Automatyka i regulacja
automatyczna
Wykład 11
Modele dyskretne obiektów
regulacji
Modele dyskretne obiektu inercyjnego I rzędu
dy
T + y(t) = k0u(t)
dt
Dyskretne równanie wejścia - wyjścia
T
"y(nTp ) + y(nTp ) = k0u(nTp )
Tp
T
a[y(n) - y(n -1)] + y(n) = k0u(n) a =
Tp
"
def
U (z) =
Transformata Z "u(nT )z-n
p
n=0
2
Z{y(n -1)} = z-1Y (z) y(-1) = 0
a[Y (z) - z-1Y (z)] + Y (z) = k0U (z)
(a +1)Y (z) - az-1Y (z) = k0U (z)
Y (z) k0
=
U (z)
a +1- az-1
b0 k0 a
G(z) = b0 = a1 =
a +1 a +1
1- a1z-1
b0 k0 - a
G(z) = b0 = a1 =
a +1 a +1
1+ a1z-1
3
Modele dyskretne obiektu II rzędu
2
d y dy
a + b + cy(t) = k0u(t)
dt
dt2
a b
"2 y(n) + "y + cy(n) = k0u(n)
Tp Tp
2
d y(t) "2 y(n)
"2 y(n) = "y(n) - "y(n -1)
"2 y(n) = y(n) - y(n -1) -[y(n -1) - y(n - 2)]
"2 y(n) = y(n) - 2y(n -1) + y(n - 2)
4
y(n) + a1y(n -1) + a2 y(n - 2) = b0u(n)
Y (z) + a1z-1Y (z) + a2z-2Y (z) = b0U (z)
Y (z) b0
=
U (z)
1+ a1z-1 + a2z-2
b0
G(z) =
Transmitancja dyskretna
1+ a1z-1 + a2z-2
5
Modele dyskretne obiektu k-tego rzędu
Dyskretne równanie wejścia  wyjścia:
y(n) + a1y(n -1) + ... + ak -1y(n - k +1) + ak y(n - k) = b0u(n)
Transmitancja dyskretna:
b0
G(z) =
1+ a1z-1 + a2z-2 +š + ak z-k
6
W ogólnym przypadku:
y(n) + a1y(n -1) + ...+ ak -1y(n - k +1) + ak y(n - k) =
= b0u(n) + b1u(n -1) + ...+ bl-1u(n + l -1) + blu(n - l)
b0 + b1z-1 + b2z-2 +š + bl z-l
G(z) =
1+ a1z-1 + a2z-2 +š + ak z-k
7
"
"
"
"
Y (z) = G(z)U (z)
y(nTp ) = -
= -
= -
=
"g[(n - i)Tp ]u(iTp )
"
"
"
i=0
=
=
=
n-1
y(nTp ) =
"res[Y (z)z ]z=z
i
i
p-1
1 d
n-1 p n-1
res[Y (z)z ]z=z = lim [Y (z)(z - zi ) z ]
i p-1
zzi
( p -1)!
dz
Dla p = 1 (p  krotność bieguna funkcji Y(z) )
n-1 n-1
res[Y (z)z ]z=z = lim[Y (z)(z - zi )z ]
i
zzi
8
Dyskretne równania stanu i równanie wyjścia
y(n) + a1y(n -1) + ... + ak -1y(n - k +1) + ak y(n - k) = b0u(n)
y(n + k) + a1y(n + k -1) + ... + ak -1y(n +1) + ak y(n) = b0u(n)
x1(n) = y(n)
x2(n) = y(n +1) = x1(n +1)
x3(n) = y(n + 2) = x2(n +1)
Å›
xk (n) = y(n + k -1) = xk -1(n +1)
xk (n +1) + a1xk (n) + ... + ak -1x2 (n) + ak x1(n) = b0u(n)
xk (n +1) = -ak x1(n) - ak -1x2(n) - ... - a1xk (n) + b0u(n)
9
Dyskretne równania stanu
x1(n +1) = x2(n)
x2(n +1) = x3(n)
Å›
xk -1(n +1) = xk (n)
xk (n +1) = -ak x1(n) - ak -1x2(n) - ... - a1xk (n) + b0u(n)
- dyskretne równanie wyjścia
y(n) = x1(n)
Zapis wektorowo-macierzowy
x(n + 1) = Ax(n) + Bu(n)
dysketnych równań stanu
y(n) = C x(n)
i równania wyjścia
10
x1(n)
îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 0 š 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
x2 (n)
0 0 1 š 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł x(n) = Å›
A = Å› Å› Å› Å› Å›
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 0 š 0 1
(n)śł
ïÅ‚ śł
k
ïÅ‚x -1
ïÅ‚- ak - ak -1 - ak -2 š - a2 - a1śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ xk (n)
ðÅ‚ ûÅ‚
0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
0
ïÅ‚ śł
C = [1 0 š 0 0]
ïÅ‚ śł
B = Å›
ïÅ‚ śł
0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚b0 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
11
Wyznaczanie transmitancji dyskretnej na podstawie
równań stanu i równania wyjścia
x(n + 1) = Ax(n) + Bu(n)
y(n) = C x(n)
X (z) = (zI - A)-1 BU (z)
z X (z) = AX (z) + BU (z)
Y (z) = C X (z)
Y (z) = C(zI - A)-1 BU (z)
Y (z)
= C(zI - A)-1 B
U (z)
G(z) = C(zI - A)-1 B
12