1 -�21,1
(prawa strona jest liniowa funkcją zmiennej x3 ),
Przez całkowanie �31 jako funkcja zmiennej x3 stopnia drugiego
Zachodzi zależność:
�i3 =� �ą� , i = 1,2,3, ą = 1,2
Warunki brzegowe:
Siły brzegowe: przemieszczenia brzegowe:
ugięcie w
moment zginający Mnn
kąt obrotu �n
moment skręcający Mns
siła poprzeczna Qn
Pięć niewidomych równania płyt,
rząd równania różniczkowego  czwarty
Warunki brzegowe mogą zawierać cztery niezależne wielkości  dwie geometryczne, dwie statyczne.
Redukcja sił brzegowych do dwóch  zastępcza siła poprzeczna na brzegu
"Mns
Vn = Qn +
"s
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 5
Uzasadnienie (brzeg prostoliniowy).
Siła poprzeczna, równoważna działaniu momentu skręcającego M12 obliczona na jednostkę długości brzegu
wynosi "M12 / "x2 .
Stąd całkowita zastępcza siła poprzeczna
(łączne działanie siły Q1 i momentu skręcającego M12 )
"M12
V1 = Q1 +
"x2
Uwaga: w narożu prostokątnym występuje reakcja
R = 2M12 [kN / m]
(płyty żelbetowe krzyżowo zbrojone  dodatkowe zbrojenie dwukierunkowe w narożu)
Sposób podparcia płyt (warunki brzegowe)  układ kartezjański
Swobodne podparcie Utwierdzenie Swobodny brzeg
w = 0 w = 0 M11 = 0
ńł ńł ńł
x1 = 0:�ł
x1 = 0:�łM = 0 �! w,11 = 0 x1 = 0: �łw = 0
v1 = 0
11 ,1 ół
ół ół
M22 = 0
w = 0 w = 0 ńł
ńł ńł
x1 = 0:�ł
x2 = 0:�łM = 0 �! w,22 = 0 x2 = 0: �łw = 0
v2 = 0
ół
22 ,2
ół ół
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 6
RÓWNANIA TEORII PA
YT W UKA
ADZIE BIEGUNOWYM
Siły wewnętrzne płytowe w układzie biegunowym są wypadkowymi naprężeń:
�rr,��� , �r� = ��r,�3r ,�3�
Siły wewnętrzne w układzie biegunowym:
Mrr  moment zginający radialny (promieniowy)
M��  moment zginający obwodowy
Mr� = M�r  momenty skręcające
Qr, Q�  siły tnące (poprzeczne)
Siły wewnętrzne wyrażone poprzez ugięcie: w r, � = w�łr x1, x2 , � x1, x2 łł
( ) ( ) ( )�ł
�ł
Przyjmując kierunek radialny � = 0 pokrywający się z osią x1, mamy
( )
�ł"2w 1 "w 1 "2w łł
�ł�ł
Mrr = M11 � =0 = -D w,11 +� w,22 � =0 = -D +� +
( )
�ł
"r12 �ł r "r r2 "�2 �łśł
�łłł
�ł�ł
�łłł
1 "w 1 "2w "2w
M�� = M22 � =0 = -D w,22 +� w,11 � =0 = -D + +�
( )
�ł
r "r r2 "�2 "r2 śł
�ł�ł
" �ł 1 "w �ł
Mr� = M�r = M12 � =0 = -D 1-� w,12 �=0 = -D 1-�
( ) ( )
�ł �ł
"r r "�
�ł łł
" "2w 1 "w 1 "2w
Qr = -D "w gdzie "w = + +
( )
"r "r2 r "r r2 "�2
1 "
Q� = -D "w
( )
r "�
Równanie płyty
q r, �
( )
" "w r, � =
( )
( )
D
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 7
PA
YTY  PRZYPADEK OBROTOWOSYMETRYCZNY
Gdy własności geometryczne, obciążenie i warunki brzegowe płyty spełniają warunek obrotowej symetrii,
równanie różniczkowe płyty staje się równaniem różniczkowym zwyczajnym względem zmiennej r
q r
( )
"4w r = " "w r =
( ) ( )
( )
D
"2w 1 "w 1 " "w
�ł �ł
"w = + = r
�ł �ł
"r2 r "r r "r "r
�ł łł
Siły wewnętrzne:
�ł�ł
"2w 1 "w
Mrr = -D�ł +�
�ł
"r2 r "r
�łłł
�ł�ł
1 "w "2w
M�� = -D�ł +�
r "r "r2 �ł
�łłł
Mr� = M�r = 0
�ł�ł
" " "2w 1 "w
Qr = -D "w = -D +
( )
�ł�ł
"r "r "r2 r "r
�łłł
Q� = 0
Zastępcza siła poprzeczna Vr jest zawsze równa sile Qr
Przekształcenie równania różniczkowego płyty:
q r
( ) 1 " "g�
�ł �ł
" "w r = , " g� = r
( )
( ) ( )
�ł �ł
D r "r "r
�ł łł
�ł�ł q r
1 " " " "w łł
�ł1 ( )
�ł �ł
r
�ł
�łr �ł r �łśł �ł = D
r "r "r "r "r�ł
�ł łł
�ł
�łłł
Inna forma
1 " "w
�ł �ł
"G = 0 , gdzie G = "w = r
�ł �ł
r "r "r
�ł łł
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 8