1. Różnica między mechaniką a wytrzymałością materiałów
Wytrzymałość materiałów jest nauką, która zajmuje się min. Analizą odkształceń ciał i
konstrukcji. W wielu przypadkach ocena przydatności konstrukcji uzależniona jest od tego,
aby odkształcenia nie osiągnęły zbyt dużych wartości, a ponadto dzięki uwzględnieniu
odkształceń można obliczyć układy nierozwiązywalne na gruncie mechaniki ogólnej (układy
statycznie niewyznaczalne). Wytrzymałość materiałów
2. Co rozumiemy pod pojęciem siły czynnej, a co pod pojęcięm siły biernej
Przez siłę czynną rozumiemy obciążenia, natomiast przez siłę bierną  reakcje działające z
zewnątrz na dane ciało (np. siły skupione, siły powierzchniowe  ciśnienia, siły objętościowe,
takie jak siły przyciągania ziemskiego)
3. Definicja naprężeń
Naprężenia  wielkość wypadkowej siły działającej w danym przekroju ciała nie określa w
wystarczającym stopniu, jakie siły działają w poszczególnych punktach tego przekroju. Może
się zdarzyć, że siły międzycząsteczkowe w niektórych punktach przekroju mają znacznie
większe wartości niż w punktach pozostałych. Wprowadzono więc pojęcie naprężenia. Jeżeli
na nieskończenie małym polu dF wypadkowa siła międzycząsteczkowa wynosi dP, to iloraz
siÅ‚y dP oraz pola dF nazywamy naprężeniem (Ã)
4. Proste przypadki obciążenia i elementy im podlegające:
·ð RozciÄ…ganie/Å›ciskanie  powodowane przez dwie siÅ‚y równe co do wartoÅ›ci, przeciwnie
skierowane, działające wzdłuż osi pręta. Prętem nazywamy ciało, w którym jeden z
wymiarów jest znacznie większy od pozostałych (Najczęściej rozciąganie ma miejsce w
przypadku prętów lub cięgien)
·ð Zginanie  postaje wówczas gdy siÅ‚y obciążajÄ…ce prÄ™t lub ich skÅ‚adowe, sÄ… prostopadÅ‚e do
osi pręta, a linie działania sił znajdują się w pewnych odległościach od siebie i leżą na
jednej płaszczyz
nie zawierającej oś pręta (na takie obciążenie narażone są belki)
·ð SkrÄ™canie wywoÅ‚ujÄ… dwie pary siÅ‚ dziaÅ‚ajÄ…ce w dwóch różnych pÅ‚aszczyznach
prostopadłych do osi pręta (na takie obciążenie narażony jest np. wał napędowy)
5. Czego dotyczy zasada Saint-Venanta.
Rys. Rozkład naprężeń w pobliżu siły skupionej P.
W pobliżu punktu A przyłożona jest siła ściskająca P. Ponieważ skończona wartość siły na bardzo
mały obszar w otoczeniu punktu A, przez to powstają tu bardzo duże naprężenia i ewentualnie
odkształcenia miejscowe. Naprężenia te rozprzestrzeniają się na cały obszar pręta, jak to zaznaczono
liniami pionowymi na rysunku. Przyjmuje się że w odległości ok. 1,5 średnicy od końca pręta
rozkład naprężeń jest już równomierny na całej powierzchni przekroju poprzecznego pręta. Jeżeli
pole tego przekroju wynosi A to jak wynika z warunku równowagi pręta, naprężenie ściskające
P
wynosi sð=ð . Zjawisko równomiernego rozkÅ‚adu naprężeÅ„ dopiero w pewnej odlegÅ‚oÅ›ci od
A
miejsca przyłożenia obciążenia nosi nazwę zasady de Saint-Venanta.
6. Jaka jest różnica pomiędzy 1 MPa i 1 N/mm^2 ?
Jednostka naprężenia w układzie SI jest paskal, tj. niuton na metr kwadratowy. Te jednostki są
bardzo małe, dlatego w obliczeniach stosuje się wielokrotności tej jednostki mega paskal lub niuton
na milimetr kwadratowy. 1 MPa = 1 MN/m^2 = 10^6 N/m^2 = 1 N/mm^2. Te jednostki nie różnią
się od siebie, ponieważ są takie same!
7. Podać wszystkie formy (równania) prawa Hooke a dla jednoosiowego rozciągania.
Robert Hooke stwierdził, że wydłużenie pręta pryzmatycznego jest wprost proporcjonalne do siły
rozciągającej P i do długości początkowej l pręta, a odwrotnie proporcjonalne do pola A przekroju
poprzecznego pręta.
, gdzie:
E  moduł sprężystości przy rozciąganiu, moduł Younga
A  pole przekroju poprzecznego
 wydłużenie pręta
l  długość początkowa pręta
P  siła rozciągająca
- naprężenie rozciągające w pręcie
 wydłużenie względne
Dla większości materiałów stosowanych w budowie maszyn prawo Hooke a można stosować
zarówno w przypadku rozciągania, jak i ściskania, przy czym naprężenia rozciągające zaznaczamy
znakiem plus (+), a ściskające znakiem minus (-).
8. Narysować wykresy rozciągania z wyraz
ną i umowną granicą plastyczności oraz oznaczyć
inne granice na tych wykresach.
Wyraz
na granica plastyczności to naprężenie rozciągające powodujące wzrost wydłużenia
przy ustalonej (lub pomniejszonej) sile rozciÄ…gajÄ…cej.
Dla materiałów plastycznych bez wyraz
nej granicy plastyczności Re wprowadzono umowną granicę
plastyczności R0,2.
Umowną granicą plastyczności nazywamy takie naprężenie, które wywołuje w próbce
odksztaÅ‚cenie trwaÅ‚e (plastyczne) wynoszÄ…ce µ=0,2% (0,002).
Gdzie:
F0,2- siła rozciągająca wywołująca w próbce
odkształcenie plastyczne równe 0,2%
S0- pole przekroju poprzecznego próbki
wyznaczone przed badaniem
Na wykresie przedstawiono krzywÄ… rozciÄ…gania bez wyraz
nej granicy plastyczności oraz sposób
określania umownej granicy plastyczności.
9.Naprężenie dopuszczalne jest to wartość naprężenia nieprzekraczalna w warunkach normalnej
pracy (największe naprężenie, które jest jeszcze bezpieczne dla konstrukcji).
Naprężenie dopuszczalne na rozciąganie kr wyznacza się ze wzoru:
gdzie:
Rm  wytrzymałość na rozciąganie
nm  współczynnik bezpieczeństwa w odniesieniu do wytrzymałości na rozciąganie Rm,
liczba większa od jedności
W wielu przypadkach należy się zabezpieczyć nie tylko przed zerwaniem danego elementu
konstrukcji, lecz również przed powstaniem odkształceń plastycznych. W takich przypadkach
naprężenia dopuszczalne kr wyznacza się jako iloraz granicy plastyczności Re przez współczynnik
bezpieczeństwa ne odniesiony do granicy plastyczności:
Obliczenie wytrzymałościowe elementu rozciąganego sprowadza się do sprawdzenia, czy spełniony
jest warunek:
W podobny sposób jak dla rozciągania wyznacza się naprężenia dopuszczalne na:
-ð Å›ciskanie kc
-ð zginanie kg
-ð skrÄ™canie ks
-ð Å›cinanie kt
10. Jak ustala się wartość współczynnika bezpieczeństwa?
Przy doborze współczynnika bezpieczeństwa musi być stosowany rozsądny kompromis
między kilkoma przeciwstawnymi wymaganiami stawianymi nowoczesnym konstrukcjom, które
muszą być lekkie i tanie, a równocześnie bezpieczne i niezawodne.
W ogólnym zarysie przy ustalaniu wartości liczbowej współczynnika bezpieczeństwa należy
uwzględnić następujące czynniki:
1. Sposób przykładania obciążeń. Obciążenia dynamiczne (nagłe), pochodzące od ciał
będących w ruchu, są bardziej niebezpieczne niż obciążenia statyczne, tj. przykładane
powoli; podobnie obciążenia stale zmieniające się (pulsujące) są bardziej
niebezpieczne od obciążeń stałych.
2. Jednorodność materiałów. Wyroby walcowane są na ogół bardziej jednorodne niż np.
odlewy, w których mogą być pory, pęcherze, wtrącenia żużla itp. Dla wyrobów
walcowanych można więc przyjąć mniejszy współczynnik bezpieczeństwa niż dla
odlewów.
3. Naprężenia wstępne. Występują one na przykład przy nierównomiernym stygnięciu
elementów spawanych lub odlewów oraz w połączeniach wciskowych, w elementach
hartowanych itp.
4. Niedokładność metod obliczeniowych. Nie zawsze zastosowane metody obliczeniowe
pozwalają ustalić dokładną wartość naprężeń. Niejednokrotnie dla ułatwienia obliczeń
pomija się niektóre naprężenia, np. od drgań konstrukcji, różnic temperatur, obciążeń
przypadkowych. Jeśli poprzestaje się na obliczeniach przybliżonych, należy przyjąć
większy współczynnik bezpieczeństwa.
5. Czas i warunki pracy konstrukcji. W konstrukcjach tymczasowych, montażowych itp.
można przyjąć mniejsze współczynniki bezpieczeństwa. W urządzeniach
przewidzianych do długotrwałej eksploatacji należy uwzględnić osłabienia elementów
spowodowane zużyciem ściernym powierzchni roboczych i korozją. Jeżeli urządzenie
pracuje w temp. podwyższonych, należy uwzględnić zmiany własności
wytrzymałościowych materiałów w tych temp.; jeżeli pracuje w ośrodku narażonym
na promieniowanie (w pobliżu reaktora jądrowego), należy uwzględnić obniżenie
własności wytrzymałościowych i plastycznych materiałów w tych warunkach.
Dla najczęściej stosowanych stali konstrukcyjnych (tzw. miękkich, niskowęglowych, niestopowych)
podane w tej normiej własności są następujące:
·ð stal St0S Reð190MPa, Rmð315MPa, fdð170MPa
·ð stal St3S Reð220MPa, Rmð375MPa, fdð200MPa
11. Na czym polega metoda superpozycji i kiedy jÄ… stosujemy, a kiedy nie?
Zasada superpozycji upraszcza obliczenia w przypadku skomplikowanego układu obciążeń. Polega
na rozbiciu danego złożonego układu obciążeń na układy proste tak dobrane, aby ich suma
(nałożenie jednych na drugie) dała rozpatrywany układ wyjściowy. Wyznaczamy wydłużenie pręta o
polu F przekroju poprzecznego i długości l, rozciąganego siłą P1 i P2. Układ złożony rozbijamy na
mniejsze (w zależności od ilości sił). Każdy z układów uzupełniamy reakcją R o zwrocie
przeciwnym do siły P (żeby się równoważyły). Wydłużenie całkowite pręta będzie sumą
(superpozycją) wydłużeń na każdym ze stanów składowych (delta(l)=delta(l1)+delta(l2),
delta(l)=Pl/EF, P-siła, l-odległość, na jakiej działa siła, E-moduł Young a, F-pole przekroju).
Metodę superpozycji można stosować, gdy w żadnym punkcie układu wyjściowego naprężenia nie
przekraczają granicy proporcjonalności  sigma prop . Nie wolno stosować tej metody w
przypadkach, gdy działanie jednych sił zmienia charakter działania innych sił (np. nie można gdy
pręt jednocześnie ściskany jest siłą P i zginany siłą T, bo pod wpływem T siła P działa też
zginajÄ…co).
12.Dzięki czemu rozwiązujemy układy statycznie nie rozwiązalne??
Układ statystycznie nie wyznaczalny to taki układ w którym liczba niewiadomych reakcji jest
większa od znanej ze statyki liczby warunków równowagi. Układy takie są nierozwiązalne na
gruncie statyki ciał doskonale sztywnych, ale takie przypadki można rozwiązać uwzględniając
odkształcenia ciał wchodzących w skład tego układu. Odkształcenia można przyjmować dowolnie,
ale zgodnie z nałożonymi więzami, a ich reakcje muszą opowiadać przyjętym odkształceniom - np.
jeżeli pręt się wydłuża to musi wystąpić siła rozciągająca.
Przykład  lekka niewyznaczalna belka AD podparta przegubowo w punkcie A, zawieszona na
dwóch jednakowych prętach o sztywności rozciągania EF i długości l0, obciążone siłą Q. Chcemy
wyznaczyć siły w prętach oraz reakcję w przegubie A. Mamy 4 niewiadome (dwie siły w prętach,
dwie składowe reakcji w przegubie A), a tylko 3 równania równowagi. Dodatkową reakcję
zyskujemy dzięki porównaniu odkształceń.
Pod
działaniem Q belka obróci się o pewien kąt dookoła przegubu A, a wydłużenia prętów wyniosą
odpowiednio "l1 i "l2. Wobec czego w prętach wystąpią siły rozciągające S1 i S2.
Dla rozpatrzonego układu piszemy trzy równania równowagi:
Brakuje nam jednak jednego równania do wyliczenia wszystkich niewiadomych tak więc
porównujemy odkształcenia:
Dlatego 2"l1="l2, a po zastosowaniu prawa Hooke a "l1=S1·l0/EF
l0  początkowa długość pręta
EF  pole przekroju poprzecznego razy odwrócony wsp. charakteryzujący materiał (E = 1/K )
Po podstawieniu do równań równowagi :
S1=3/10 Q
S2=3/5 Q
RAx=0
RAy=1/10 Q
13. Podać wzór i graficzną ilustrację energii odkształcania sprężystego w pręcie rozciąganym.
L= Pstat2*(l/2EF)=  stat2*(EF/2L)= (Pstat*  stat)/2
14. Wyprowadzić wzory na naprężenia normalne i styczne dla jednokierunkowego stanu
naprężenia. Określić zasady ustalania znaków dla naprężeń. Podać kiedy i jakie naprężenia są
sobie równe.
ÃÄ…=pÄ…cosÄ…
ÃÄ…=Ãcos2Ä…
Ã90°+Ä…= Ãcos2(90°+ Ä…)= Ãsin2 Ä…
Ã180°+Ä…= ÃÄ…
Ã270°+Ä…= Ãsin2 Ä…
ÄÄ…=pÄ…sinÄ…
ÄÄ…=(1/2)Ãsin2Ä…
Ä90°+Ä…=(1/2)Ãsin[2(90°+ Ä…)]=(1/2) Ãsin(180°+2Ä…)= - (1/2) Ãsin2Ä…= - ÄÄ…
Ä180°+Ä…=+ ÄÄ…
Ä270°+Ä…= - ÄÄ…
DodatniÄ… wartość naprężeÅ„ normalnych à przypisywać bÄ™dziemy naprężeniom rozciÄ…gajÄ…cym, czyli
majÄ…cym zwrot zgodny z kierunkiem normalnej zewnÄ™trznej. DodatniÄ… wartość naprężeÅ„ tnÄ…cych Ä
przypisywać będziemy naprężeniom usiłującym obrócić rozpatrywaną część w kierunku zgodnym z
ruchem wskazówek zegara.
*Naprężenia normalne oraz naprężenia styczne występujące na dwóch równoległych do siebie
przekrojach są odpowiednio równe:
ÃÄ… =Ã180°+Ä…
ÄÄ…= Ä180°+Ä…
*Na dwóch wzajemnie prostopadłych ścianach naprężenia styczne prostopadłe do krawędzi
przecięcia są równe co do wartości bezwzględnej i skierowane albo do wspólnej krawędzi, albo od
tej krawędzi (aksjomat Boltzmanna):
ÄÄ…= Ä90°+Ä…
15. Na przykładzie dwukierunkowego stanu napięcia wyjaśnić zasadę superpozycji oraz
wyprowadzić wzory na naprężenia i
Rozpatrujemy prostokątny arkusz blachy poddany działaniu naprężeń w kierunku 1 i w
kierunku 2. Aby obliczyć naprężenia w przekroju nachylonym do przekroju poprzecznego pod
kątem , czyli i zastosujemy zasadę superpozycji. Skutki jednoczesnego działania wielu
sił (obciążeń) na układ jest prostą sumą skutków działania wszystkich sił (obciążeń) z osobna. Układ
zasadniczy zastępujemy złożeniem układów 1 i 2 ( jest to superpozycja układu 1 obciążonego
samymi tylko naprężeniami oraz układu 2 obciążonego naprężeniami ). Wykorzystujemy
wzory otrzymane dla jednokierunkowego układu naprężeń.
Układ 1:  =  =
Układ 2:
 = [-(90º- Ä…)]= (90 º- Ä…)=
  = [-2(90 º- Ä…)]= -
Naprężenia w układzie zasadniczym są równe sumie naprężeń otrzymanych dla obu układów
składowych.
=  +   =  +  
16: Wyjaśnić zasady konstrukcji koła Mohra dla płaskiego stanu naprężenia.
Rozpatrzmy naprężenia wynikajÄ…ce z przekroju a-b. Odczytujemy sð1,sð2,að, przy czym sð1>ðsð2 a
n^ða-ðb
Tworzymy prostokÄ…tny ukÅ‚ad współrzÄ™dnych Ã, Ä i na osi odciÄ™tych umieszczamy punkt C odlegÅ‚y
od środka układu współrzędnych o odległość:
1
OC=ð (sð1+ðsð2)
2
Następnie z punktu C zakreślamy okrąg o promieniu równym:
1
r=ð (sð1-ðsð2)
2
Teraz odmierzamy kÄ…t 2að od punktu C, zgodnie z kierunkiem trygonometrycznym. W miejscu
przecięcia ramienia kąta z okręgiem otrzymujemy punkt N.
Wysokość punktu N odpowiada wartoÅ›ci tðað, natomiast jego odlegÅ‚ość od osi rzÄ™dnych odpowiada
wartoÅ›ci sðn .
Stąd wynikają poniższe wzory:
1
tðað=ðr*ðsin(2að)=ð (sð1-ðsð2)*sin(2að)
2
1
sðn=ðr*ðcos(2að)=ð (sð1-ðsð2)*cos(2að)
2
18. Jak wyznaczyć(za pomocą koła Mohra) naprężenia główne jeżeli są dane ?
Mając dane i chcąc wyznaczyć naprężenia główne dla takiego układu, najpierw obieramy
ukÅ‚ad osi współrzÄ™dnych Ã, Ä i na osi à w odlegÅ‚oÅ›ci od poczÄ…tku O ukÅ‚adu wyznaczamy punkt A,
a w odległości - punkt B. Naprężenie styczne jeśli jest dodatnie na ściance a-b to odkładamy
wartość +Ä w górÄ™ od punktu A i otrzymujemy punkt N, z punktu B zaÅ› odmierzamy -Ä i
otrzymujemy punkt K. A
ączymy punkty N i K prostą, która jest średnicą koła Mohra dla danego
układu i otrzymujemy punkt C(środek koła Mohra) oraz punkty , odpowiadające kierunkom i
naprężeniom głównym. Wartości liczbowe tych naprężeń są odpowiednio równe współrzędnym
punktów , koła Mohra. Z rysunku widzimy, że:
Ponieważ:
znajÄ…c zatem oraz Ä możemy naprężenia główne obliczyć ze wzorów:
20. Napisać wzory na prawo Hook a dla dwukierunkowego stanu napięcia.
Gdzie; sigma 1, sigma2  naprężenia główne, E-moduł Younga, v- liczba Poissona, epsilon 1,2,3-
wydłużenia
Wyliczamy je z analizy odkształceń w płaskim stanie napięcia. Jest to suma odkształceń kostki
rozciÄ…ganej naprężeniami sð1ð i sð2ð
.ð
21. Podać wzory na prawo Hooke a dla trójwymiarowego stanu napięcia.
Prawo Hooke a dla ogólnego, trójwymiarowego układu naprężeń w przypadku materiału
izotropowego może być zapisane w postaci układu równań:
dla odkształceń liniowych:
1
eðx=ð [sðx-ð(sðy+ðsðz )]
E
1
eðy=ð [sðy-ð(sðz+ðsðx )]
E
1
eðz=ð [sðz-ð(sðx+ðsðy )]
E
dla odkształceń kątowych własnych:
tðxy
gðxy=ð
G
tðxz
gðxz=ð
G
tðyz
gðyz=ð
G
gdzie:
µ  odksztaÅ‚cenie liniowe w punkcie,
à  naprężenie liniowe w punkcie,
ł  odkształcenie postaciowe (kątowe) w punkcie,
Ä  naprężenie kÄ…towe w punkcie,
G  współczynnik sprężystości postaciowej (poprzecznej) lub moduł Kirchhoffa,
E  moduł Younga
½ - współczynnik Poissona.
22. Kiedy występuje czyste ścinanie? Przedstawić koło Mohra dla czystego ścinania i wykazać
analitycznie że przy kącie a Prawo Hooke'a dla czystego ścinania.
Stan naprężenia w przekrojach, w których występują tylko naprężenia styczne, nazywamy czystym
ścinaniem. Można to uzyskać przez rozciąganie i ściskanie naprężeniami równymi co do
bezwzględnej wartości, działającymi w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach.
Prawo Hooke'a dla czystego ścinania:
Jeżeli rozpatrzymy kostkę sześcienną w stanie czystego ścinania, to stwierdzimy przejście sześcianu
w równoległościan. Ściany sześcianu pozostaną w dalszym ciągu płaskie, a kąty proste ulegną
odkształceniu o kąt g.
- dla Ä… = /4, naprężenia normalne à = +à oraz = -à analitycznie wykazujemy, że:
23. Podać wzór określający związek pomiędzy modułami sprężystości G i E.
Øð G- moduÅ‚ Kirchoffa; moduÅ‚ sprężystoÅ›ci postaciowej Kirchoffa, uzależnia naprężenia tnÄ…ce
(Ä) od kÄ…ta odksztaÅ‚cenia postaciowego (Å‚) : ; [N/m2- G ma wymiar naprężeÅ„];
występuje przy ścinaniu (moduł sprężystości poprzecznej),
Øð E- moduÅ‚ Younga; uzależnia naprężenia (Ã) od wydÅ‚użenia wzglÄ™dnego (jednostkowego) (µ)
: ; [N/m2- E ma wymiar naprężeń]; występuje przy rozciąganiu (moduł sprężystości
podłużnej),
Øð v- liczba Poissona [patrz punkt 19].
24. Podać zasady i wzory na uproszczone obliczenia na ścinanie. Podać warunek wytrzymałości
na ścinanie oraz wyjaśnić, jak ustala się wartość naprężenia dopuszczalnego kt
Ścinanie czyste występuje rzadko w praktyce, zwykle oprócz naprężeń stycznych występują
naprężenia normalne, jeśli naprężenia styczne (tnące) są znacznie większe od normalnych wtedy
warunek bezpieczeÅ„stwa sprowadza siÄ™ do sprawdzenia kryterium, czy naprężenia tnÄ…ce (Ä)
nie przekraczają wartości naprężeń dopuszczalnych na ścinanie (kt).
Umówmy uproszczone obliczenia na ścinanie na przykładzie sworznia łączącego płaskownik
środkowy(grubość g) z dwoma jednakowymi płaskownikami(grubość h). Płaskownik środkowy
rozciągamy z siłą P, wskutek połączenia z zewnętrznymi płaskownikami sworzniem, zewnętrzne
będą rozciągane siłą P/2 [4.4a]. W miarę zwiększania siły P, dojdzie do zniszczenia sworznia
(poślizg/ścięcie przekrojów poprzecznych) [4.4b]. W przekrojach tych działają równe siły (T1, T2)
równoważące siłę P [4.4c].
.
W przekrojach powstanÄ… naprężenia tnÄ…ce Ä1 i Ä2 [4.4d], których nierównomierny rozkÅ‚ad uogólnia
się do postaci średniej wartości naprężenia tnącego:
, gdzie
·ð T- siÅ‚a tnÄ…ca wystÄ™pujÄ…ca w przekroju poprzecznym,
·ð F- pole powierzchni przekroju poprzecznego.
(W odniesieniu do przykładu, działaniu siły P ulegały równoczesnemu ścinaniu dwa przekroje
poprzeczne sworznia, siła tnąca w każdym przekroju T=P/2, przekrój poprzeczny dla jednego =F, co
dla dwóch wychodzi: .)
Warunek wytrzymałości elementu ścinanego:
·ð kt- naprężenia dopuszczalne na Å›cinanie; ustala siÄ™ ze wzoru:
Uproszczony sposób obliczeń na ścinanie głównie dla połączeń nitowanych, śrubowych, klinowych,
spawanych.
25. podac wzory na maksymalne naprężenie Ämax i kÄ…t skrecenia przy skrecaniu preta. Co
rozumiemy pod pojeciem  biegunowego momentu bezwładności przekroju ?
Ämax=r*Ms/J0
r-promien przekroju preta
Ms-moment skręcający
J0- biegunowy moment bezwładności przekroju
[kat skrecenie fi]=Msl/GJ0 (nie znalazłam literki fi:D)
Ms-moment skręcający
l-dlugosc preta
J0- biegunowy moment bezwładności przekroju
G-modul odkształcenia postaciowego
Biegunowy moment bezwładności przekroju  calka będą funkcja wymiarow przekroju
poprzecznego preta
J0=/Á*dF ( calka od F)
dF-nieskonczenie maly element przekroju poprzecznego preta
Á-odleglosc wlokna od osi preta
26.podac wzory na obliczanie na warunek bezpiecznej pracy pretow (Ämax fidop) skrecanych i
wskaz
nik wytrzymałości na skrecanie.
*Ämax=Ms/W0d"k
Ms-moment skręcający
W0-wskaznik wytrzymałości na skrecanie
k-wartosc naprężeń dopuszczalnych na skrecanie
aby skrecany pret mogl pracowac bezpiecznie maksymalne naprężenia tnace Ämax nie mogÄ…
przekroczyc wartości naprężeń dopuszczalnych
*Msl/GJ0d" fidop
Ms-moment skręcający
l-dlugosc preta
J0- biegunowy moment bezwładności przekroju
G-modul odkształcenia postaciowego
Warunek sztywności  kat skrecenia przypadajacy na jednostke długości preta nie może być wiekszy
od kata skrecenia preta
*W0=J0/Ámax= J0/r
W0-wskaznik wytrzymałości na skrecanie
J0- biegunowy moment bezwładności przekroju
Ámax- odlegÅ‚ość najdalszego wlokna od osi preta
wskaz
nik wytrzymałości na skrecanie jest to iloraz biegunowego momentu bezwładności przekroju
J0 i odlegÅ‚oÅ›ci najdalszego wlokna od osi preta Ámax
27. Podać wzór na energię sprężystą w pręcie skręcanym
 kąt o jaki pręt zostaje skręcony
L  praca wykonana przez siły skręcające
V  energia sprężysta
L  długość pręta
28.
D  średnica zewnętrzna wału d  średnica wewnętrzna wału
29. Wyprowadzić wzór na naprężenia w sprężynach śrubowych.
Aby
zachodziła równowaga dolnej części sprężyny, w rozpatrywanym przekroju górna część musi działać
na część dolną siłą P oraz parą sił o momencie . Rozkładając siłę P i wektor M momentu na
kierunek normalnej i stycznej do przekroju widzimy, że występują:
·ð SiÅ‚a normalna (rozciÄ…gajÄ…ca),
·ð SiÅ‚a tnÄ…ca ,
·ð Moment skrÄ™cajÄ…cy ,
·ð Moment gnÄ…cy .
W przypadku sprężyn o małym kącie nachylenia linii śrubowej przyjmuje się , a więc
oraz . Przy tym założeniu naprężenia w rozpatrywanym przekroju sprowadzają się do
jednej siły tnącej oraz jednej pary sił o momencie skręcającym . Zgodnie ze
wzorem na średnią wartość naprężenia tnącego:
Å›
·ð T - siÅ‚a tnÄ…ca,
·ð F - pole powierzchni przekroju poprzecznego.
W naszym przypadku średnia wartość naprężeń tnących wynikających z działania siły tnącej T=P
wynosi:
Naprężenia maksymalne wynikające z działania momentu skręcającego mają wartość:
Naprężenia są jednakowe w każdym punkcie przekroju, a naprężenia są proporcjonalne do
odległości od środka drutu. Dlatego też największe naprężenia tnące występują w punkcie A
przekroju poprzecznego drutu. Naprężenie wypadkowe będzie sumą geometryczną naprężeń i i
wyniesie:
Dla uproszczenia pomija się jedność występującą w nawiasie i naprężenia tnące w sprężynach
śrubowych oblicza się z zależności:
W powyższym wzorze pominięty został wpływ siły tnącej, uwzględniono jedynie naprężenia od
skręcania , gdzie , dla drutu okrągłego
.
30. Wyprowadzić wzór na odkształcenie sprężyny śrubowej.
Aby wyznaczyć wydłużenie  sprężyny śrubowej, musimy zauważyć, że na skutek momentu
skręcającego średnica AB obróci się o kąt skręcania Ć określony wzorem:
Gdzie:
·ð - dÅ‚ugość drutu dolnej części sprężyny ( )
Aby wyznaczyć wydłużenie  całej sprężyny, należy do wzoru podstawić całkowity kąt skręcenia
drutu :
Biegunowy moment bezwładności wynosi , a , więc:
Jeśli wprowadzimy średnicę sprężyny , wydłużenie wyrazi się wzorem:
Powyższy wzór można przedstawić w taki sposób, że wydłużenie sprężyny jest wprost
proporcjonalne do siły działającej P:
Gdzie:
·ð c  współczynnik proporcjonalnoÅ›ci, zwany staÅ‚Ä… sprężyny ( )
31. Rodzaje zginania i zasady ustalania znaków sił normalnych i stycznych oraz momentów
gnÄ…cych.
Rodzaje zginania:
- zginanie czyste  jeżeli w danym przekroju układ sił zewnętrznych sprowadza się do jednej tylko
składowej Mg
- zginanie z udziałem sił poprzecznych  jeżeli oprócz jednej składowej Mg istnieje również siła
tnÄ…ca T
- płaskie(proste)  jeżeli siła tnąca T oraz para sił powodująca zginanie pręta działają w jednej
płaszczyz
nie zawierającej osie główne centralne przekrojów poprzecznych pręta; występuje gdy
płaszczyzna zginania pokrywa się z płaszczyzną główną zawierającą oś pręta; oś pręta poddanego
zginaniu pozostaje w tej płaszczyz
nie
- ukośne  jeżeli nie jest spełniony warunek zginania płaskiego, początkowo prosta oś zginanego
pręta staje się krzywą przestrzenną
Ustalanie znaków:
1. Siłę normalną N uważać będziemy za dodatnią, jeżeli ma zwrot zgodny ze zwrotem
normalnej zewnętrznej danego przekroju belki.
2. Siłę tnącą T uważać będziemy za dodatnią, jeżeli wycięty w myśli element belki siła ta
będzie się starała obrócić zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
3. Moment gnący Mg uważać będziemy za dodatni, jeżeli wycięty w myśli element belki stara
się wygiąć wypukłością do dołu.
32. Podać wzory określające związek między siłą tnącą, momentem gnącym i obciążeniem
ciągłym przy zginaniu belek.
Natężenie qx obciążenia ciągłego jest równe pochodnej siły tnącej T (względem współrzędnej x),
wziętej ze znakiem minus, co wynika ze zwrotu obciążenia qx w dół oraz z przyjętej umowy
dotyczącej znaków sił tnących.
qx= - dT/dx
Siła tnąca T jest równa pochodnej momentu gnącego Mg (względem współrzędnej x).
T= dMg/dx
35. O czym świadczy zerowa wartość  statycznego momentu przekroju pręta zginanego? (str.
104)
ydF = 0
+"
F
Całka ta jest znanym z mechaniki momentem statycznym przekroju. Jest ona równa zeru względem
każdej osi przechodzącej przez środek ciężkości, zatem wynik ten oznacza, że warstwa obojętna
przechodzi przez środek ciężkości przekrojów poprzecznych pręta.
36. Od czego zależy wartość naprężenia w poszczególnych włóknach pręta zginanego?
(str. 106)
Naprężenia w poszczególnych włóknach pręta są proporcjonalne do odległości tych włókien od osi
(lub też od warstwy) obojętnej a więc w ogólnym przypadku, dla przekrojów niesymetrycznych
względem osi obojętnej, największe naprężenia rozciągające mogą mieć inną wartość bezwzględną
niż największe naprężenia ściskające.
Materiały kruche (żeliwo, beton, cegła, kamień) mają większe naprężenia dopuszczalne na ściskanie
kc niż na rozciąganie kr. Dla tych materiałów należy sprawdzić dwa warunki wytrzymałościowe:
1) dla włókien rozciąganych
M Å"y1
g
ÈÄ…g1 = Ä…Ä… k
r
I
Z
2) dla włókien ściskanych
M "y2
g
ÈÄ…g2 = Ä…Ä… k
c
I
Z
gdzie
y1 jest odległością od osi obojętnej najdalszego włókna rozciąganego,
y2 jest odległością od osi obojętnej najdalszego włókna ściskanego.
37. Podać przykłady belek o równomiernej wytrzymałości
Belka wspornikowa w kształcie prostokąta o stałej wysokości
h, a zmiennej szerokości bx. Wskaz
nik wytrzymałości na
zginanie w przekroju Wx=1/6bxh2
Belka wspornikowa w kształcie prostokąta o stałej szerokości
b i zmiennej wysokości hx. Wskaz
nik Wx=1/6bhx2
Belka wspornikowa o przekroju kołowym.
rys. 8.12 Przykłady realizacji belek o równej wytrzymałości
Belka wspornikowa o uproszczonym kształcie, opisana na profilu teoretycznym (rys.8.12a)
Resory pojazdów złożone z kilku piór, na przykład o jednakowej grubości i szerokości, a
odpowiednio dobranej długości (rys. 8.12b)
38. Kiedy mówimy o zginaniu ukośnym i jak określamy naprężenia spowodowane takim
zginaniem?
Zginanie ukośne powstaje wówczas, gdy para sił wywołująca zginanie nie działa
w płaszczyz
nie zawierającej główne centralne osie bezwładności przekrojów poprzecznych pręta. W
takim przypadku wektor Mg momentu gnącego nie pokrywa się z kierunkiem osi głównych
przekrojów poprzecznych. Jeżeli wektor Mg momentu gnÄ…cego tworzy kÄ…t að z osiÄ… y, to moment ten
możemy rozłożyć na dwie składowe:
My = Mgcosað
Mz = Mgsinað
i występujące tu zginanie ukośne traktować jako superpozycję dwóch zginań prostych.
W dowolnym punkcie A przekroju o dodatnich współrzędnych y, z na skutek działania dodatniego
momentu My, powstaną naprężenia ściskające o wartości
Podobnie na skutek działania dodatniego wektora momentu Mg w punkcie A powstaną naprężenia
rozciągające o wartości
Przy równoczesnym działaniu obu momentów My i Mz naprężenia w punkcie A wynoszą:
39. Wymienić i podać zakres zastosowań hipotez wytrzymałościowych
1. Hipoteza największych naprężeń normalnych smax (stosuje się do materiałów kruchych
(kamień, beton))
2. Hipoteza największego wydłużenia względnego emax (stosuje się do materiałów kruchych
(kamień, beton, żelazo itp.))
3. Hipoteza największych naprężeń tnących lmax (materiały plastyczne)
4. Hipoteza Hubera (materiały plastyczne)
Naprężeniem zredukowanym sred nazywamy naprężenie otrzymane po zastosowaniu przyjętej
hipotezy wytrzymałościowej dla danego trójkierunkowego stanu naprężeń, której jest równoważne z
naprężeniem przy zwykłym. Obliczenia wytrzymałościowe dla dowolnego przestrzennego stanu
naprężeń sprowadzają się wówczas do sprawdzenia warunku:
Warunek ten, zgodnie z omówionymi hipotezami, będzie miał postać (dla s1 ł s2 ł s3):
1. hipoteza s max
dla rozciÄ…gania: sred = s1d" kr
dla ściskania sred=|s3| d" kg
2. hipoteza emax
sred=s1 - v(s2 + s3)d" kr
3. hipoteza t max
sred=s1 - s3 d" kr
4. hipoteza Hubera
Dla stanu czystego ścinania naprężeniami r obliczenia wytrzymałościowe dla kolejnych hipotez
sprowadzajÄ… siÄ™ do warunku:
1. hipoteza s max
sred = t d" kr
2. hipoteza emax
sred= t -v(-t )=t (1+v) d"kr
3. hipoteza t max
sred= t-(- t)=2t d"kr
4. hipoteza Hubera
sred= d"kr
40. Określ wady (ograniczenia) i zalety poszczególnych hipotez wytrzymałościowych ( smax, emax,
tmax, Hipotezy Huberta).
smax  hipoteza największych naprężeń normalnych,
Wady:
- ma znaczenie głównie historyczne, czasami stosowana do materiałów kruchych( kamień, beton)
- w wielu przypadkach nie pokrywa się z doświadczeniami
- zawodzi gdy materiał jest poddany ze wszystkich stron działaniu jednakowych naprężeń
normalnych ( rozciągających lub ściskających)
Zalety:
- proste obliczenie naprężeń zredukowanych, które wynoszą: dla rozciągania sred= s1 kr, dla
ściskania sred=| s3| kr
emax  hipoteza największego wydłużenia
Wady:
- zawodzi gdy materiał jest poddany ze wszystkich stron działaniu jednakowych naprężeń
normalnych (rozciągających lub ścinających)
Hipoteza tmax  hipoteza największych naprężeń tnących
Zalety:
- stwierdzono, że kostka sześcienna może być poddana działaniu cieśnienia hydrostatycznego
wielokrotnie większego od wytrzymałości materiału na ściskanie Rc, a mimo to w żadnym punkcie
nie powstaną ani odkształcenia plastyczne ani rozkruszenie materiału. Cechą charakterystyczną
wyróżniającą taki stan naprężeń jest między innymi to, że koło Mohra dla każdego stanu jest
punktem (s1 =s2 =s3)
- wyniki tej hipotezy wykazują większą zgodność z doświadczeniem, szczególnie dla materiałów
plastycznych (stal niskowęglowa)
- obecnie hipoteza tmax jest szeroko stosowana, na równi z hipotezą Huberta
- naprężenia zredukowane oblicza się za pomocą prostego wzoru sred= s1-s3 kr (co ułatwia
obliczenia)
- najkorzystniejsza dla materiałów wykazujących inne właściwości na rozciąganie i ściskanie
Hipoteza Huberta:
Zalety:
- Wartość wynikająca z hipotezy Huberta najlepiej zgadza się z wynikami doświadczenia
dotyczących materiałów plastycznych wykazujących jednakowe własności na rozciąganie i ściskanie
(np. stale, plastyczne stopy miedzy, aluminium)
41. Co przemawia na korzyść hipotezy Hubera?
Wartość naprężenia dopuszczalnego wynikająca z hipotezy Hubera najlepiej zgadza się z wynikami
doświadczeń dotyczącymi materiałów plastycznych wykazujących jednakowe własności na rozciąganie i
ściskanie (np. stale, plastyczne stopy miedzi, aluminium itp.).
42. Podać warunki zniszczenia (uplastycznienia) jednostkowej kostki sześciennej poddanej
trójkierunkowemu działaniu naprężeń rozciągających  według poszczególnych hipotez (przy założeniu
że sð2=2/3sð1, sð3=1/3sð1).
1. hipoteza Ãmax
sð1=sðpl
2. hipoteza Ä max
sð2=1,43sðpl
3. hipoteza Hubera
sð1=1,50sðpl
4. hipoteza µmax
sð1=1,73sðpl
43. Czym się różni naprężenie dopuszczalne od naprężenia zredukowanego? Jaki warunek
muszą spełniać naprężenia zredukowane?
Naprężeniem zastępczym lub zredukowanym sigma0 nazywamy naprężenie przy jednoosiowym rozciąganiu,
równoważne wytężeniowo danemu stanowi naprężeń złożonych. Obliczenia wytrzymałościowe dla
dowolnego przestrzennego stanu naprężeń sprowadzają się wówczas do sprawdzenia warunku (inaczej,
warunku bezpieczeństwa):
Jeżeli naprężenia w rozpatrywanym przekroju są wynikiem działania wielu rodzajów obciążeń, to:
·ð gdy naprężenia sÄ… tego samego rodzaju (wszystkie naprężenia normalne lub styczne), to
naprężenie zastępcze jest sumą algebraiczną tych naprężeń,
·ð gdy naprężenia sÄ… różnego rodzaju, to naprężenie zastÄ™pcze wyznaczamy, korzystajÄ…c z
którejś hipotezy wytrzymałościowej.
Podstawą obliczeń wytrzymałościowych jest upewnienie się, iż naprężenie zastępcze jest mniejsze
od naprężenia dopuszczalnego k
Ãred < k
Naprężenie dopuszczalne wyznacza się z zależności:
Gdzie:
Ãnieb - naprężenie niebezpieczne  w zależnoÅ›ci od rodzaju materiaÅ‚u jest nim wytrzymaÅ‚oÅ›ciÄ…
na rozciąganie (dla materiałów plastycznych) lub naprężeniem rozrywającym dla materiałów
kruchych.
x  współczynnik bezpieczeństwa
43. Czym różni się naprężenie dopuszczalne od naprężenia zredukowanego? Jaki warunek
muszą spełniać naprężenia zredukowane.
Naprężenie dopuszczalne jest to wartość naprężenia, które zabezpiecza dany element konstrukcji lub
maszyn, w warunkach normalnej pracy, przed osiągnięciem granicznej wartości, po której dany
element mógłby ulec zerwaniu.
s= d" kr
Naprężenie zredukowane to umowne naprężenie otrzymane po zastosowaniu przyjętej hipotezy
wytrzymałościowej dla danego trójkierunkowego stanu naprężeń, które jest równoważone z
naprężeniem przy zwykłym rozciąganiu.
Należy sprawdzić warunek (warunek, który muszą spełniać sred):
sred d" kr
44. Podać wzory na naprężenia zredukowane według hipotez wytrzymałościowych: smax emax
tmax.i hipotezy Hubera. Uczynić to dla przypadku s1 s2 s3 oraz dla czystego ścinania (s1=
+s=t, s2=0, s3=-s=-t).
Warunek ten w myśl kolejnych hipotez przybiera następującą postać.
dla s1 s2 s3
Øð WedÅ‚ug hipotezy smax
Dla rozciÄ…gania sred= s1d" kr
Dla ściskania sred= |s3|d" |ks|
Øð WedÅ‚ug hipotezy emax
sred= s1-"( s2+ s3) d" kr
Øð WedÅ‚ug hipotezy tmax
sred= ( s1-s3) d" kr
Øð WedÅ‚ug hipotezy Hubera
sred=
d" kr
Dla stanu czystego ścinania naprężeniami t, to jest dla s1= +s=t, s2=0, s3=-s=-t, obliczenia
wytrzymałościowego według kolejnych hipotez sprowadzają się do warunku:
1) Według hipotezy smax
sred= t d" kr
2) Według hipotezy emax
sred= t-"(- t)= t(1+")d" kr
3) Według hipotezy tmax
sred= t-(- t)= 2td" kr
4) Według hipotezy Hubera
sred= = d" kr
(t= t s=s bo w równaniach nie dało rady greckich znaków)
44. Podaj wzory na naprężenia zredukowane wedÅ‚ug hipotez wytrzymaÅ‚oÅ›ciowych (µmax, Ämax,
Ãmax, Hubera). Uczynić to dla przypadków Ã1>Ã2>Ã3 oraz dla czystego Å›cinania (Ã1 = +à = Ä,
Ã2=0, Ã3 = -Ã = -Ä).
1. hipoteza Ãmax
4. hipoteza Ä max
5. hipoteza Hubera
4. hipoteza µmax
Ãred = Ã1  Å(Ã2+Ã3) [ð kr
Dla czystego ścinania:
1. hipoteza Ãmax
Ãred = Ä [ð kr
2. hipoteza Ä max
Ãred =Ä-(- Ä)= 2 Ä [ð kr
3. hipoteza Hubera
Ãred=[ ½ * [Ä2 + Ä2 + (2Ä)2]]^1/2 = Ä [ð kr
4. hipoteza µmax
Ãred = Ä  Å(-Ä) = Ä(1+Å) [ð kr
45.Zdefiniowac współczynnik kształtu dla drewna, stali i stopów aluminium.
Istotne pole przekroju A, nie kształt
Istotne pole przekroju A oraz kształt przekroju
wyrażony przez momenty bezwładności IXX,IYY
Istotne pole przekroju A i moment biegunowy
J(kształt przekroju)
Istotne pole przekroju A i moment IXX(kształt
przekroju)
*Do podstawowych zagadnień doboru dla elementów typu belka potrzebne są 4 wskaz
niki kształtu
przekroju:
" Zginanie w zakresie odkształceń sprężystych: ĆBe
" Skręcanie w zakresie odkształceń sprężystych: ĆTe
" Wytrzymałość na zginanie: ĆBf
" Wytrzymałość na skręcanie: ĆTf
Wskaz
nik kształtu przekroju dla zginania w zakresie odkształceń sprężystych
S sztywność przy zginaniu ukształtowanego elementu
S0-sztywnośćprzy zginaniu nie ukształtowanego elementu (przekrój kołowy)
S = E I
Wskaz
nik kształtu przekroju jest niezależny od wielkości a jedynie od kształtu
Dla wszystkich współczynników pełen przekrój
okrągły ma wartość współczynnika 1.Każdy z
powyższych przekrojów ma sztywność10 razy większą
niż pełen przekrój okrągły.
Zginanie sprężyste
I0 = =
ĆBe =
ĆBe =12 * 1,125 = 13,5
Dobór najlepszego materiału i kształtu na lekką i sztywna belkę
Masa jest minimalna gdy minimalna jest wartość stosunku:
Przykłady wskaz
ników uwzględniających kształt przekroju
Dla lekkiej, sztywnej belki zginanej wskaz
nik funkcjonalności:
- nie uwzględniający kształtu: M=
- uwzględniając kształt: M=
Współczynnik kształtu musi uwzględniać dla przypadku zginania moment geometryczny
bezwładności
(dla belki prostokÄ…tnej Ixx= bh3/12)
Współczynnik kształtu dla przekroju ukształtowanego wewnętrznie (np. drewno):
Á-gÄ™stość drewna mierzona makroskopowo
Ás gÄ™stość Å›cian komórek drewna
Ixx= (Á/Ás) (bh3/12)
Wynikowy współczynnik kształtu dla drewnianej belki o przekroju prostokątnym:
Mikrostrukturalny współczynnik kształtu:
Materiały ukształtowane również mogą być dobierane w oparciu o wykresy np. sprężyste zginanie:
M =
E* =
46.Podac przykładowe wartości współczynników kształtu dla drewna, stali i stopów
aluminium.
Dane doświadczalne dotyczące maksymalnych wartości współczynników kształtu
Materiał Max ĆBe Max ĆTe Max ĆBf Max ĆTf
Stal konstrukcyjna 65 25 13 7
Stopy aluminium 44 31 18 8
Drewno (pełen
5 1 3 1
przekrój)