Twierdzenia redukcyjne
Wyznaczanie przemieszczeń w układach
statycznie niewyznaczalnych
Niezależnie czy układ jest statycznie wyznaczalny czy też nie
przemieszczenia wyznacza siÄ™ ze wzoru Maxwella-Mohra:
Rj Å" Rj
M M NN TT
1 Å"´ + = dx + dx +
j
"R Å" "j -"
+" +" +"º AG dx +
k JE AE
k JE AE AG
j
j
j j
j j
l l l
l l l
(
MÄ…t td - tg )dx + NÄ…ttodx
+
+" +"
h
l l
Belka z jednostkowym wirtualnym obciążeniem w
punkcie, w którym wyznaczamy przemieszczenie
Belka z rzeczywistym
obciążeniem q
P P = 1
´
Wyznaczanie przemieszczeń w układach
statycznie niewyznaczalnych
Wzór Maxwella-Mohra:
Rj Å" Rj
M M NN TT
1 Å"´ + = dx + dx +
j
"R Å" "j -"
+" +" +"º AG dx +
k JE AE
j
j j
l l l
(
MÄ… ( - t )
MÄ…t td - tg )dx + NÄ…ttodx
t
+
+" +"
h
l l
N  siła normalna, T  siła tnąca, M  moment zginający , R  reakcje, A  pole
przekroju, J  moment bezwładności przekroju względem osi prostopadłej do
płaszczyzny zginania, E  moduł Younga (odkształcenia podłużnego), G  moduł
Kirchoffa (odkształcenia postaciowego), ąt  współczynnik rozszerzalności cieplnej, h 
wysokość przekroju, "  obciążenia geometryczne, to  temperatura w osi, td i tg 
temperatura górna i dolna
Wielkości z nadkreśleniem są wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym
Twierdzenia redukcyjne-
informacje ogólne
Twierdzenia redukcyjne są wykorzystywane do liczenia przemieszczeń w
układach statycznie niewyznaczalnych, tzn. ułatwiają liczenie.
I twierdzenie redukcyjne pozwala na wykorzystanie we wzorze Maxwella-Mohra
wartości (reakcje, siły wewnętrzne) od obciążenia wirtualnego, wyznaczone w
układzie statycznie wyznaczalnym, otrzymanym poprzez usunięcie nadliczbowych
więzów w układzie statycznie niewyznaczalnym.
więzów w układzie statycznie niewyznaczalnym.
Belka z jednostkowym wirtualnym obciążeniem w
Belka z rzeczywistym
punkcie, w którym wyznaczamy przemieszczenie
q
obciążeniem
P
P = 1
Zastępujemy układem statycznie wyznaczalnym
RozwiÄ…zujemy zadanie statycznie niewyznaczalne
q
P
P = 1
Twierdzenia redukcyjne-
informacje ogólne
Twierdzenia redukcyjne są wykorzystywane do liczenia przemieszczeń w
układach statycznie niewyznaczalnych, tzn. ułatwiają liczenie.
II twierdzenie redukcyjne pozwala na wykorzystanie we wzorze Maxwella-Mohra
wartości (reakcje, siły wewnętrzne) od obciążenia rzeczywistego ,wyznaczone w
układzie statycznie wyznaczalnym, otrzymanym poprzez usunięcie nadliczbowych
więzów w układzie statycznie niewyznaczalnym.
więzów w układzie statycznie niewyznaczalnym.
Belka z jednostkowym wirtualnym obciążeniem w
Belka z rzeczywistym
punkcie, w którym wyznaczamy przemieszczenie
q
obciążeniem
P
P = 1
Zastępujemy układem statycznie wyznaczalnym
RozwiÄ…zujemy zadanie statycznie niewyznaczalne
q
P
P = 1
Wyznaczanie przemieszczeń
Wzór Maxwella-Mohra dla układów ramowych bez
wprowadzania ułatwień na jakie pozwalają twierdzenia
redukcyjne:
* *
* m
M M M (td - tg)Ä…t
* *
´i = ds + N toÄ…tds + ds - R u
´i = ds + N toÄ…tds + ds - R u
j
j
j
j
"
"
+" +" +"
+" +" +"
EJ h
j=1
S S S
Wartości z gwiazdkami są wartościami ostatecznymi
z rozwiÄ…zania statycznie niewyznaczalnego
Belka z jednostkowym wirtualnym obciążeniem w
Belka z rzeczywistym
punkcie, w którym wyznaczamy przemieszczenie
obciążeniem q
P
P = 1
´
Opis wyrażeń we wzorze
Maxwella-Mohra
Wzór Maxwella-Mohra :
* *
* m
M M M (td - tg)Ä…t
* *
´ = ds + N toÄ…tds + ds - R u
j
j
"
+" +" +"
EJ h
j=1
S S S
Moment ostateczny od obciążenia rzeczywistego otrzymany w
wyniku rozwiÄ…zania statycznie niewyznaczalnego:
n
*
M = M + x1M1 + x2M + ... = M +
p 2 p j j
"x M
j=1
Belka z rzeczywistym
obciążeniem q
P
Opis wyrażeń we wzorze
Maxwella-Mohra
Wzór Maxwella-Mohra :
* *
* m
M M M (td - tg)Ä…t
* *
´ = ds + N toÄ…tds + ds - R u
j
j
"
+" +" +"
EJ h
j=1
S S S
Wyniki rozwiÄ…zania zadania statycznie niewyznaczalnego z
obciążeniem jednostkowym (wirtualnym):
obciążeniem jednostkowym (wirtualnym):
n
*
M = M + x1M1 + x2M2 + ... = M +
- moment zginajÄ…cy
p p k
"x Mk
n=1
k
*
N = N + x1N1 + x2N2 + ... = N + xk Nk
p p
- siła normalna
"
k =1
n
- reakcje w podporach
R* = R + x R1 + x R2 + ... = R + x Rk
p p 1 2 p k
"
k =1
z obciążeniem geometrycznym
P = 1
Belka z jednostkowym wirtualnym obciążeniem w
punkcie, w którym wyznaczamy przemieszczenie
Rozwiązanie zadań metodą sił
Zadania statycznie niewyznaczalne:
Belka z jednostkowym wirtualnym obciążeniem w
Belka z rzeczywistym
punkcie, w którym wyznaczamy przemieszczenie
obciążeniem q
P
P = 1
Układ podstawowy metody sił
Dla obu zadań UPMS jest taki sam czyli wykresy sił wewnętrznych
od stanów jednostkowych będą takie same.
Rozwiązanie zadań metodą sił
Belka statycznie niewyznaczalne z rzeczywistym obciążeniem:
Stan P
Układ równań metody sił (ogólnie)
q
P
´11x1 + ´12x2 + ....+ ´1nxn + ´1p = 0
´11x1 + ´12x2 + ....+ ´1nxn + ´1p = 0
´21x1 + ´22x2 + ....+ ´2nxn + ´2 p = 0
Stan x1
q
& & & & & & & & & & & & ..
´n1x1 + ´n2x2 + ....+ ´nnxn + ´np = 0
Układ równań metody sił dla belki
´11x1 + ´1p = 0
Rozwiązanie zadań metodą sił
Układ równań metody sił dla obciążenia statycznego
rzeczywistego: n
1 j j
"´ x + ´1p = 0
´11x1 + ´12x2 + ....+ ´1nxn + ´1p = 0
j=1
n
´21x1 + ´22x2 + ....+ ´2nxn + ´2 p = 0
´21x1 + ´22x2 + ....+ ´2nxn + ´2 p = 0
2 j j p
"´ x + ´ = 0
"´ x + ´2 = 0
& & & & & & & & & & & & ..
j=1
& & & & & & & & ..
´n1x1 + ´n2x2 + ....+ ´nnxn + ´np = 0
n
lub
M M
kj j
"´ x + ´kp = 0
p k
´kp = ds
gdzie:
+"
j=1
EJ
s
M M
k j
´kj = ds
+"
EJ
s
Rozwiązanie zadań metodą sił
Belka statycznie niewyznaczalne z wirtualnym obciążeniem:
Stan P
Układ równań metody sił (ogólnie)
P = 1
´11x1 + ´12x2 + ....+ ´1nxn + ´1p = 0
´11x1 + ´12x2 + ....+ ´1nxn + ´1p = 0
´21x1 + ´22x2 + ....+ ´2nxn + ´2 p = 0
Stan
x1
q
& & & & & & & & & & & & ..
´n1x1 + ´n2x2 + ....+ ´nnxn + ´np = 0
Układ równań metody sił dla belki
´11x1 + ´1p = 0
Rozwiązanie zadań metodą sił
Belka statycznie niewyznaczalne z wirtualnym obciążeniem:
n
1 j j
´11x1 + ´12x2 + ....+ ´1nxn + ´1p = 0
"´ x + ´1p = 0
j=1
n
´21x1 + ´22x2 + ....+ ´2nxn + ´2 p = 0
21 1 22 2 2n n 2 p
2 j j p
"´ x + ´ = 0
"´ x + ´2 = 0
& & & & & & & & & & & & ..
j=1
´n1x1 + ´n2x2 + ....+ ´nnxn + ´np = 0
& & & & & & & & ..
n
lub
M M kj j
"´ x + ´kp = 0
p k
´kp = ds
gdzie:
+"
j=1
EJ
s
M M
k j
´kj = ds
+"
EJ
s
Twierdzenie I
Wyznaczanie wyrażeń we
wzorze Maxwella-Mohra
Wpływ obciążenia statycznego
*
*
n n
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚
M M öÅ‚
1
ds =
p k
p j j k
+" "x M ÷Å‚ìÅ‚ M +"x M ÷Å‚ds =
+"ìÅ‚ M +
EJ ìÅ‚ ÷Å‚ ÷Å‚
ìÅ‚
EJ
S j=1
s íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ öÅ‚ n k =1 ëÅ‚ Å‚Å‚ n
n
ëÅ‚ öÅ‚
1
=
=
p k
p k
p j j k p j j
p j j k p j j
"x M ÷Å‚ +"x M ìÅ‚ M +"x M ÷Å‚ds =
"x M ÷Å‚ +"x M ìÅ‚ M +"x M ÷Å‚ds =
+"M ìÅ‚ M +
+"M ìÅ‚ M +
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
EJ
j=1 k =1 j=1
s íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
n n n
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚÷Å‚
1
=
p k
p j j k p j j
"x M ÷Å‚ +"ìÅ‚ x M ìÅ‚ M +"x M ÷Å‚ =
+"M ìÅ‚ M + ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚ds
EJ
ìÅ‚
j=1 k =1 j=1
s íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
n n n
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚÷Å‚
1
=
p k
p j j k p j k j
"x M ÷Å‚ +"ìÅ‚ x ìÅ‚ M M +"x M M ÷Å‚
+"M ìÅ‚ M + ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚ds
EJ
ìÅ‚
j=1 k =1 j=1
s íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
n
*
Moment zginajÄ…cy ostateczny
M = M + x1M1 + x2M +... = M +
p 2 p j j
"x M
od obciążenia rzeczywistego
j=1
n
*
Moment zginajÄ…cy ostateczny
M = M + x1M1 + x2M2 + ... = M + xkMk
p p
"
od obciążenia wirtualnego k =1
Twierdzenie I
Wyznaczanie wyrażeń we
wzorze Maxwella-Mohra
Wpływ obciążenia statycznego
*
*
n n n
ëÅ‚ öÅ‚
M M ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚÷Å‚
1
ds
=
p k
+"
p j j k p j k j
"x M ÷Å‚ +"ìÅ‚ x ìÅ‚ M M +"x M M ÷Å‚
EJ
+"M ìÅ‚ M + ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚ds
EJ
ìÅ‚
S
j=1 k =1 j=1
s íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Ponieważ
Ponieważ
M M
M M
k j
p k
Układ równań metody sił
´kj = ds
´kp = ds
+"
+"
EJ
EJ
n
s
s
1 j j
"´ x + ´1p = 0
to
j=1
n
n n
ëÅ‚ öÅ‚
M M M M
2 j j p
"´ x + ´2 = 0
p k j k
j=1
j j
"x EJ ÷Å‚ds =´kp +"x ´kj = 0
+"ìÅ‚ EJ +
ìÅ‚ ÷Å‚
& & & & & .
j=1 j=1
s íÅ‚ Å‚Å‚
n
*
n
*
ëÅ‚ öÅ‚
M M
1 kj j
"´ x + ´kp = 0
p
ds =
p
j=1
p j j
"x M ÷Å‚ds
+"M ìÅ‚ M +
+"
ìÅ‚ ÷Å‚
EJ
EJ
j=1
s
S íÅ‚ Å‚Å‚
Twierdzenie I
Wyznaczanie wyrażeń we
wzorze Maxwella-Mohra
Wpływ obciążenia statycznego
*
* n
ëÅ‚ öÅ‚
M M
1
ds
=
p
p j j
"x M ÷Å‚ds
+"
+"M ìÅ‚ M +
ìÅ‚ ÷Å‚
EJ
EJ
j=1
S s íÅ‚ Å‚Å‚
Ponieważ
Ponieważ
n
*
M = M + x1M1 + x2M + ... = M +
p 2 p j j
"x M
j=1
to
*
n
*
* ëÅ‚ öÅ‚
M M 1 M
p
=
p
ds
p j j
"x M ÷Å‚ds = MEJ ds
+"M ìÅ‚ M + +"
ìÅ‚ ÷Å‚
+"
EJ
EJ
j=1
s íÅ‚ Å‚Å‚ s
S
gdzie:
M
P
p - moment zginający ze stanu od obciążenia wirtualnego
*
- ostateczny moment zginający od obciążenia rzeczywistego
M
Twierdzenie I
Przemieszczenia od pozostałych wpływów
w układach statycznie niewyznaczalnych
Wpływ obciążenia temperaturą w osi
n
n
ëÅ‚ öÅ‚
*
p k
p k
"x NktoÄ…tds =
+"N toÄ…tds ++"
+"ìÅ‚
+"N toÄ…tds = íÅ‚ N + " x Nk ÷Å‚toÄ…tds =
k =1
k =1 Å‚Å‚
s s
s
S
n
n
= N toÄ…tds + xk NktoÄ…tds =
= N toÄ…tds + xk NktoÄ…tds =
p p k
p p k
" "x ´kt
" "x ´kto
+" +" +"N toÄ…tds +
+" +" +"N toÄ…tds +
k =1
k =1
s
s s
Ostateczna siła normalna od obciążenia wirtualnego
n
*
N = N + x1N1 + x2N2 + ... = N + xk Nk
p p
"
k =1
Przemieszczenia (wpływy w układzie równań metody sił) od temperatury w osi
´kto = NktoÄ…tds
to
+"
s
Twierdzenie I
Przemieszczenia od pozostałych wpływów
w układach statycznie niewyznaczalnych
Wpływ obciążenia różnicy temperatur
n
n
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚
M + xkMk ÷Å‚(td - tg)Ä…t
p
* M (td - tg)Ä…t +(td - tg)Ä…t xkMk
p
"
ìÅ‚ ÷Å‚ "
M (td - tg)Ä…t
k =1
íÅ‚ Å‚Å‚
k =1
ds
= ds = ds =
+"
h +" +"
h h
S
S S
n
n
M (td - tg)Ä…t Mk(td - tg)Ä…t
M (td - tg)Ä…t
p
p
ds + xk ds =
ds + xk´k"t
"
"
+" +"
+"
h h
h
k =1
k =1
S S
S
Moment zginający ostateczny od obciążenia wirtualnego
n
*
M = M + x1M1 + x2M2 + ... = M +
p p k
"x Mk
k =1
Przemieszczenia (wpływy w układzie równań metody sił) od różnicy temperatury
Mk(td - tg)Ä…t
´k"t = ds
tg
+"
h
S
td
Twierdzenie I
Przemieszczenia od pozostałych wpływów
w układach statycznie niewyznaczalnych
Wpływ obciążenia geometrycznego
m m n m n
ëÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚öÅ‚ m ëÅ‚ öÅ‚
*
-
j jp k jp k
j j j j
"R u =-"ìÅ‚u ìÅ‚ R +"x Rjk ÷Å‚÷Å‚ = -"u R -"ìÅ‚u "x Rjk ÷Å‚ =
ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
j=1 j=1 k =1 j=1 j=1 k =1
íÅ‚ Å‚Å‚÷Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
m n m m n
m n m m n
= - ( )
jp k jp k
j j j
"u R -"x "(u Rjk)= -"u R +"x ´k"
j=1 k =1 j=1 j=1 k =1
Reakcja ostateczna od obciążenia wirtualnego
n
*
R = R + x1R + x2Rj2 + ... = R +
j jp jp k
j1 jk
"x R
k =1
Przemieszczenia (wpływy w układzie równań metody sił) od obciążenia geometrycznego
m
´k" = -
j
"(u Rjk)
"
j=1
Twierdzenie I
Wyznaczenie przemieszczenia w układzie statycznie
niewyznaczalnym ze wszystkimi wpływami
Wzór Maxwella-Mohra :
* *
* m
M M M (td - tg)Ä…t
* *
´ = ds + N toÄ…tds + ds - R u
j
j
"
+" +" +"
EJ h
j=1
S S S
*
ëÅ‚
n n n
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚öÅ‚
*
M M
1
=
ds p
ds p k
p j j ìÅ‚ kp j
p j j ìÅ‚ kp j kj
ìÅ‚ " ÷Å‚ "ìÅ‚ ìÅ‚ " ÷Å‚÷Å‚ obciążenie statyczne
ìÅ‚ "x M ÷Å‚ds +"ìÅ‚ xk ìÅ‚´ +"x ´kj ÷Å‚÷Å‚
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚
ìÅ‚
+"
+"M ìÅ‚ M +
+"
+"
EJ
EJ
EJ ìÅ‚ ÷Å‚ ÷Å‚÷Å‚
EJ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚
ìÅ‚
j=1 k =1 j=1
s
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚Å‚Å‚
S íÅ‚
n
*
obciążenie temperaturą w osi
p k
"x ´kto
+"N toÄ…tds +
+"N toÄ…tds =
k =1
s
S
n
*
M (td - tg)Ä…t
p
M (td - tg)Ä…t
= ds + xk´k"t obciążenie różnicÄ… temperatur
ds
"
+" +"
h
h
S k =1
S
m m n
*
obciążenie geometryczne
-
j jp k
j j
"R u = -"u R +"x ´k"
j=1 j=1 k =1
Twierdzenie I
Wyznaczenie przemieszczenia w układzie statycznie
niewyznaczalnym ze wszystkimi wpływami
Przemieszczenie:
n
ëÅ‚
n n n
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚öÅ‚
1
p k
=
p
"x ´kto
p j j ìÅ‚ kp j
ìÅ‚ "x M ÷Å‚ds +"ìÅ‚ xk ìÅ‚´ +"x ´kj ÷Å‚÷Å‚ ++"N toÄ…tds +
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚
´
+"M ìÅ‚ M +
EJ
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚ s
ìÅ‚
k =1
j=1 k =1 j=1
s
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚Å‚Å‚
íÅ‚
m n
n
M (td - tg)Ä…t
p
-
jp k
+ ds + x ´k"t j
ds x
k
k
" "
"u R +"x ´k"
k"t
"
"
+"
+"
h
h
j=1 k =1
k =1
S
m
n
ëÅ‚ öÅ‚
M (td - tg)Ä…t
p
1
-
= ds jp
p p
j
p j j
"u R +
ìÅ‚ ÷Å‚
"x M ÷Å‚ds +
+"M ìÅ‚ M + +"N toÄ…tds + +"
EJ h
ìÅ‚ ÷Å‚
j=1
j=1
s s S
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚
n n n
ëÅ‚ öÅ‚öÅ‚ n n
+
xk´k"t +
k
k
ìÅ‚ kp j
ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚
"ìÅ‚ xk ìÅ‚´ +"x ´kj ÷Å‚÷Å‚ +"x ´kto + "
"x ´k"
ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚ k =1
ìÅ‚
k =1 j=1 k =1
k=1
íÅ‚ Å‚Å‚Å‚Å‚
íÅ‚
Twierdzenie I
Wyznaczenie przemieszczenia w układzie statycznie
niewyznaczalnym ze wszystkimi wpływami
Przemieszczenie:
m
n
ëÅ‚ öÅ‚
M (td - tg)Ä…t
p
1
-
= ds jp
p p
j
p j j
"u R +
ìÅ‚ ÷Å‚
"x M ÷Å‚ds +
´
+"M ìÅ‚ M + +"N toÄ…tds + +"
EJ h
ìÅ‚ ÷Å‚
j=1
j=1
s s S
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚
n n n
ëÅ‚ öÅ‚öÅ‚ n n
+
xk´k"t +
k
k
ìÅ‚ kp j
ìÅ‚
"ìÅ‚ ìÅ‚ " ÷Å‚÷Å‚ "
"ìÅ‚ xk ìÅ‚´ +"x ´kj ÷Å‚÷Å‚ +"x ´kto +
"
"
"
"x ´k" =
ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚ k =1
÷Å‚÷Å‚ =
ìÅ‚
k =1 j=1 k =1
= = =
k=1
=
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚Å‚Å‚
íÅ‚
m
n
ëÅ‚ öÅ‚
M (td - tg)Ä…t
p
1
-
= ds jp
p p
j
p j j
"u R +
ìÅ‚ ÷Å‚
"x M ÷Å‚ds +
+"M ìÅ‚ M + +"N toÄ…tds + +"
EJ h
ìÅ‚ ÷Å‚
j=1
j=1
s s S
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚
n n
ëÅ‚ öÅ‚öÅ‚
+
ìÅ‚ j
ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚
"ìÅ‚ xk ìÅ‚"x ´kj + ´kp + ´kto + ´k"t + ´k" ÷Å‚÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚
ìÅ‚
k =1 j=1
íÅ‚ Å‚Å‚Å‚Å‚
íÅ‚
0
Twierdzenie I
Wyznaczenie przemieszczenia w układzie statycznie
niewyznaczalnym ze wszystkimi wpływami
Przemieszczenie:
m
n
ëÅ‚ öÅ‚
M (td - tg)Ä…t
p
1
-
= ds jp
p p
j
´
p j j
"u R +
ìÅ‚ ÷Å‚
"x M ÷Å‚ds +
+"N toÄ…tds + +"
+"M ìÅ‚ M +
EJ h
ìÅ‚ ÷Å‚
j=1
j=1
s s S
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚
n n
ëÅ‚ öÅ‚öÅ‚
+
ìÅ‚
ìÅ‚ j
ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚
"ìÅ‚ ìÅ‚" ÷Å‚÷Å‚
"ìÅ‚ xk ìÅ‚"x ´kj + ´kp + ´kto + ´k"t + ´k" ÷Å‚÷Å‚
o Układ równań metody sił dla obciążenia
Układ równań metody sił dla obciążenia
ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚
÷Å‚÷Å‚
ìÅ‚
k =1 j=1
íÅ‚ Å‚Å‚Å‚Å‚
íÅ‚
statycznego rzeczywistego:
n
1 j j
"´ x + ´1p + ´1to + ´1"t + ´1" = 0
j=1
n
Zadanie statycznie niewyznaczalne z
2 j j p
"´ x + ´2 + ´2to + ´2"t + ´2" = 0
rzeczywistym obciążeniem
j=1
q
& & & & & & & .& ..
P
tg n
kj j
"´ x + ´kp + ´kto + ´k"t + ´k" = 0
"
td
j=1
Twierdzenie I
Wyznaczenie przemieszczenia w układzie statycznie
niewyznaczalnym ze wszystkimi wpływami
Przemieszczenie:
m
n
ëÅ‚ öÅ‚
M (td - tg)Ä…t
p
1
-
= ds jp
p p
j
p j j
´ "u R =
ìÅ‚ ÷Å‚
"x M ÷Å‚ds +
+"N toÄ…tds + +"
+"M ìÅ‚ M +
EJ h
ìÅ‚ ÷Å‚
j=1
j=1
s s S
íÅ‚ Å‚Å‚
m
1 M (td - tg)Ä…t
p
*
=
p p
ds
-
jp
+"N toÄ…tds + j
+"M M ds +
"u R
+"
EJ
h
s
s
s
s
j=1
j=1
S
S
gdzie:
gdzie:
P
M - moment zginający ze stanu od obciążenia wirtualnego
p
N P
p - siła normalna ze stanu od obciążenia wirtualnego
P
R - reakcje ze stanu od obciążenia wirtualnego
p
*
M - ostateczny moment zginający od obciążenia rzeczywistego
Stan zadania z obciążeniem jednostkowym
P
Zadanie statycznie niewyznaczalne z
rzeczywistym obciążeniem
q
P = 1
i
P
tg
"
td
Twierdzenie I
Twierdzenie redukcyjne I
Przemieszczenie:
m
m
jp
M (td - tg)Ä…t
1 p j
*
+
= M M ds + p
ds - u R
p jp
´
j
"R kR*
"
+"N toÄ…tds +
+"
+"
EJ
h
j=1
j=1
s
s
S
Twierdzenie redukcyjne I  przemieszczenie w układzie
Twierdzenie redukcyjne I  przemieszczenie w układzie
statycznie niewyznaczalnym można policzyć korzystając z
wyników obliczeń ostatecznych od obciążenia rzeczywistego i
ze stanu P metody sił dla układu od obciążenia wirtualnego.
Stan zadania z obciążeniem jednostkowym
P
Zadanie statycznie niewyznaczalne z
rzeczywistym obciążeniem
q P = 1
P
tg
"
td
Twierdzenie II
Wyznaczanie wyrażeń we
wzorze Maxwella-Mohra
Wpływ obciążenia statycznego
*
*
n n
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚
M M öÅ‚
1
ds =
p k
p j j k
+" "x M ÷Å‚ìÅ‚ M +"x M ÷Å‚ds =
+"ìÅ‚ M +
EJ ìÅ‚ ÷Å‚ ÷Å‚
ìÅ‚
EJ
S j=1
s íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ öÅ‚ nk =1 ëÅ‚ Å‚Å‚ n
n
ëÅ‚ öÅ‚
1
ìÅ‚ ìÅ‚
ìÅ‚ ìÅ‚
= M M + xkMk ÷Å‚ + x M M + xkMk ÷Å‚ds =
= M M + xkMk ÷Å‚ + x M M + xkMk ÷Å‚ds =
p p
p p
p j j
p j j
" " "
" " "
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
+"
+"
EJ
k =1 j=1 k =1
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
s
n n n
ëÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚öÅ‚
1
ìÅ‚
ìÅ‚ ìÅ‚
= M M + xkMk ÷Å‚ + x M M + xkMk ÷Å‚÷Å‚ds =
p p
p j j
" "ìÅ‚ "
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚
+"
EJ
ìÅ‚
k =1 j=1 k =1
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚÷Å‚
s íÅ‚ Å‚Å‚
n n n
ëÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚öÅ‚
1
ìÅ‚
ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚ds =
= M M + xkMk ÷Å‚ + x M M + xkMkM
p p
p j j j
" "ìÅ‚ "
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚
+"
EJ
ìÅ‚
k =1 j=1 k =1
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚÷Å‚
s íÅ‚ Å‚Å‚
n
*
Moment zginajÄ…cy ostateczny
M = M + x1M1 + x2M +... = M +
p 2 p j j
"x M
od obciążenia rzeczywistego
j=1
n
*
Moment zginajÄ…cy ostateczny M = M + x1M1 + x2M2 + ... = M +
p p k
"x Mk
od obciążenia wirtualnego k =1
Twierdzenie II
Wyznaczanie wyrażeń we
wzorze Maxwella-Mohra
Wpływ obciążenia statycznego
*
n n n
ëÅ‚
*
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚öÅ‚
M M
1
ìÅ‚
ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚ds
ds
= M M + x Mk ÷Å‚ + x M M + x MkM
p k p k
p j j j
" " "
ìÅ‚
+"
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚
+"
EJ
EJ
ìÅ‚
S
k =1 j=1 k =1
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚÷Å‚
s íÅ‚ Å‚Å‚
Ponieważ
Ponieważ
Układ równań metody sił
M M
dla stanu jednostkowego
M M
k j
p k
´kj = ds
´kp = ds
n
+"
+"
EJ
EJ
s
s ´1k xk + ´1p = 0
"
k =1
to
n
´2k xk + ´2 p = 0
n n "
ëÅ‚
M M Mk öÅ‚
p j j
k =1
k jp k jk
"x MEJ ÷Å‚ds =´ +"x ´ = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
+"ìÅ‚ EJ +
& & & & &
k =1 k =1
íÅ‚ Å‚Å‚
s
n
*
n
´kjxk + ´ = 0
*
ëÅ‚ öÅ‚
jp
"
M M
1
p
ìÅ‚
k =1
ds = M M + xkMk ÷Å‚ds
p
p
"
+"
ìÅ‚ ÷Å‚
+"
EJ
EJ
S
k =1
íÅ‚ Å‚Å‚
s
Twierdzenie II
Wyznaczanie wyrażeń we
wzorze Maxwella-Mohra
Wpływ obciążenia statycznego
* n
* ëÅ‚ öÅ‚
M M 1
ìÅ‚
= M M + xkMk ÷Å‚ds
ds
p
p
"
+" ìÅ‚ ÷Å‚
+"
EJ
EJ
S k =1
íÅ‚ Å‚Å‚
s
Ponieważ
Ponieważ
n
*
M = M + x1M1 + x2M2 + ... = M +
p p k
"x Mk
k =1
to
n
* *
ëÅ‚ öÅ‚
M M
M M
1
p
ìÅ‚
ds
= M M + xkMk ÷Å‚ds = ds
p
p
+"
"
EJ ìÅ‚ ÷Å‚
+" +"
EJ EJ
S
k =1
íÅ‚ Å‚Å‚
s s
gdzie:
*
- ostateczny moment zginający od obciążenia wirtualnego
M
M
- moment zginający ze stanu P od obciążenia rzeczywistego
p
Twierdzenie II
Wyznaczenie przemieszczenia w układzie statycznie
niewyznaczalnym ze wszystkimi wpływami
Przemieszczenie:
* *
* m
M M M (td - tg)Ä…t
* *
´ = ds + N toÄ…tds + ds - R u
j
j
"
+" +" +"
EJ h
j=1
S S S
obciążenie różnicą temperatur
obciążenie statyczne
obciążenie geometryczne
obciążenie temperaturą w osi
*
*
Układ równań metody sił
M M
ds =
+"
dla stanu jednostkowego wirtualnego, nie ma
EJ
S
w tym układzie innych rodzajów obciążeń
n n n
ëÅ‚ n
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚öÅ‚
1
ìÅ‚M p + xkMk ÷Å‚ds + ìÅ‚ x ìÅ‚´ + xk´ ÷Å‚÷Å‚ds =
= M
´1k xk + ´1p = 0
p j jp jk
" "ìÅ‚ "
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚ "
+"
EJ
ìÅ‚
k =1 j=1 k =1
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚÷Å‚
k =1
s íÅ‚ Å‚Å‚
n
n *
ëÅ‚ öÅ‚
M M
1 ´2k xk + ´2 p = 0
p
ìÅ‚
"
= M M + xkMk ÷Å‚ds = ds
p
p
"
ìÅ‚ ÷Å‚
+" +"
k =1
EJ EJ
k =1
íÅ‚ Å‚Å‚
s s
& & & & &
n
P = 1
´kjxk + ´ = 0
jp
"
k =1
Twierdzenie II
Wyznaczenie przemieszczenia w układzie statycznie
niewyznaczalnym ze wszystkimi wpływami
Przemieszczenie:
* *
m
M M M (td - tg)Ä…t
* i *
p
´ = ds + NitoÄ…tds + ds - R u
j
j
"
+" +" +"
EJ h
j=1
S S S
gdzie:
*
- ostateczny moment zginający od obciążenia wirtualnego
M
M
*
- ostateczna siła normalna od obciążenia wirtualnego
N
*
- reakcje ostateczne od obciążenia wirtualnego
R
M
p - moment zginający stanu P od obciążenia rzeczywistego
Zadanie statycznie niewyznaczalne z wirtualnym
Stan P zadania statycznie niewyznaczalnego
obciążeniem jednostkowym
z rzeczywistym obciążeniem
q P = 1
P
Twierdzenie II
Twierdzenie redukcyjne II
Przemieszczenie:
* * *
m
m
M M M (td - tg)Ä…t R Rjp
* i *
j
p
´ = ds + NitoÄ…tds + ds - R u
j +
j
"
"
+" +" +"
EJ h
k
j=1
j=1
S S S
Twierdzenie redukcyjne II  przemieszczenie w układzie
Twierdzenie redukcyjne II  przemieszczenie w układzie
statycznie niewyznaczalnym można policzyć korzystając z
wyników obliczeń ostatecznych od obciążenia wirtualnego i ze
stanu P metody sił dla układu od obciążenia rzeczywistego.
Zadanie statycznie niewyznaczalne z wirtualnym
Stan P zadania statycznie niewyznaczalnego
obciążeniem jednostkowym
z rzeczywistym obciążeniem
P = 1
q
P
k
k
Wykorzystanie twierdzeń
redukcyjnych
Twierdzenie redukcyjne II jest wykorzystywane do liczenia przemieszczeń w
układach statycznie niewyznaczalnych.
Twierdzenie redukcyjne II  przemieszczenie w układzie statycznie niewyznaczalnym można
policzyć korzystając z wyników obliczeń ostatecznych od obciążenia wirtualnego i ze stanu P
metody sił dla układu od obciążenia rzeczywistego.
metody sił dla układu od obciążenia rzeczywistego.
*
* *
m
m
R Rjp
M M M (td - tg)Ä…t j
* i *
p
+
´ = ds + NitoÄ…tds + ds - R u
j
j
" "
+" +" +"
EJ h k
j=1 j=1
S S S
Zadanie statycznie niewyznaczalne z wirtualnym
Stan P zadania statycznie niewyznaczalnego
obciążeniem jednostkowym
z rzeczywistym obciążeniem
q P = 1
P
k
k
Wykorzystanie twierdzeń
redukcyjnych
Twierdzenie redukcyjne I jest sprawdzania poprawności rozwiązania zadania,
polegającego na wyznaczaniu reakcji i sił wewnętrznych w układach statycznie
niewyznaczalnych .
Twierdzenie redukcyjne I  przemieszczenie w układzie statycznie niewyznaczalnym można
policzyć korzystając z wyników obliczeń ostatecznych od obciążenia rzeczywistego i ze stanu P
policzyć korzystając z wyników obliczeń ostatecznych od obciążenia rzeczywistego i ze stanu P
metody sił dla układu od obciążenia wirtualnego.
m
m
R R*
jp
M (td - tg)Ä…t
1 p j
*
+
= M M ds + p
ds - u R
p jp
´
j
"
"
+"N toÄ…tds +
+"
+"
k
EJ
h
j=1
j=1
s
s
S
Stan zadania z obciążeniem jednostkowym
P
Zadanie statycznie niewyznaczalne z
rzeczywistym obciążeniem
q M = 1
P
tg
"
td
Koniec