5. PODSTAWOWE RÓWNANIA TEORII SPR
śYSTOŚCI
5.1. Dane są składowe stanu naprę\
enia:
a) Ãxx = a , Ãyy = -a , Ãzz = Ãzx = Ãxy = Ãzy = 0 .
Znalez
ć maksymalne naprę\
enie styczne i jego kierunek.
b) Ãxz = a , Ãyz = -a , Ãxx = Ãyy = Ãzz = Ãxy = 0 .
Znalez
ć naprę\
enia główne.
Dla obu przypadków naszkicować koła Mohra i obliczyć naprę\
enia wg hipotezy
Tresci-Guesta (T-G) i Hubera-Misesa-Hencky ego (H-M-H).
5.2. Dla pręta pryzmatycznego rozciąganego naprę\
eniem Ãx wyznaczyć naprÄ™\
enie
normalne i styczne w przekroju ukośnym obróconym o kąt ą w stosunku do osi
pręta, Rys. 5.2.
Rys.5.2
5.3. Płaska tarcza kwadratowa o boku a, składająca
się z dwóch części połączonych spoiną,
obciÄ…\
ona jest w dwóch kierunkach, rys.5.3.
Określić siłę ścinającą spoinę oraz siłę
rozciągającą spoinę jeśli grubość tarczy wynosi
g. Dane: p, a, g, Ä… = Ä„ / 6 .
Rys.5.3
5.4. Dla pokazanej na rys.5.4 tarczy wyznaczyć stałe A, B, C korzystając z
naprÄ™\
eniowych warunków brzegowych na brzegach
KL oraz LM. Stan naprÄ™\
eń dany jest wzorami:
Ãxx = 10x + A, Ãy = 20y + B , Ãxy = C .
Rys.5.4
5.5. Wyznaczyć obcią\
enia działające na prostopadłościenny pręt
( a × a × L ), rys.5.5, je\
eli znany jest stan naprÄ™\
enia w ka\
dym
punkcie prÄ™ta: Ãxx = Å‚x , Ãyy = Ãzz = Ãxy = Ãzx = 0.
Rys.5.5
5.6. Pole przemieszczeń opisane jest następującymi funkcjami:
u = 3axz , v = 4bxy2 + z , w = 3ax2 .
Określić składowe tensora odkształceń w punkcie A(2, -1, 3).
5.7. Rozkład przemieszczeń w pewnym izotropowym, jednorodnym ośrodku
sprÄ™\
ystym dany jest wzorami: u = 0.05x2 / a , v = 0.05xz / a , w = -0.1y .
a) Naszkicować koła Mohra odpowiadające punktom A(0, a, a), B(2a, 0, 0),
b) Obliczyć dla tych punktów naprę\
enie zastępcze wg hipotezy Tresci-Guesta,
c) Określić rozkład obcią\
eń na ściance x + y = 0 (ośrodek znajduje się w
obszarze x + y > 0),
d) Określić rozkład sił masowych.
5.8. Wyprowadzić związki pomiędzy przemieszczeniami i odkształceniami we
współrzędnych płaskich w przypadku symetrii kołowej, oraz wyprowadzić
odpowiednie równania nierozdzielności.
5.9. Posługując się układem kierunków głównych wykazać następujące zale\
ności
pomiędzy niezmiennikami dewiatora naprę\
eń J1s , J21s , J31s , a niezmiennikami
tensora naprÄ™\
eń J1à , J2à , J3à :
1
3
J1s = 0 , J2s = - (J12 - J2Ã), J3s = (2J1s - 9J1ÃJ2Ã + 27J3Ã).
Ã
3
5.10. Pręt o długości L i o przekroju kwadratowym o boku a, jest ściskany siłą P. Pręt
znajduje się między dwiema równoległymi, idealnie sztywnymi ścianami, tak \
e
zmiana jego wymiarów poprzecznych w jednym kierunku jest uniemo\
liwiona a
w drugim swobodna. Obliczyć energię odkształcenia postaciowego,
objętościowego i całkowitą energię pręta.
5.11. PÅ‚aski stan naprÄ™\
enia występujący w płaszczyz
nie xy dany jest składowymi:
Ãxx, Ãyy , Äxy . Przeprowadzić analizÄ™ uszeregowania naprÄ™\
eń głównych.
Wyprowadzić wzory na naprę\
enia zastępcze wg hipotezy Tresci-Guesta oraz
wg hipotezy Hubera-Misesa-Hencky ego.