MES1_Wykład 2_METODA RITZA.doc
METODA RITZA
Metoda elementów skończonych w statyce konstrukcji przedstawiana jest zwykle jako metoda przybliżona,
wykorzystująca twierdzenie o minimum całkowitej energii potencjalnej układu odkształcalnego.
Całkowita energia potencjalna układu odkształcalnego
W teorii sprężystości energia potencjalna jest różnicą energii odkształcenia sprężystego układu i pracy sił zewnętrznych:
1
V = U -Wz =
ij i i
+"Ã µijd&! -+"X uid&! -+"p uid“
2
&! &! “
µij
Ãij
&! “
 obszar ,  brzeg,  tensor naprężenia,  tensor odkształcenia,
ui  wektor przemieszczenia,  obciążenie powierzchniowe, Xi siły masowe
pi
Zasada minimum całkowitej energii potencjalnej mówi, że:
Ze wszystkich geometrycznie dopuszczalnych postaci przemieszczeń, którym może podlegać ustrój
sprężysty, wystąpi ta, dla której funkcjonał całkowitej energii potencjalnej osiągnie wartość minimalną.
V=U-Wz=min!,
1
MES1_Wykład 2_METODA RITZA.doc
N
pîÅ‚ Å‚Å‚
Energia potencjalna belki obciążonej wydatkiem ciągłym :
ïÅ‚mśł
ðÅ‚ ûÅ‚
l l
1
2
V =
+"EI(w2 2 ) dx -+"pwdx ,
2
0 0
gdzie funkcja w(x) opisuje ugięcie belki
Metoda Ritza
Polega na przedstawieniu funkcji w(x) w postaci liniowej kombinacji odpowiednio dobranych funkcji Õ1(x), Õ2(x),... Õn(x)
n
%
w(x)=
- funkcja aproksymująca (może być to szereg potęgowy lub Fouriera)
"aÕ(x)
i i
i=1
gdzie: ai - nieznane parametry (współczynniki Ritza),
Õi(x) - znane funkcje liniowo niezależne.
Ostatecznie funkcjonał V jest wyrażony jako funkcja parametrów ai V=V(a1, a2 , a3 , ....an )
Parametry ai wyznaczyć można z warunku minimum funkcji dla kolejnych parametrów ai:
"V
= 0
Prowadzi to do układu n równań algebraicznych liniowych: A a= b
[ ]{}{}
"ai , i=1,..., n ,
%
w(x) a (x)
Rozwiązaniem jest zbiór parametrów definiujących aproksymowaną funkcję
2
MES1_Wykład 2_METODA RITZA.doc
PRZYKA
AD
N
Znalez
ć ugiÄ™cie belki wspornikowej obciążonej wydatkiem p0îÅ‚ Å‚Å‚ . Porównać metodÄ™ Å›cisÅ‚Ä… z rozwiÄ…zaniem przybliżonym
ïÅ‚mśł
ðÅ‚ ûÅ‚
~
w(x)=a1+a2x+a3x2+a4x3 .
stosujÄ…c metodÄ™ Ritza dla funkcji aproksymujÄ…cej w postaci:
w(x)
p0
x
Rozwiązanie analityczne ścisłe:
M(x)
1
g
p0
2 2
w(x)E" =
Mq(x)= (l-x)2,
,
Á EI
2
2
w(x = 0) = 0, w(x = 0)= 0
Warunki brzegowe:
p0
Funkcja ugięcia:
w(x)= (6l2-4lx+x2)x2,
24EI
p
Maksymalne ugięcie w(l)= p0 l2 /8 EI
~
w(x)=a1+a2x+a3x2+a4x3
Rozwiązanie przybliżone
~
w(x)=a3x2+a4x3
% %2
w(x=0)=0, w (x = 0) = 0
musi spełniać warunki brzegowe: Wtedy
3
MES1_Wykład 2_METODA RITZA.doc
W(x)
pl
-2
12.5
~
*10 EJ
W(x)
EI l3 l4
2 2
V= (4a3l+12a3a4l2+12a4l3)-p(a3 +a4 )
.
2 3 4
"V EI p0l3
8.35
= 8la3 +12l2a4 - = 0,
( )
W(x)
"a3 2 3
~
W(x)
"V EI p0l4
12.5
= 12l2a3 + 24l3a4 - = 0.
( )
4.427
"a4 2 4
8.203
4.167
5 p0l2 p0l 1.318
a3= , a4=-
1.172
24 EI 12EI
l l 3l
x
l
4 2 4
Ostatecze rozwiÄ…zanie:
2
M (x)
g *pl
~
5 p0l2 p0
M (x)
0.5
g
M (x)
%
w(x)= x2- x3, g
~
24 EI 12EI
M (x)
g
0.292
0.417
5 p0l
0.167
M% (x)= p0l2- x,
q
0.281
0.42
12 2
0.125
-p0l
l l 3l x
l
T%(x)= .
4 2 4
0.031 -0.083
2
T(x)
*pl
~
T(x)
l l 3l
l
4 2 4
Wykresy rozwiązania ścisłego (gruba linia) i przybliżonego (linia przerywana) solutions
x
Dla rozwiązanej belki wspornikowej: przemieszczenie, moment gnący i siła tnąca
0.5
~
T(x)
T(x)
1
4