ma t e ma t y k a
A zatem w przykładzie z obrońcą i prokuratorem
Logika  osoba podejrzana, stale prześlado-
obrońca twierdzi ni mniej, ni więcej tylko tyle:
wana przez wyższych dygnitarzy, posłów, po- Oskarżony zrobił to i nie miał wspólnika.
Do tego może doprowadzić nieznajomoS
ć praw logiki!!
ważne instytucje i dziennikarzy.
* * *
K. Bartosiewicz
Starożytny sofizmat. Wielki sofista Protagoras umówił
odobno są tacy kibice, którzy sport w telewizji oglą- się z jednym ze swoich uczniów, że ten zapłaci mu za
dają tylko po to, żeby poS
miać się ze sprawozdaw- naukę retoryki dopiero wtedy, gdy wygra swój pierw-
Pców. Muszę przyznać, że - szczególnie po olimpia- szy proces sądowy. Młodzieniec zakończył naukę, ale
dzie - rozumiem tych ludzi. Złoty medal za rozS
miesza- nie kwapił się z rozpoczęciem kariery prawniczej. Po
nie widzów powinien zostać przyznany sprawozdawcy kilku latach nauczyciel pozwał go do sądu o zwrot pie-
kolarskiemu. Niewiele brakowało mu do klasyki tego niędzy. Rozumował tak: jeS
li uczeń wygra proces, to
gatunku: I teraz, proszę państwa, wszystko w rękach zgodnie z umową będzie musiał zapłacić. JeS
li przegra,
konia... No i Deyna lewą nogą wpisał się na listę strzel- to będzie musiał zapłacić zgodnie z wyrokiem sądu.
ców... Kamery patrzą pod różnymi kątami, ale nie udaje Tak czy owak, dostanę swoje pieniądze.
im się zajrzeć do wnętrza zawodniczek... Jedenastka Ale uczeń odrzekł: JeS
li proces wygram, to w
Anglików będzie musiała grać w dziesiątkę... myS
l orzeczenia sądu nie będę ci musiał nic zapłacić.
CZY NALEŻY BYĆ LOGICZNYM
A jeżeli przegram, to nie będę musiał płacić na mocy
naszej umowy. Tak czy owak nie dostaniesz ode mnie
ani obola.
Mi c h a ł S z u r e k
I PO CO?
* * *
Nie oczekujmy zbyt wiele. Precyzja języka jest
nieznoS
na, a sprawozdawca reaguje emocjonalnie - Precyzyjne myS
lenie i wnioskowanie było za-
choć powinien zachować chłodny dystans. Gorzej jest, wsze atrybutem matematyki.  Nie ma królewskich dróg
gdy logika zawodzi przedstawicieli tych zawodów, w geometrii odpowiedział Arystoteles Aleksandrowi
gdzie podejmuje się decyzje dotyczące ludzi. Oto Wielkiemu, gdy ten chciał, by królom było łatwiej się
pierwszy przykład: uczyć. Ale dopiero w końcu XIX wieku niemiecki mate-
Prokurator: Jeżeli oskarżony to zrobił, to miał matyk Georg Cantor (1845-1918) przyjrzał się krytycz-
wspólnika! nie matematyce  od kuchni . Był on też motorem
Obrońca: to nieprawda! wszelkich zmian w kierunku rosnącej roli abstrakcji
w matematyce. DziS
widzimy, że nie wolno polux
niać
Otóż obrońca powiedział najgorszą rzecz, jaką wymogów S
cisłoS
ci. Bardzo wielu nawet skądinąd roz-
mógł. Dlaczego? Wynika to z logicznej zasady zwanej sądnych ludzi daje się zwieS
ć nieodpowiedzialnym na-
prawem zaprzeczenia implikacji. Implikacja to zdanie woływaniom, że gdyby nie zwracać aż takiej uwagi na
postaci S
cisłoS
ć, to matematyka stałaby się łatwiejsza. Stałaby
Jeżeli ... to się, dokładnie tak, jak zniesienie egzaminów na prawo
jazdy ułatwiłoby naukę prowadzenia samochodu.
Przyjrzyjmy się, jak zaprzeczamy takiemu zda- Matematyka jest jedyną nauką, w której prawda
niu. Rozważmy łatwy (?) przykład: jest tylko jedna, a z tych samych przesłanek można wy-
Mama kłóci się z synem. prowadzić zawsze i wszędzie tylko te same wnioski.
 Jeżeli będziesz pić piwo na lekcjach, to wyrzucą cię Na ogół podaje się to jako zaletę naszej dyscypliny, ale
ze szkoły. można zrozumieć i inny punkt widzenia: matematyka
 Nieprawda, mamusiu, zawsze piję i nie wyrzucają. jest jak tramwaj, który jedzie tylko po szynach, zaS

 Ładna szkoła! w naukach humanistycznych myS
l nie jest skrępowana.
 Pewnie, że ładna. Przynajmniej nauczyli mnie reguły Rzecz można ująć następująco: istnieją pew-
zaprzeczania implikacji. Implikacja nie jest prawdzi- ne ciągi wydarzeń (następowanie jednej rzeczy po
wa, gdy prawdziwa jest koniunkcja poprzednika i za- drugiej), które, w S
cisłym znaczeniu tego słowa, są
przeczenia następnika. uzasadnione i konieczne. Takie są właS
nie ciągi ma-
~ (ą = =>ą '"~� tematyczne i logiczne. My, mieszkańcy krainy cza-
>�)<=
O to tu chodzi? WłaS
nie o to, że zaprzeczenie rów (najrozsądniejsze ze stworzeń), uznajemy tę za-
zdania postaci sadnoS
ć i koniecznoS
ć. Na przykład, jeżeli brzydkie
Jeżeli p to q siostry są starsze od Kopciuszka, to jest (w nie-
jest zmiennym i przerażającym sensie tego słowa) ko-
Prawdą jest p i nieprawdą jest q. nieczne, by Kopciuszek był od nich młodszy. Nie da
52
5
2
MA
ODY TECHNIK
10/2004
ni e wi adomo, dl aczego mat emat yka j awi si ę
j ako przedmi ot t rudny, bo są t am wzory
się tego obejS
ć (...). JeS
li trzej bracia jadą konno, to Wielu nauczycieli uzna to bez wahania za po-
mamy szeS
ć zwierząt i osiemnaS
cie nóg: oto praw- rządne sformułowanie twierdzenia o pierwiastkach
dziwy racjonalizm. Kraina czarów jest go pełna. Ale równania kwadratowego. Porównajmy to ze sformuło-
kiedy wychyliłem głowę zza żywopłotu otaczające- waniem  literackim :
go krainę elfów i zacząłem się przyglądać zwykłe- Jeżeli wyróżnik " = b2  4ac równania kwadra-
mu S
wiatu, zauważyłem rzecz niezwykłą. Odkry- towego ax2+bx+c = 0 jest dodatni, to równanie ma
łem, że uczeni ludzie w okularach na nosie mówią dwa pierwiastki, dane wzorami
o rzeczach, które rzeczywiS
cie się zdarzają - takich �ł �ł
 b  b
jak wschód słońca (...), jakby były uzasadnione x1 = �ł�ł "�ł (" x2 = �ł�ł+ "�ł .
�ł�ł" �ł�ł"
2a 2a
i nieuniknione. Perorowali tak, jakby fakt, że drze-
wa rodzą owoce, był tak samo konieczny, jak to, Które jest bardziej zrozumiałe i kształcące, to
że dwa drzewa i jedno drzewo dają razem trzy chyba widać.
drzewa. A przecież wcale tak nie jest. Między tymi Wielu nauczycieli wymaga, by pisać założenia,
dwoma twierdzeniami istnieje ogromna różnica, je- a więc jeżeli ax2+bx+c, to zawsze z założeniem a `" 0.
S
li zastosujemy w ich przypadku test krainy czarów, Uważam, że lepsze rezultaty daje zwrot  równanie
to znaczy sprawdzian wyobrax
ni. Nie można sobie kwadratowe postaci ax2+bx+c = 0 . Jeżeli bowiem
wyobrazić, że dwa i jeden nie równa się trzy. Można równanie jest kwadratowe, to a `" 0. Takie podejS
cie
jednak łatwo wyobrazić sobie drzewa nierodzące uczy analitycznego czytania tekstu i szacunku dla sło-
owoców; można wyobrazić sobie drzewa rodzące wa pisanego.
złote S
wieczniki albo tygrysy zawieszone na ogo- OczywiS
cie na logikę należy zwracać uwagę
nach. (...) przez cały czas nauki w szkole. Powiedzenie, że  uczy-
W krainie czarów unikamy słowa  prawo , my nie matematyki, a przez matematykę , odnosi się
ale w S
wiecie nauki jest ono wyjątkowo lubiane. bardzo dobrze do logiki. Matematyka ma między inny-
Prawo zakłada bowiem, że znamy zasady, na jakich mi służyć do treningu umysłowego uczniów. Jednak
dokonujemy uogólnienia i ustanowienia prawa, nauczyciel, który przywiązuje za dużą wagę do formal-
a nie tylko że zaobserwowaliS
my pewne skutki jego nej strony, przypomina mi zawsze znanego mi trenera
działania. tenisowego, który na pierwszej lekcji omawia strój te-
nisisty, na drugiej zachowanie się na korcie, na trzeciej
Gilbert Keith Chesterton, Ortodoksja, przekł. Magdalena So- właS
ciwą postawę, na czwartej trzymanie rakiety...
bolewska, Biblioteka Frondy, Gdańsk - Warszawa 1996. a piłkę daje uczniom do ręki na krótko w drugim seme-
strze.
Jak wszyscy wiemy, w społeczeństwie istnieje
* * *
pewnego rodzaju lęk przed matematyką. Przybiera on
niekiedy formę snobizmu. Snobowanie się na nieznajo- Przypomnijmy sobie rzeczy znane:
moS
ć matematyki jest powszechne. Najgorszą opinią Istota najważniejszych typów rozumowania:
cieszą się  wzory . Nie wiadomo, dlaczego matematy- Dedukcja: pada deszcz. Prawa fizyki mówią, że będzie
ka jawi się jako przedmiot trudny, bo są tam wzory. Nie mokro.
jest to tylko polski problem. Wybitny fizyk angielski Redukcja: Ulice są mokre. Zatem padał deszcz, bo co
Steven Hawking pisze w swojej książce o czasie:  jak innego tak porządnie zmoczyłoby jezdnię?
wiadomo, każdy zamieszczony w książce wzór Indukcja: Do tej pory zawsze tak było, że po deszczu
zmniejsza jej sprzedawalnoS
ć o połowę . Być może, ulice były mokre. Więc i teraz też tak będzie.
tylko czy matematyka ma być dziewką sprzedajną? Tak rozumianej indukcji nie należy mylić z zasa-
Jednym z celów nauczania matematyki jest wła- dą indukcji matematycznej, której uczymy póx
niej.
S
nie rozumienie wzorów: odczytywanie własnoS
ci funk- Poprzednik implikacji to założenia twierdzenia,
cji z opisującego ją wzoru: począwszy od takich spraw, następnik to teza. W praktyce np. adwokackiej nazywa
jak  większy mianownik to mniejszy ułamek , a skoń- się to częS
ciej przesłankami i wnioskiem. Z formalnych
czywszy na badaniu przebiegu zmiennoS
ci funkcji me- własnoS
ci spójników zdaniowych wynikają reguły
todami analizy matematycznej. Ale kto uczy tylko  na wnioskowania: zawsze prawdziwe schematy rozumo-
wzorach , ten popełnia ten sam błąd co nauczyciel mu- wań. A zatem z własnoS
ci koniunkcji wynika, że każda
zyki, który delektuje się zapisem nutowym, a na wyko- umowa, którą zawarliS
my, zostaje naruszona, jeżeli na-
nanie nie zwraca większej uwagi. ruszymy choć jeden warunek. Z własnoS
ci alternatywy
Symboliki logicznej i teorii mnogoS
ci nie należy zaS
, że jeżeli mamy prawo do czegoS
po spełnieniu jed-
nadużywać, a na dobrą sprawę można jej prawie nie nego z kilku warunków, to nabywamy owe prawa po
używać. Formułowanie twierdzeń w zwykłym, literac- spełnieniu dowolnie przez nas wybranego. To jest
kim języku uczy też precyzji wypowiedzi. Warunek oczywiste. Mniej oczywiste są niektóre reguły rządzące
2 < x < 3 wygląda lepiej niż x " (2; 3). Zamiast  funk- implikacją. Przypomnijmy sobie, że implikacja o fał-
cja jest okreS
lona dla wszystkich x " R , lepiej jest mó- szywym poprzedniku jest prawdziwa. Na przykład każ-
wić  jest okreS
lona dla wszystkich liczb rzeczywistych . de z takich zdań jest prawdziwe:
Spójrzmy na przykład na stwierdzenie Jeżeli 2 + 2 = 5, to Księżyc jest z sera.
(ax2+bx+c = 0 '" a `" 0 '" " = b2  4ac e" 0)= Jeżeli 1/x = 0, to x = 34.
>
�ł �ł Jeżeli 1/x = 0, to x = 35.
 b
= x = �ł�ł "�ł (" x = �ł�ł+ "�ł . Jeżeli x jest liczbą rzeczywistą taką,
> �ł�ł"  b �ł�ł"
2a 2a
że x2 + x + 1 = 0, to x = 17.
53
5
3
MA
ODY TECHNIK
10/2004
ma t e ma t y k a
Chociaż napisane wyżej cztery zdania są praw- Pojedyncze i podwójne przeczenie. Po polsku
dziwe, to Księżyc nie jest z sera, 34 nie równa się 35, (i w ogóle w językach słowiańskich) podwójne przecze-
ani 172+17+1 nie jest równe 0! nie może mieć w ogóle inne znaczenie niż w angiel-
Z fałszywych przesłanek można wyprowadzić skim, niemieckim itp. Błędem byłoby przetłumaczenie
każdą tezę: prawdziwą lub fałszywą! Nic nie robię jako I am not doing nothing. Niekiedy nie
Implikacja o fałszywym poprzedniku jest zawsze dostrzegamy tej osobliwoS
ci języka polskiego, ale na-
prawdziwa! wet dla dobrze znającego język polski Niemca czy An-
Z fałszu wynika wszystko. glika próba zrozumienia znaczenia zdania
Nikt tu nigdy niczego niepotrzebnego nie robi
Reguły wnioskowania. Słowo  dowód jest w języku
potocznym używane w sposób wieloznaczny. Mówimy może być koszmarem.
na przykład, że ktoS
swoim zachowaniem dał dowód Zadanie. Jak brzmi zaprzeczenie tego zwrotu?
przezornoS
ci. Mówimy także, że adwokat przeprowa- Proszę sobie wyobrazić, że jest Pan/Pani szefem zespo-
dził dowód niewinnoS
ci swego klienta, opierając się na łu kontrolującego działanie podległej jednostki. Dyrek-
niebudzących wątpliwoS
ci przesłankach i wiążąc je lo- tor jednostki chce pochwalić siebie i pracowników, że
gicznie ze sobą za pomocą niezbitej argumentacji. W tak dobrze i efektywnie pracują i wypowiada właS
nie
matematyce słowo  dowód ma sens zbliżony do dru- to zdanie. Pan/Pani się z tym nie zgadza...
giego z wyżej wymienionych.
R
redniowieczni filozofowie wyodrębnili wiele re- Autentyczne zadania egzaminacyjne
guł wnioskowania. Oto krótki przegląd. W obecnych egzaminach do szkół wyższych za-
dań z logiki raczej nie ma. To dobrze. Przytaczamy  na
Nazwa Opis słowny Przykład Wzór matematyczny
Modus ponens, regu- JeS
li poprzednik praw- - Jeżeli kochać, to tylko we dwóch1) [p '" (p= >q
>q)]=
ła odrywania dziwej implikacji jest - Kochasz mnie?
zdaniem prawdziwym, - Kocham!
to i następnik musi być - Więc przyjdx
z kolegą!
prawdą.
Modus tollendo po- Jeżeli zdanie alterna- Koszula, która była dobra, jest teraz za [(p (" q ) '"~p] =
>q
nens (sposób przez tywne jest prawdziwe ciasna. Hm, albo koszula się zbiegła w
zaprzeczenie stwier- i jeden z jego członów praniu, albo ja utyłem. Ale nie utyłem.
dzający) jest fałszywy, to drugi Zatem koszula się zbiegła w praniu.
musi być prawdziwy.
Modus ponendo tol- Jeżeli zdanie dysjunk- - Kochaj albo rzuć! [(p | q) '" p] =
>~q
lens (sposób przez tywne jest prawdziwe - Kocham!
potwierdzenie za- i jeden z jego członów - To nie rzucaj!
przeczający) jest prawdziwy, to dru-
gi musi być fałszywy.
Dylemat konstrukcyj- Mężczyzna musi oddychać. Kobieta mu- [(p = = >
>r) '" (q >r)] =
ny prosty si oddychać. Ale każdy dorosły człowiek = (" q) = ]
>[(p >r
jest mężczyzną lub kobietą. Zatem każ-
dy dorosły człowiek musi oddychać.
Dylemat konstrukcyj- - JeS
li na S
więtego Prota jest pogoda, al- [(p = = >
>r) '" (q >s)] =
ny złożony bo słota, na S
więtego Hieronima jest = (" q) = (" s ]
>[(p >r
deszcz, albo go nie ma.
- Jaki dziS
dzień?
- Nie wiem, ale albo S
więtego Hieronima,
albo Prota.
- To znaczy, że pada lub nie pada!
Sylogizm warunko- JeS
li z jednego zdania JeS
li skończyłeS
35 lat, to możesz kandy- [(p = = >
>q) '" (q >r)] =
wy, prawo przechod- wynika drugie, a z dru- dować na prezydenta. JeS
li możesz kan- = =
>(p >r)
nioS
ci implikacji giego trzecie, to z dydować, to możesz zostać wybrany.
pierwszego wynika A zatem jeS
li skończyłeS
35 lat, to mo-
trzecie. żesz być prezydentem.
54
5
4
MA
ODY TECHNIK
10/2004
t o ni e prawda, ż e ni kt t u ni gdy ni czego ni epot rzebnego
ni e robi
wszelki wypadek trzy z dawnych lat. Mają one cha- W zadaniu 2a) odpowiedx
jest  nie . Gdy bo-
rakter testu: wiem p = 0, q = 1, to p (q jest zdaniem prawdziwym,
a zdanie p (" ~q nie). W zadaniu 2b) mamy wzór wyra-
1. Zdanie p brzmi: Bitwa pod Grunwaldem odbyła się żający twierdzenie przeciwstawne do danego, a więc
przed rokiem 1500 lub bitwa pod Grunwaldem odby- prawdziwe. W zadaniu 2c) odpowiedzią jest również
ła się po roku 1450. Zdanie q brzmi: Jeżeli 1 = 2,  nie . Wystarczy wziąć p = 1, q = 1.
to 2 = 10. Wtedy (zaznacz prawidłową odpowiedx
): TrudnoS
cią w zadaniu 3 może być samo zrozu-
a) obydwa zdania p i q są prawdziwe, mienie treS
ci, a dokładniej o interpretację słowa  gdy .
b) p jest prawdziwe, q fałszywe, Należy rozumieć je w ten sposób:
c) p jest fałszywe, q prawdziwe. a) Czy prawdą jest, że jeżeli obydwa zdania p i q są
prawdziwe, to p= >q) jest prawdziwe?
>(p=
2. Dla dowolnych zdań p, q, jeS
li zdanie p= jest b) Czy prawdą jest, że jeżeli p jest prawdziwe, zaS
q
>q
prawdziwe, to prawdziwe jest również zdanie: fałszywe, to p= >q) jest prawdziwe?
>(p=
a) p (" ~q, b) ~q= c) ~p '" q. c) Czy prawdą jest, że jeżeli p jest fałszywe, zaS
q
>~p,
prawdziwe, to p= >q) jest prawdziwe?
>(p=
3. Zdanie p= >q) jest fałszywe, gdy d) Czy prawdą jest, że jeżeli obydwa zdania są fałszy-
>(p=
a) obydwa zdania p i q są prawdziwe, we, to p= >q) jest prawdziwe?
>(p=
b) p jest prawdziwe, q fałszywe,
c) p jest fałszywe, q prawdziwe, Poprawnej odpowiedzi na zadanie 3 można naj-
d) obydwa zdania są fałszywe. lepiej udzielić po prostu podstawiając za p, q wartoS
ci
logiczne 0, 1. W 3a) mamy 1= >1); jest to zdanie
>(1=
Rozwiązania. W zadaniu 1 mamy alternatywę prawdziwe. W 3b) mamy 1= >0), jest to fałszywe.
>(1=
zdań: Bitwa pod Grunwaldem odbyła się przed rokiem W 3c) mamy 0= >1); jest to zdanie prawdziwe.
>(0=
1500 lub bitwa pod Grunwaldem odbyła się po roku W 3d) mamy 0= >0); jest to zdanie prawdziwe.
>(0=
1450. Ponieważ alternatywa jest prawdziwa, gdy praw-
1)
dziwy jest przynajmniej jeden z jej członów, więc alter- Fragment piosenki z Kabaretu Starszych Panów, wykonywanej
natywa podana jest prawdziwa. Zdanie q jest także przez Wiesława Michnikowskiego.
prawdziwe, z fałszu wynika wszystko.
55
5
5
MA
ODY TECHNIK
10/2004