2.3. Własności funkcji ciągłych
W zastosowaniach praktycznych z reguły mamy do czynienia z funkcjami, które
nazywamy elementarnymi. Takimi funkcjami są funkcje:
a) wielomianowe , określamy je wzorem f(x) = a0 xk + a1xk-1 + & + ak-1 x + ak ,
b) niewymierne, np. f(x) = ax5 + bx3 + cx + d ,
c) wykładnicze, np. f(x) = ax ( 0 < a ),
d) logarytmiczne, np. f(x) = loga x (0 < a `" 1),
e) trygonometryczne, np. sinus, cosinus, tangens,
f) sumy, iloczyny, ilorazy oraz zło\
enia funkcji wymienionych w punktach a)  e).
Twierdzenie
Ka\
da funkcja elementarna jest ciągła w swojej dziedzinie (w ka\
dym punkcie swojej
dziedziny).
W zastosowaniach wa\
ne znaczenie odgrywają dwie własności funkcji ciągłych w
przedziale ograniczonym; charakteryzuje je:
Twierdzenie
a) Je\
eli funkcja f jest ciągła w przedziale [a; b], to funkcja f przyjmuje w tym przedziale
wartość najmniejszą i największą (wykorzystujemy je w problemach optymalizacji).
b) Je\
eli funkcja f jest ciągła w przedziale [a; b] oraz w końcach tego przedziale jej
wartości mają ró\
ne znaki ( czyli f(a) f(b) < 0 ), to istnieje w przedziale otwartym (a, b)
przynajmniej jeden punkt x0 , w którym wartość funkcji f jest zero ( czyli f( x0 )=0) (tę
własność funkcji ciągłych wykorzystujemy przy przybli\
onym rozwiązywaniu równań).
Twierdzenie b) ilustrują rysunki:
y
y
b
x0 a x0 b
x
a x
Twierdzenie b) umo\
liwia poszukiwanie rozwiązań równania postaci f(x) = 0.
Przykład
Zbadaj, czy równanie x3 + 3x = 1 ma rozwiązanie w przedziale [ -2;1]. Określ to
rozwiązanie z dokładnością 0,3.
Rozwiązanie
W tym celu rozwa\
amy funkcję f ( x ) = x3 + 3x - 1 określoną w przedziale [ -2, 1].
W tym przedziale jest ona ciągła.
Mamy te\
f(-2)= - 15, f(1)= 3. Zatem f(-2)�"f(1) <0.
Na mocy podanej wy\
ej własności funkcji ciągłych istnieje w przedziale (-2; 1)
3
taka liczba x0 , \
e f ( x0 ) = x0 + 3x0 - 1 = 0 , czyli x0 jest rozwiązaniem tego równania.
Taką liczbą mo\
e być np.  0,5, przy czym błąd jaki popełniamy wskazując to
rozwiązanie wynosi 1,5.
Zauwa\
, \
e f(0) = -1, zatem f(0) �"f(1) <0. Stąd wynika, \
e rozwiązanie tego
równania znajduje się w przedziale (0, 1). Mo\
e być nim liczba 0,5. Tym razem błąd jaki
popełniamy wynosi 0,5.
Jest równie\
f( � ) < 0 . Zatem rozwiązanie musi znajdować się w przedziale
( � , 1). Mo\
e być nim liczba 0,75. Tym razem błąd jaki popełniamy wynosi 0,25.
Liczba 0,75 spełnia warunki \
ądanego rozwiązania.
Ćwiczenia
Zad. 1.
Określ, czy podane równanie posiada rozwiązanie we wskazanym przedziale:
a) x4 +x  1 = 0 ; [0 ; 1] , b) x3 +3x = 1 ; [-2 ; 1] , c) x2 = 3x +1 ; [1; 2] ,
d) x + ln x = 2 ; [1 ; 2] , e) 1- x = 0,5 sin x ; [0; 0,5Ą] , f) ex = x2 ; [-1; 0] , [1;1,5].
Zad. 2.
Punkty -3, -2, 1-, 0, 1, 2, 3 dzielą przedział [-4; 4] na podprzedziały. W którym z nich
znajduje się rozwiązanie równania:
a) x5  3x3 + x2  6 = 0 , b) x10 + x  1 = 0 , c) 8x3  12x2  2x + 3 = 2x .
Zad. 3.
Wyznacz przedział o długości d, w którym znajduje się rozwiązanie równania:
a) -2x3 + x  2 = 0 ; d = 0,2 , b) x4  2x3 + x  2 = 0 ; d = 0,4 ,
c) -2x3 - 2x  1 = 0 ; d = 0,4 , d) 3x4  2x3 + 5x  2 = 0 ; d = 0,1 .
Zad. 4.
Dobierz tak liczbę a, aby rozwiązanie podanego równania znajdowało się
w przedziale [-1; 2], gdy:
a) -4x3 + (3+a) x  2 = 0 , b) x4  (2- a) x2 + x  2 = 0 .
Zad. 5.
Wska\
przybli\
one rozwiązanie równania. Podaj błąd przybli\
enia.
a)  x4 + 1 = 2x , b) x + ln x = 3.
Odpowiedzi
Zad. 1.: a) , b) tak, c) nie, d) , e) tak, f) tak ; nie .
Zad. 2.: a) , [1,2] , b) [ 2,  1] , [0, 1] , c) [ 1, 0] , [0, 1] .
Zad. 3.: a) , [ 1,2 ; -1] , b) [1,8 ; 2,2] , [ 0,5 ; - 0,2] , [0,4 ; 0,5] .
Zad. 4.: a) a " ( " , 1) *" (14 , " ) , b) a " ( 2, 4).
Zad. 5.: a) x0 = 0,45 z dokładnością 0,05; b) x0 "(2, e); x0 = 2,37 z dokładnością 0,37.