Sygnały losowe i ich analiza
1
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Sygnały biologiczne
Modele deterministyczne Modele stochastyczne
s(t) n(t)
zakłócenia EMG
Sygnały biologiczne
EKG
(artefakty)
x(t)= s(t)+ n(t)
2
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Sygnał losowy a sygnał stochastyczny
sygnał
deterministyczny
(próbki można
przewidywać z dużą
dokładnością)
dokładnością)
sygnał losowy
?
(niemożliwe
przewidywanie
wartości próbek
t
sygnału, można tylko
0
t=t0
określić zadane
3
parametry sygnału)
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Sygnał losowy (parametry)
Dokładny przebieg sygnału losowego, nie jest możliwy
do wyznaczenia - można charakteryzować tylko jego
odpowiednio zdefiniowane parametry statystyczne.
Jako zapis (obserwacja) pewnego procesu losowego,
sygnał losowy można interpretować jako zmienną
sygnał losowy można interpretować jako zmienną
losową i opisywać ją za pomocą wielkości i zależności
probabilistycznych tj.
wartość oczekiwana,
odchylenie standardowe,
funkcja autokorelacji.
Dla stacjonarnych sygnałów losowych parametry te nie
zmieniajÄ… siÄ™ w funkcji czasu.
4
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Przykład - sygnał EEG
Dla sygnału elektroencelograficzego można
zastosować model stochastyczny.
Sygnał EEG jest wynikiem aktywności elektrycznej
wielkiej liczby* komórek neuronowych.
3 0
2 0
1 0
0
- 1 0
- 2 0
- 3 0
0 2 4 6 8 1 0 1 2
C z a s [ s ]
*)
W niektórych pracach dowodzi się, \
e procesy percepcji neuronowej polegajÄ…
5
na synchronizacji czasowej specjalizowanych populacji komórek neuronowych
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Sygnał losowy  wartość oczekiwana
Wartość oczekiwana - sygnał ciągły:
%MATLAB
+"
x=randn(1,1000);
E{x(t)}= xp(x)dx = x
srednia=mean(x);
+"
-"
Wartość oczekiwana (estymata)- sygnał dyskretny:
n=N n=N
1
E{x(n)}=
"x(n)p(n)= "x(n)= x
2N +1
n=- N n=- N
kolejne próbki sygnału są
6
jednakowo prawdopodobne
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Sygnał losowy - wariancja
Wariacja (średnia kwadratów odchyleń od
wartości oczekiwanej)- sygnał ciągły:
+"
2 2
2
{ }
à = E{[x(t)- x] }=
+"
+"[x(t)- x] p(x)dx
-"
%MATLAB
x=randn(1,1000);
Wariancja - sygnał dyskretny:
wariancja=std(x)^2;
n=N n=N
1 1
2
2 2
à =
"[x(n)- x] = "x (n)- x2
2N +1 2N +1
n=- N n=- N
7
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Sygnał losowy  funkcja autokorelacji
Funkcja autokorelacji - sygnał ciągły:
"
R(Ä )= x(t)x(t +Ä )dt
+"
-"
Funkcja autokorelacji (estymata) - sygnał dyskretny:
n="
%MATLAB
x=randn(1,1000);
R(m)=
"x(n)x(n + m)
R=xcorr(x);
n=-"
Pamiętaj o usunięciu składowej stałej sygnału!
Pamiętaj o usunięciu składowej stałej sygnału!
8
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Funkcja autokorelacji sygnału losowego
(rozkÅ‚ad Gaussa N(µ, Ã)=N(0,1))
1200
1000
800
600
600
400
200
0
-200
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
przesuniÄ™cie Ä
9
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Funkcja autokorelacji sygnału harmonicznego
6000
4000
2000
0
0
-2000
-4000
-6000
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
4
x 10
przesuniÄ™cie Ä
10
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Funkcja autokorelacji - ćwiczenie
Ćwiczenie komputerowe:
Ćwiczenie komputerowe: funkcja autokorelacji
1. Załaduj zadany sygnał EKG ( ecg_s.mat ).
2. Napisz procedurę do wyznaczania i wyświetlania
funkcji autokorelacji sygnału dyskretnego o
funkcji autokorelacji sygnału dyskretnego o
zadanej długości N.
3. Porównaj długość otrzymanej funkcji autokorelacji
z długością sygnału.
4. Jakie własności funkcji autokorelacji zauważasz?
5. Zastanów się jakie zastosowanie może mieć
funkcja autokorelacji w przetwarzaniu sygnałów?
11
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Funkcja autokorelacji sygnału EKG
6
x 10
6
5
4
3
2
1
0
-1
-15 -10 -5 0 5 10 15
przesuniÄ™cie Ä [s]
12
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Funkcja korelacji wzajemnej
Funkcja korelacji wzajemnej - sygnały ciągłe:
"
Rxy(Ä )= x(t)y(t +Ä )dt
+"
-"
-"
Funkcja korelacji wzajemnej - sygnały dyskretne:
n="
%MATLAB
Rxy(m)= help xcorr;
"x(n)y(n + m)
n=-" help xcov;
Pamiętaj o usunięciu składowej stałej sygnału!
Pamiętaj o usunięciu składowej stałej sygnału!
13
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Funkcja korelacji wzajemnej - ćwiczenie
Ćwiczenie komputerowe:
Ćwiczenie komputerowe: Detekcja zespołu QRS
za pomocÄ… wzorca QRS
1. Załaduj zadany sygnał EKG ( ecg_mit.mat ).
2. Wyznacz wzorzec zespołu QRS. Zastosuj ten
wzorzec do detekcji zespołów QRS w sygnale
EKG.
3. Zachowaj otrzymane wyniki do porównania z
innymi metodami detekcji zespołu QRS w sygnale
EKG.
14
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Funkcja korelacji wzajemnej
Funkcja korelacji wzajemnej
QRS pattern
400
300
ECG signal
1500
1400
200
1300
1200
1200
1100
100
1000
900
0
800
1000 1500 2000 2500 3000
sample
-100
-200
0 20 40
sample
15
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Funkcja korelacji wzajemnej
Funkcja korelacji wzajemnej
kor=xcorr(ECGsignal,QRSpattern);
1600 ECG signal
1400
1200
1000
5
x 10
15
800
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Cross correlation function
10
5
0
-5
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
16
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Funkcja korelacji wzajemnej
Funkcja korelacji wzajemnej
kor=xcorr(ECGsignal,QRSpattern);
ECG signal
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
5
x 10
15
400
Cross correlation function
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
10
5
0
-5
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
17
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Gęstość widmowa mocy sygnału losowego
(ang. power spectral density - PSD)
Funkcja autokorelacji sygnału losowego jest
przebiegiem deterministycznym zatem, można
wyznaczyć widmo Fouriera tego przebiegu i badać
rozkład mocy sygnału w dziedzinie częstotliwości
2
"
FT{Rxx(Ä )}= X ( jÉ)X ( jÉ)= X ( jÉ)
Ćwiczenie komputerowe:
Ćwiczenie komputerowe: Wyznacz PSD sygnału
EKG przez wyznaczenie kwadratu widma a następnie
zastosuj funkcję  psd . Porównaj otrzymane wyniki.
18
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Współczynnik korelacji
Podobieństwo dwóch sygnałów można badać za
pomocą współczynnika korelacji:
kowariancja
N
N
[ ( ) ][ ( ) ]
"[x(n)- x][y(n)- y]
Ã
xy
n=1
rxy = =
N N
à Ã
2 2
x y
"[x(n)- x] "[y(n)- y]
n=1 n=1
%MATLAB
-1 d" rxyd" 1
help corrcoef;
19
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Współczynnik korelacji
Ćwiczenie:
Ćwiczenie: Utwórz trzy wektory:
1. Wektor x1 którego elementami jest wzrost osób w
grupie wyrażony w metrach
2. Wektor x2 którego elementami jest waga osób wg
porządku z wektora x1 (nie oszukiwać!)
porządku z wektora x (nie oszukiwać!)
3. Wektor x3 którego elementami jest rozmiar buta
osób w grupie
Wyznacz: współczynniki korelacji pomiędzy tymi
wektorami i wskaż która para wektorów jest
 najbardziej podobna
20
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Współczynnik korelacji
Ćwiczenie:
Ćwiczenie: W sygnale  ecg_s.mat wyznacz
maksima kolejnych zespołów QRS.
Utwórz wzory kolejnych cykli EKG wybierając od 250
próbki przed maksimum QRS do 450 próbki po tym
maksimum.
maksimum.
0.3
Który z kolejnych cykli jest
0.2
0.1
najbardziej podobny do
0
-0.1
pierwszego cyklu EKG
-0.2
w tym zapisie? -0.3
-0.4
-0.5
-0.6
-0.7
0 100 200 300 400 500 600 700
21
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Rozkłady zmiennych losowych ciągłych
1
Å„Å‚
Rozkład równomierny dla x0 d" x d" x1
ôÅ‚
p(x)=
x1 - x0
òÅ‚
(jednostajny):
dla innych x
ôÅ‚
0
ół
2 x-µ
2 x-µ
-
Rozkład Laplace a: 1
Ã
p(x)= e
à 2
(x-µ )2
Rozkład normalny
-
1
2
2Ã
p(x)= e
(Gaussa):
à 2Ą
22
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Rozkłady zmiennych losowych
0.8
0.7
Laplace a
0.6
0.5
Gaussa
Gaussa
0.4
0.3
0.2
jednostajny
0.1
0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
23
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Szum o rozkładzie Gaussa (biały)
80
%MATLAB
60
sigma=1;
n=sigma*randn(1,1000);
40
hist(n,50);
20
figure, plot(n);
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
4
x = 0, Ã =1
2
0
-2
24
-4
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Szum o rozkładzie równomiernym
30
%MATLAB
25
zakres=1;
20
n=zakres*rand(1,1000);
15
hist(n,50);
10
figure, plot(n);
5
5
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
x =0.5!
0.8
0.6
0.4
0.2
25
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Proces Markowa
p[x(n)/ x(n -1), x(n - 2),K, x(1)]= p[x(n)/ x(n -1)]
1 6 0 0
RR
1 4 0 0
1 2 0 0
1 2 0 0
1 0 0 0
8 0 0
0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0
Czy ciÄ…g {RR1, RR2, & , RRn, & } jest procesem
Markowa?
26
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Rozkłady punktowe - rozkład Poissona
Rozkład Poissona ma zastosowanie w obserwacji
niezależnych zjawisk o małym prawdopodobieństwie
sukcesu (np. zjawiska rozpadu promieniotwórczego).
Prawdopodobieństwo zaobserwowania j zdarzeń w
zadanym przedziale czasu "t:
j
j
E(Z)= 
E(Z)= 
(" )
("t)
p[Z("t)= j]= e-"t ,  > 0
D2(Z)= 
j!
gdzie  oznacza średnią liczbę zdarzeń występujących
w czasie "t.
Zastosowanie: w modelowaniu interwałów R-R sygnału EKG,
sygnału EMG, serii impulsów wytwarzanych w komórkach
27
neuronowych, kontroli jakości, & .
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Rozkład Poissona
0.14
p[Z(t)= j]
0.25
0.12
0.2
0.1
=10
=3
0.15
0.08
0.06
0.1
0.04
0.04
0.05
0.02
0
0
0 5 10 15
0 5 10 15 20
j
j
Proces Poissona opisuje tzw. procesy bez pamięci, w
których liczba bieżących zdarzeń w jednostce czasu nie
zależy od ich liczby w przeszłości
28
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Przykład procesu Poissona
(Heart Rate Variability  HRV)
1 0 0
9 0
RR(n)
8 0
RR(n=250)
7 0
1 6 0 0
6 0
RR
1 4 0 0 5 0
4 0
4 0
1 2 0 0
3 0
1 0 0 0
1200
2 0
8 0 0 1000 1 0
0 2 0 0 0 4 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0
Liczba uderzeń serca na minutę
0
800
0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 5 0 0
n
600
400
200
0
29
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
Zagadnienie regresji liniowej
Rozpatrzmy przypadek regresji liniowej:
y = Ä…0 +Ä…1x + µ
gdzie:
x - zmienna niezależna,
y - zmienna zależna,
µ - zakłócenia (np. bÅ‚Ä…d pomiaru),
ą0, ą1 - współczynniki regresji.
30
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Estymacja liniowej funkcji regresji
Zadanie regresji:
Załóżmy, że mamy P obserwacji (x1, y1), (x2, y2), ..., (xP, yP),
poszukujemy współczynników a0, a1 , dla których uzyskamy
najdokładniejszy opis zależności pomiędzy zmiennymi x i y.
RozwiÄ…zanie:
Estymaty współczynników można wyznaczyć na drodze
poszukiwania minimum sumy kwadratów błędów:
µi = yi - (Ä…0 +Ä…1x) = yi - w
i
obserwacja model regresji liniowej
31
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Estymacja liniowej funkcji regresji
Suma kwadratów błędów (ang. summed squared error -
SSE)
2
P P
2
2
SSE =
SSE =
Ć Ć
Ć Ć
"µ = "(y - (Ä… +Ä… x ))
"µ = "(y - (Ä…0 +Ä…1xi ))
i i
i=1 i=1
zgodnie z ideÄ… metody sumy najmniejszych
kwadratów błędów zaproponowanej przez Gaussa w
XIX wieku; poszukujemy minimum tego wyrażenia.
32
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Estymacja liniowej funkcji regresji
Minimum znajdujemy wyznaczajÄ…c pochodne czÄ…stkowe
względem obu współczynników i przyrównujemy je do
zera:
P
"(SEE) " ëÅ‚
2
= ìÅ‚ ÷Å‚ =
Ć Ć
"(y -Ä…0 -Ä…1xi ) öÅ‚ 0
"Ä…0 "Ä…0 íÅ‚ i=1 i
Ć Ć
Å‚Å‚
tzw. układ normalny
równań
P
"(SEE) " ëÅ‚
2
= ìÅ‚ ÷Å‚ =
Ć Ć
"(y -Ä…0 -Ä…1xi ) öÅ‚ 0
"Ä…1 "Ä…1 íÅ‚ i=1 i
Ć Ć
Å‚Å‚
33
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Estymacja liniowej funkcji regresji
Układ normalny równań posiada rozwiązanie:
ą = yśr - ą1xśr
ą = yśr - ą1xśr
Ć Ć
Ć Ć
0
0
P
(xi - xśr )(yi - yśr )
"
i=1
Ä…1 =
Ć
P
2
(xi - xśr )
"
i=1
34
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Estymacja liniowej funkcji regresji
Regresja wyższych rzędów:
yi = Ä…0 +Ä…1xi1 +Ä…1xi1 +K+Ä…N xiN , i = 1,K, P
tj.
N
yi = Ä…0 + xij , i =1,K, P
yi = Ä…0 + xij , i =1,K, P
"Ä… j
"Ä… j
j=1
Podobnie jak dla regresji pierwszego rzędu, poszukujemy
współczynników przez przyrównanie do zera pochodnych
czÄ…stkowych:
"(SEE)
= 0, j = 0,KN
"Ä…
Ć
j
i otrzymujemy N+1 równań z N+1 niewiadomymi.
35
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Inne modele regresji
Regresja wielomianowa:
1 N
yi = Ä…0 +Ä…1xi1 +Ä…1xi2 +K+Ä…N xiN , i = 1,KP
2
Przykłady regresji nieliniowej:
Przykłady regresji nieliniowej:
1
yi = Ä…0eÄ… xi
i
yi = Ä…0Ä…1x
Ä…0
yi =
i
1+Ä…1ex
36
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Estymacja funkcji regresji
Ćwiczenie:
Ćwiczenie:
1. Dla wektorów x1, x2, x3 z danymi antropometrycznymi
wyznacz współczynniki regresji liniowej.
2. Czy regresja liniowa jest odpowiednim modelem dla
2. Czy regresja liniowa jest odpowiednim modelem dla
wszystkich badanych zależności?
37
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Sygnał jako odwzorowanie
dynamiki układu
Zmienne stanu opisujące reguły rządzące
przebiegiem badanego zjawiska:
v(t)= {v1(t),v2(t),K,vd (t)}" Åš
Reguły te można opisać za pomocą równania
różniczkowego:
dv
= g(v), v(t = 0)= vo
dt
a zbiór wektorów stanu będących jego rozwiązaniem
nazywamy trajektorią układu dynamicznego
38
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Sygnał jako odwzorowanie
dynamiki układu
Odwzorowanie przestrzeni zmiennych stanu Åš
badanego układu w zbiór sygnałów &!.
Odwzorowanie Õ :Åš &! y(t) = Õ(v(t))" &!
Układ Zbiór sygnałów
Åš
&!
39
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Rekonstrukcja trajektorii układu
dynamicznego
Takens (1981)udowodnił, że można odtwarzać
własności trajektorii układu dynamicznego na
podstawie próbek jednowymiarowego zapisu
aktywności badanego układu:
T
y(k) = [y(k), y(k - "t),K, y(k -(D -1)"t)]
dla odpowiednio dużego wymiaru D wektora
y(k) (ang. time delay embedding)
40
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Rekonstrukcja trajektorii układu
dynamicznego
Praktyczne znaczenie tw. Takensa dla badania
układów dynamicznych to dowód o istnieniu
zależności:
?
(( ) ) ( ( ))
y k + 1 "t = F y k
na podstawie, której można wyznaczać prognozę próbki
y(k+1)"t sygnału odwzorowującego zachowanie
badanego układu.
41
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Rekonstrukcja trajektorii
dla rytmu serca
x((k + 1)"t)
"t = 40ms
"t = 70ms
x(k"t)
Normalny rytm serca Fibrylacja komór
Fibrylacja komór
"t  pierwsze zero funkcji autokorelacji ciÄ…gu y(k)
42
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Rekonstrukcja trajektorii układu
dynamicznego
Ćwiczenie:
Ćwiczenie: Załaduj sygnał EKG  ecg_s.mat .
Wykreśl funkcje autokorelacji dla tego sygnału,
znajdz
przesuniecie "t dla którego ta funkcja zeruje
się. Przesunięcie to zastosuj do wykreślenia
się. Przesunięcie to zastosuj do wykreślenia
dwuwymiarowej trajektorii sygnału we współrzędnych
[y(k)"t, y(k+1)"t ] oraz trajektorii trójwymiarowej we
współrzędnych [y(k)"t, y(k+1)"t, y(k+1=2)"t ] ( help
plot3 ).
Zmniejszaj wartości przesunięcia "t i obserwuj
zmiany kształtu uzyskiwanych trajektorii.
43
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Chaos deterministyczny
Rozważmy prosty układ dynamiczny:
x(n +1)= ax(n)(1- x(n))
Symulujący zmianę liczności x populacji
Symulujący zmianę liczności x populacji
w ograniczonym środowisku. Liczność ta jest
znormalizowana do zakresu )#0,1*#, zatem parametr a
przyjmuje wartości z zakresu )#0,4*#.
Jest to tzw. równanie logistyczne.
44
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Chaos deterministyczny
1
1
0.8
0.6
x(n+1)
tzw. odwzorowanie
tzw. odwzorowanie
0.4
kwadratowe
0.2
0
0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
1
x(n)
x(n +1)= 3.6x(n)(1- x(n))
45
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Chaos deterministyczny
Ćwiczenie:
Ćwiczenie: Startując od dowolnej wartości losowej x
z przedziału (0,1) zbadaj dynamikę jednowymiarowego
odwzorowania logistycznego dla wartości parametru a:
0.5, 2, 3.1, 3.5, oraz 4 (m.in. wykreÅ›l x(n)× x(n+1) )
0.5, 2, 3.1, 3.5, oraz 4 (m.in. wykreÅ›l x(n)× x(n+1) )
Dla a=4 zbadaj dynamikę układu dla dwóch bliskich
siebie wartości początkowych: x(1)=0.4 i x(1)=0.40005.
Wyznacz sygnał różnicowy pomiędzy próbkami
uzyskanymi z tych dwóch wartości startowych dla
pierwszych 50 iteracji.
46
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej
Chaos deterministyczny
Właściwości procesów charakteryzujących się
deterministycznym ruchem chaotycznym:
mogą być generowane przez proste układy
dynamiczne*,
dynamika ma  nieprzewidywalny charakter losowy
dynamika ma  nieprzewidywalny charakter losowy
(tzw. dziwne atraktory  tj. orbity ograniczone,
rozbieżne i nieokresowe) demo Matlab
dynamika silnie zależna od warunków początkowych
( efekt motyla )
*)
R, May:  & lepiej by nam się żyło gdyby uwzględniano fakt, że proste
47
układy dynamiczne niekoniecznie prowadzą do prostej ewolucji dynamicznej.
Paweł Strumiłło, Instytut Elektroniki Politechniki A
ódzkiej