Wiadomości wstępne Next: Granice i ciągłość funkcji Up: Zadania z matematyki dla Previous: Semestr 2 g. w.   Contents Wiadomości wstępne Sprawdż, że poniższe zdania są tautologiami:
- zasada wyłączonego środka

- zasada transpozycji
- zasada podwójnego
zaprzeczenia

- prawa de Morgana

Zaprzecz formy zdaniowe
(a) (b)

Znajdź zbiory:
(a)
(b)
Wykaż, że w zbiorze liczb rzeczywistych jest kresem
górnym zbioru wtedy i tylko wtedy gdy
1.
2. . Sformułuj odpowiednie warunki dla kresu dolnego.


Wykaż, że ( ) nie jest liczbą wymierną.

Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż
wzory:





Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczby zespolone:



Oblicz:



Wyraź przy pomocy i
(a) (b) .

Podaj interpretację geometryczną zbiorów:



Oblicz: (a) (b)
(c) (d)

Rozwiąż równania w :
Niech będzie prostą a punktem płaszczyzny. Napisz równanie prostej praechodzącej przez oraz
- prostopadłej do
- równoległej do .


Dane są cztery punkty w przestrzeni: . Napisz równania:
- płaszczyzny w której leżą i ,
- prostej prostopadłej do przechodzącej przez .
- płaszczyzny równoległej do przechodzącej przez ,
- sfery o środku w stycznej do .

Oblicz
- i , gdzie jest kątem pomiędzy
wektorami oraz ,
- objętość równoległościanu którego krawędziami są
odcinki i .

Równania płaszczyzn i prostych należy podać w postaci normalnej
i parametrycznej. Wykaż, że dla dowolnej funkcji ,
podzbiorów , , zbioru oraz
, i zbioru zachodzą związki:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g) ( można zastąpić
przez gdy jest odwracalna).

Dla dowolnej funkcji wykaż, że
(i) jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja
, taka że
(ii) jest iniekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
funkcja , taka że

Niech , gdzie jest zbiorem skonczonym.
Wykaż, że następujące zdania są równoważne:
(i) jest iniekcją.
(ii) jest suriekcją.
(iii) jest bijekcją.


Wykaż prawdziwość wzorów:



Mówimy, że zbiory i są równoliczne jezeli istnieje bijekcja . Wykaż, że:
(a) Przedziały i są równoliczne.
(b) Przedział i sa równoliczne. Udowodnij, że jeśli , , i są
równoliczne, wtedy jest zbiorem nieskończonym.

Next: Granice i ciągłość funkcji Up: Zadania z matematyki dla Previous: Semestr 2 g. w.   Contents