Przykładowe zadania statystyka matematyczna Zadanie 1. W partii owoców cytrusowych na 220 zbadanych sztuk znaleziono 35 owoców zepsutych. Na poziomie ufności 0,98 oszacować procent owoców zepsutych w tej partii cytrusów. Przedział ufności dla odsetka z próby (frakcji, udziału, wskaznika, częstości) Warunki dodatkowe na szacowanie odsetka muszą być spełnione koniecznie: n >= 100 [próba musi być dość liczna minimum 100 obserwacji] m / n > 5% [odsetek z próby musi przekraczać statystyczne 5 %] ć p(1- p)
Estymator odsetka dla prób dużych (n ł 100) ma rozkład asymptotycznie normalny N p, .
n Ł ł Współczynnik ufności: 1-a = 0,98 Wartość krytyczna (rozkład normalny): ua = 2,33 dla a = 0,02 na 220 zbadanych sztuk znaleziono 35 owoców zepsutych n liczebność łączna (całkowita) = 220 m wyróżniona część próby (ilość elementów wyróżnionych) = 35 Przedział ufności dla odsetka:
m m m m ć1- ć1-
m m n n n n P - ua Ł ł < p < + ua Ł ł ż =1-a n n n n
P{0,1016 < p < 0,2165}= 0,98 Interpretacja: Z prawdopodobieństwem na poziomie 0,98 przedział ufności dla odsetka owoców zepsutych w tej partii cytrusów to {0,1016 < p < 0,2165}. Zadanie 2. Wydajność pracy w firmie przeładunkowej P (w tonach na godzinę) jest zmienną losową o rozkładzie normalnym ze średnią 10 ton/godz. i odchyleniem standardowym 4 tony/godz. Pracownicy pracują w zespołach 16-osobowych. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: 1 a) losowo wybrany pracownik z tej firmy pracuje z wydajnością większą niż 13 ton/godz. 1 z 16 osób ma wydajność ze średnią 10/16 = 0,625 ton/godz. i odchyleniem standardowym 4/16 = 0,25 tony/godz. X wydajność 1 pracownika X N(m;J) => X N(0,625;0,25) P (X > 13) = 1- P (X Ł 13) = 1- F (X = 13) = 1 - F(U= 49,5) = 1 0,99& 9 = 0,0& 0 % Należy przeprowadzić standaryzację wartości zmiennej X na zmienną U, która ma rozkład normalny (0;1): Standaryzacja X na zmienną U: x0 - m 13- 0,625 u = = = 49,5 F(u= 49,5) = 1 J 0,25 Interpretacja Prawdopodobieństwo, że wydajność 1 pracownika przekroczy 13 ton/godz. wynosi niemal 0. b) średnia wydajność zespołu jest większa niż 13 ton/godz. X wydajność zespołu pracowników [t/h] X N(m;J) => X N(10;4) P (X > 13) = 1- P (X Ł 13) = 1- F (X = 13) = 1 - F(U= 0,75) = 1 0,7734 = 0,2266 Należy przeprowadzić standaryzację wartości zmiennej X na zmienną U, która ma rozkład normalny (0;1): Standaryzacja X na zmienną U: x0 - m 13 -10 u = = = 0,75 F(u= 0,75) = 1 J 4 Interpretacja Prawdopodobieństwo, że wydajność zespołu przekroczy 13 ton/godz. wynosi 22,66 %. 2